《線性代數(shù)B》強(qiáng)化訓(xùn)練題一解答_第1頁
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PAGE5-《線性代數(shù)B》強(qiáng)化訓(xùn)練題一解答一、單項(xiàng)選擇題1.D2.D3.A4.C5.B二、填空題1.;2.;3.相關(guān);4.5.三、計(jì)算下列行列式1.解：2.已知其中試求其中是元素的代數(shù)余子式.解：因?yàn)橛忠驗(yàn)樗运?、設(shè)矩陣矩陣滿足其中為的伴隨矩陣,是階單位矩陣,求解：由得即由于可逆,則所以則五、設(shè)矩陣求矩陣的列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組,并把不屬于極大無關(guān)組的列向量用極大無關(guān)組線性表示出來.解：對施行初等行變換化為行最簡形矩陣:知的秩為,故的列向量組的極大無關(guān)組含有個(gè)向量,且由行最簡形矩陣可得的第一、第二、第四個(gè)列向量為列向量組的一個(gè)極大無關(guān)組;此時(shí)的第三、第五個(gè)列向量可表示為六、常數(shù)取何值時(shí),方程組無解,有惟一解或有無窮多解?當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)求其通解.解：(1)當(dāng)且時(shí),,由克萊姆法則知,方程組有惟一解;(2)當(dāng)時(shí),該方程組的增廣矩陣為因?yàn)樗苑匠探M無解;(3)當(dāng)時(shí),該方程組的增廣矩陣為因?yàn)樗苑匠探M有無窮多解;其通解由上面的行最簡形矩陣應(yīng)得其中為任意常數(shù).七、設(shè)且又設(shè)有特征值且屬于的特征向量為,試求和及的值.解：由于故即,解得此時(shí),顯然有八、設(shè)二次型其中二次型矩陣的特征值之和為,特征值之積為(1)求的值;(2)求一正交變換把二次型化成標(biāo)準(zhǔn)型(需寫出正交變換及標(biāo)準(zhǔn)型).解：(1)二次型的矩陣為設(shè)的特征值為則有解得(2)由得的特征值對于特征值故相應(yīng)的特征向量為規(guī)范正交化得對于特征值故相應(yīng)的特征向量為單位化得令則即為所求矩陣,所求變換為即,即相應(yīng)的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為九、證明題1．設(shè)向量組線性無關(guān),向量可由向量組線性表示,而向量不能由向量組線性表示,證明個(gè)向量必線性無關(guān).證：設(shè)有個(gè)數(shù)使得因?yàn)橄蛄靠捎上蛄拷M線性表示,所以存在個(gè)數(shù)使得則有如則可由向量組線性表示,矛盾!故則有又由于向量組線性無關(guān),所以則個(gè)向量線性無關(guān).2．設(shè)矩陣是階非零矩陣,且滿足證明矩陣的秩.證：因?yàn)樗詣t四元齊次線

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