誤差分析與處理演示

（優(yōu)選）誤差分析與處理第一頁，共五十八頁。一、誤差的基本概念

測量誤差：是指某被測量的實測值與其真實值的差別。

偏差：是指測量值與平均值之差。

真值：是指在一定條件下，某個物理量的實際值。絕對誤差：某一量所測得的值和真值之差。相對誤差：表示某一量的測量值偏離真值的程度1誤差的表示方法第二頁，共五十八頁。

精度:高低用誤差來衡量，誤差小則精度高，誤差大則精度低。準確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差的影響程度。精密度：反映測量結(jié)果中隨機誤差的影響程度。精確度：反映測量結(jié)果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差綜合的影響程度。2誤差的相關概念第三頁，共五十八頁。3引起各種誤差的主要因素方面系統(tǒng)誤差隨機誤差測量方法依據(jù)近似的計算公式;采用近似的測量方法;設計、工藝測量基準不一致等測量工具標準器具或量儀由于設計、制造、裝配、調(diào)試和使用等造成的缺點儀器零件形狀、尺寸、運動鏈的間隙、摩擦、磨損及元器件性能不穩(wěn)定測量環(huán)境溫度、濕度、氣壓、振動、電磁場等按一定規(guī)律變化的干擾多種環(huán)境因素同時變化的綜合影響測量人員生理特點或不良習慣造成的觀測偏差工作不細嚴,_致使在觀測、操作等方面造成的隨意性差錯值得強調(diào)的是，誤差不是錯誤，測量結(jié)果包含了誤差范圍恰恰是測量結(jié)果正確和科學的表達。測量結(jié)果數(shù)值要用有效數(shù)字來表示。第四頁，共五十八頁。4誤差的分類按原因分類系統(tǒng)誤差隨機誤差過失誤差第五頁，共五十八頁。三類誤差的關系應當指出，上述三類誤差之間在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)化的。對于某一具體誤差，在此條件下為系統(tǒng)誤差，而在另一條件下可為隨機誤差，反之亦然。例如，按一定公稱尺寸制造一批量塊，其中任一塊的制造誤差，對“一批”來說是隨機誤差；而對其中某一塊而言，它的制造誤差是固定值，在使用這個量塊時，它的固定誤差又屬系統(tǒng)誤差。掌握誤差轉(zhuǎn)化的特點，就可將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機誤差，用概率統(tǒng)計的方法來減小誤差的影響；或?qū)㈦S機誤差的某些成分分離出來，作為系統(tǒng)誤差處理，用修正方法減小其影響，疏失誤差有時亦難區(qū)別于隨機誤差，故常用隨機誤差來處理。引起各類誤差的因素，往往是多方面的，錯綜復雜的。但可歸結(jié)為幾個主要方面列于下表中。第六頁，共五十八頁。5誤差的表示方法1絕對誤差Δ相對誤差γ引用誤差γn最大引用誤差γmn第七頁，共五十八頁。5誤差的表示方法2絕對誤差：測量值Ax與被測量真值A0之差Δ=Ax-A0相對誤差：絕對誤差Δ與真值A0之比，并用百分數(shù)表示。

γ=引用誤差：儀表某一刻度點讀數(shù)的絕對誤差Δ比上儀表量程上限Am，并用百分數(shù)表示。

γn=ΔA0ΔAmx100%x100%第八頁，共五十八頁。5誤差的表示方法3最大引用誤差：儀表在整個量程范圍內(nèi)的最大示值的絕對誤差Δm比儀表量程上限Am，并用百分數(shù)表示。

γmn=AmΔmx100%第九頁，共五十八頁。6關于真值實際上，真值是難于得到的，實際中，人們通常用兩種方法來近似確定真值，并稱之為約定真值。一種方法是采用相應的高一級精度的計量器具所復現(xiàn)的被測量值來代表真值，另一種方法是在相同條件下多次重復測量的算術平均值來代表真值。另外在產(chǎn)品檢測中，某項被測量的設計指標，既標稱值視作已知真值，而測量值與標稱值之差，就是產(chǎn)品制作誤差（注意：這里的測量值與其算術平均值之差才是測量誤差）。理論值作為真值，如三角形內(nèi)角和為1800第十頁，共五十八頁。系統(tǒng)誤差：系統(tǒng)誤差是指按一定規(guī)律出現(xiàn)的誤差；在同一條件下，多次重復測試同一量時，誤差的數(shù)值和正負號有較明顯的規(guī)律。系統(tǒng)誤差通常在測試之前就已經(jīng)存在，而且在試驗過程中，始終偏離一個方向，在同一試驗中其大小和符號相同。例如，電壓表示值的偏差等。特征：有其對應的規(guī)律性，它不能依靠增加測量次數(shù)來加以消除，一般可通過試驗分析方法掌握其變化規(guī)律，并按照相應規(guī)律采取補償或修正的方法加以消減。第二節(jié)系統(tǒng)誤差第十一頁，共五十八頁。按產(chǎn)生的原因可分為：（1）儀器誤差

它是由于測量儀器本身不完善或老化所產(chǎn)生的誤差。（2）安裝誤差

它是由于測量儀器的安裝和使用不正確而產(chǎn)生的誤差。（3）環(huán)境誤差

它是由于測量儀器使用環(huán)境條件與儀器使用規(guī)定的條件不符而引起的誤差。（4方法誤差

它是由于測量方法或計算方法不當所形成的誤差，或是由于測量和計算所依據(jù)的理論本身不完善等原因而導致的誤差。（5）操作誤差

也稱人為誤差。這是由于觀察者先天缺陷或觀察位置不對或操作錯誤而產(chǎn)生的誤差。1系統(tǒng)誤差的分類第十二頁，共五十八頁。2消除系統(tǒng)誤差的方法

交換抵消法將測量中某些條件互相交換，使產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因互相抵消。

替代消除法在一定測量條件下，用一個精度較高的已知量，在測量系統(tǒng)中取代被測量，而使測量儀器的指示值保持不變。

預檢法是一種檢驗和發(fā)現(xiàn)測量儀器系統(tǒng)誤差的常用方法?？蓪y量儀器與較高精度的基準儀器對同一物理量進行多次重復測量。

在測量工作之前進行第十三頁，共五十八頁。例子：消除系統(tǒng)誤差--比較法電橋法測量電阻由于R1,R2,R3存在誤差，使Rx測量出現(xiàn)誤差用標準電阻Rs代替Rx接入電橋，在R1,R2,R3保持不變時仍使電橋平衡此時有:Rs=Rx而與R1,R2,R3的誤差無關；第十四頁，共五十八頁。例子：消除系統(tǒng)誤差--正負誤差補償法為了消除系統(tǒng)誤差，還可以采用正負誤差補償法，即對同一被測量反復測量兩次，并使其中一次誤差為正，另一次誤差為負，取其平均值，便可消除系統(tǒng)誤差。例如為消除外磁場對電流表讀數(shù)的影響，可在一次測量后，將電流表位置調(diào)轉(zhuǎn)１８０°，重新測量一次，取前后兩次測量結(jié)果的平均值，可以消除外磁場帶來的系統(tǒng)誤差。第十五頁，共五十八頁。例子：消除系統(tǒng)誤差--交換法以等臂天平稱量為例，第一次在右邊稱盤中放置被測物Ｘ，左邊稱盤中放置砝碼Ｐ，使得天平平衡，如圖，這時被測物的質(zhì)量為X=PL1/L2，當兩臂相等時，Ｘ＝Ｐ。如果兩臂存在微小差異，就會使測量結(jié)果中含有系統(tǒng)誤差。為了抵消這一系統(tǒng)誤差，我們將被測物與砝碼互換位置，則此時天平不會平衡，改變砝碼質(zhì)量為Ｐ’時，使天平平衡，則這時被測物的質(zhì)量為X=P’L2/L1，所以既正確值Ｘ是交換前后兩次測得值的幾何平均值。這時測量結(jié)果中不再含有等臂天平不等臂引起的系統(tǒng)誤差。（注意：這時還存在著其它因素產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差，如砝碼本身的系統(tǒng)誤差）。第十六頁，共五十八頁。不等臂天平系統(tǒng)誤差的消除-交換法PXL1L2P’XL1L2第十七頁，共五十八頁。例子：消除系統(tǒng)誤差—校正法所謂校正值就是被測量的真值Ａ0（即標準儀表的讀數(shù)）與儀表讀數(shù)Ax之差用δ表示。校正值在數(shù)值上等于絕對誤差，但符號相反。如果在測量之前能預先求出測量儀表的校正值，或給出儀表校正后的校正曲線或校正表格，那么就可以從儀表讀數(shù)與校正值求得被測量的真值即：A0=Ax+δ第十八頁，共五十八頁。算術綜合法前提數(shù)學表達式幾何綜合法前提數(shù)學表達式應用舉例：例題3-13系統(tǒng)誤差的綜合代數(shù)綜合法前提數(shù)學表達式絕對誤差：第十九頁，共五十八頁。第三節(jié)隨機誤差（偶然誤差）隨機誤差（偶然誤差）：在同一條件下，對某一量多次重復測量時，各次的大小和符號均以不可預定的規(guī)律變化的誤差，謂之隨機誤差或偶然誤差。是具有不確定性的一類誤差。它的產(chǎn)生是由測量過程中出現(xiàn)的各種各樣不顯著而又難于控制的隨機因素綜合影響所造成。

特征：個別出現(xiàn)的偶然性而多次重復測量總體呈現(xiàn)統(tǒng)計規(guī)律，服從高斯（GASS）分布，也稱正態(tài)分布；由于隨機誤差具有以上這些特性，所以在工程上可以對被測量進行多次重復測量的算術平均值表示被測量的真值

。第二十頁，共五十八頁。隨機誤差68.3%95.5%99.7%第二十一頁，共五十八頁。

隨機誤差分布的性質(zhì)有界性：在一定的測量條件下，測量的隨機誤差總是在一定的、相當窄的范圍內(nèi)變動，絕對值很大的誤差出現(xiàn)的概率接近于零。單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率大，絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率小，絕對值為零的誤差出現(xiàn)的概率比任何其它數(shù)值的誤差出現(xiàn)的概率都大。第二十二頁，共五十八頁。對稱性：絕對值相等而符號相反的隨機誤差出現(xiàn)的概率相同，其分布呈對稱性。抵償性：在等精度測量條件下，當測量次數(shù)不斷增加而趨于無窮時，全部隨機誤差的算術平均值趨于零。第二十三頁，共五十八頁。正態(tài)分布的分布密度函數(shù)為

式中，——標準誤差（均方根誤差）；e——自然對數(shù)的底。二標準誤差和概率積分第二十四頁，共五十八頁。二、正態(tài)分布密度函數(shù)與概率積分對于一定的被測量，在靜態(tài)情況下，σ的大小表征著諸測定值的彌散程度。σ值越小，正態(tài)分布密度曲線越尖銳，幅值越大；σ值越大，正態(tài)分布密度曲線越平坦，幅值越小?？捎脜?shù)σ來表征測量的精密度，σ越小，表明測量的精密度越高。第二十五頁，共五十八頁。σ并不是一個具體的誤差，它的數(shù)值大小只說明了在一定條件下進行一列等精度測量時，隨機誤差出現(xiàn)的概率密度分布情況。在一定條件下進行等精度測量時，任何單次測定值的誤差δi可能都不等于σ，但我們認為這列測定值具有同樣的均方根誤差σ；而不同條件下進行的兩列等精度測量，一般來說具有不同的σ值。第二十六頁，共五十八頁。隨機誤差出現(xiàn)的性質(zhì)決定了人們不可能正確地獲得單個測定值的真誤差δi的數(shù)值，而只能在一定的概率意義之下估計測量隨機誤差數(shù)值的范圍，或者求得誤差出現(xiàn)于某個區(qū)間的概率。第二十七頁，共五十八頁。三測量結(jié)果的最佳值最佳值定義等精度測量最小二乘法原理運用最小二乘法原理，可以解決從一列等精度測量的觀察值中確定被測量的最佳值。最小二乘法的基本原理是：在具有同一精度的許多觀測值中，最佳值應是能使各觀測值的誤差的平方和為最小。結(jié)論：12第二十八頁，共五十八頁。4有限測量次數(shù)中誤差的計算和各種誤差的表示法。1、標準誤差2、算術平均值的標準誤差（3-17）3、算術平均值的極限誤差（3-19）4、相對極限誤差（3-20）最后測量結(jié)果可寫成：（3-21）第二十九頁，共五十八頁。粗大誤差是指不能用測量客觀條件解釋為合理的那些突出誤差，它明顯地歪曲了測量結(jié)果。含有粗大誤差的測定值稱為壞值，應予以剔除。第四節(jié)可疑測量數(shù)據(jù)的剔除產(chǎn)生粗大誤差的原因：測量者的主觀原因客觀外界條件的原因第三十頁，共五十八頁。一、拉伊特準則拉伊特準則(3σ準則)：如果測量列中某一測定值殘差vi的絕對值大于該測量列標準誤差的3倍，那么可認為該測量列中有粗大誤差存在，且該測定值為壞值。壞值剔除后，應重新計算新測量列的算術平均值及標準誤差，并再次進行檢驗看余下的數(shù)據(jù)中是否還含有壞值。第三十一頁，共五十八頁。拉伊特準則是判定粗大誤差存在的一種最簡單的方法。拉伊特準則是在重復測量次數(shù)n趨于無窮大的前提下建立的，當n有限時，尤其是當n很小時（如n≤10），此準則就不可靠。第三十二頁，共五十八頁。二、格拉布斯準則對某一被測量進行多次等精度獨立測量，獲得一列測定值x1，x2，…，xn。為了檢查測定值中是否含有粗大誤差，將xi由小到大按順序排列為 第三十三頁，共五十八頁。格拉布斯按照數(shù)理統(tǒng)計理論導出了統(tǒng)計量的分布，取定危險率a，可求得臨界值g0(n,a)，而第三十四頁，共五十八頁。第三十五頁，共五十八頁。

這樣，得到了判定粗大誤差的格拉布斯準則：若測量列中最大測定值或最小測定值的殘差有滿足者，則可認為含有殘差vi的測定值是壞值，因此該測定值按危險率a應該剔除。第三十六頁，共五十八頁。用格拉布斯準則判定測量列中是否含有粗大誤差的壞值時，選擇不同的危險率可能得到不同的結(jié)果。危險率的含義是按本準則判定為異常數(shù)據(jù)，而實際上并不是，從而犯錯誤的概率。危險率就是誤剔除的概率。第三十七頁，共五十八頁。例5測某一介質(zhì)溫度15次，得到以下一列測定值數(shù)據(jù)（℃）：20.42，20.43，20.40，20.43，20.42，20.43，20.39，20.30，20.40，20.43，20.42，20.41，20.39，20.39，20.40試判斷其中有無含有粗大誤差的壞值。第三十八頁，共五十八頁。解：(1)按大小順序?qū)y定值重新排列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)計算子樣平均值和測量列標準誤差第三十九頁，共五十八頁。(3)選取a＝5％，查表得g0(15,5％)＝2.41(4)計算最大與最小測定值的殘差，并用格拉布斯準則判定因故x(1)＝20.30在a＝5％下被判定為壞值而剔除。第四十頁，共五十八頁。(5)剔除含有粗大誤差的壞值后，重新計算余下測定值的算術平均值和標準誤差，查表求新的臨界值，再進行判定。故余下的測定值中已無粗大誤差的壞值。第四十一頁，共五十八頁。判別法的選擇原則：除了上述萊依特、格拉布斯準則外，可疑數(shù)據(jù)剔除的判別方法還有狄克準則、肖維涅準則、t檢驗準則等。自學對上述兩種常用準則的一般選擇原則簡述如下：1）從理論上講,當測量次數(shù)n趨于無窮時，采用萊依特準則更為合適。若，則采用格拉布斯準則。2）在最多只有一個異常值時，采用格拉布斯準則來判別壞值的效果最佳。3）在可能存在多個異常值時，應采用兩種以上的準則來交叉判別，否則效果不佳。第四十二頁，共五十八頁。第五節(jié)隨機誤差的計算一、直接測量誤差的計算進行隨機誤差計算前，一般按以下步驟進行：①首先剔除過失（或粗大）誤差。②修正系統(tǒng)誤差③最后在確定不存在粗大誤差與系統(tǒng)誤差的情況下，對隨機誤差進行分析計算。

步驟：12(黑板說明)1）2）3）4）5）6）7）例子：內(nèi)燃機測試式3-5第四十三頁，共五十八頁。二權的概念非等精度測量中，。。。。。引入：權的概念

“權”是用來評價測量結(jié)果質(zhì)量的標志，當對二次或若干次測量結(jié)果進行對比時，“權”的數(shù)值越大，表示該測量結(jié)果的可信賴度越高?！皺唷钡臄?shù)值與測量的標準誤差密切相關。

權定義；數(shù)學表達：3-24

最佳值：計算式3-25加權算術平均值均方根誤差：3-26例子：3-6第四十四頁，共五十八頁。間接測量的誤差計算1只測一次誤差計算式例子：轉(zhuǎn)速測量2運算中的函數(shù)誤差加減乘除多參數(shù)間接測量函數(shù)誤差計算的形式數(shù)學式例子3-28第四十五頁，共五十八頁。間接測量誤差分析與處理（具體）在間接測量中，測量誤差是各個測量值誤差的函數(shù)。因此，研究間接測量的誤差也就是研究函數(shù)誤差。研究函數(shù)誤差有下列三個基本內(nèi)容：已知函數(shù)關系和各個測量值的誤差，求函數(shù)即間接測量值的誤差。已知函數(shù)關系和規(guī)定的函數(shù)總誤差，要求分配各個測量值的誤差。確定最佳的測量條件，即使函數(shù)誤差達到最小值時的測量條件。

第四十六頁，共五十八頁。

數(shù)學分析。。。。。結(jié)論Ⅰ：間接測量值的最佳估計值可以由與其有關的各直接測量值的算術平均值代入函數(shù)關系式求得。結(jié)論Ⅱ：間接測量值的標準誤差是各獨立直接測量值的標準誤差和函數(shù)對該直接測量值偏導數(shù)乘積的平方和的平方根。

第四十七頁，共五十八頁。

最后，應指出以下兩點：1．上述各公式是建立在對每一獨立的直接測量值xi進行多次等精度獨立測量的基礎上的，否則，上述公式嚴格地說將不成立。2．對于間接測量值與各直接測量值之間呈非線性函數(shù)關系的情況，上述公式只是近似的，只有當計算y的誤差允許作線性近似時才能使用。

第四十八頁，共五十八頁。二、函數(shù)誤差的分配

在間接測量中，當給定了函數(shù)y的誤差，再反過來求各個自變量的部分誤差的允許值，以保證達到對已知函數(shù)的誤差要求，這就是函數(shù)誤差的分配。誤差分配是在保證函數(shù)誤差在要求的范圍內(nèi)，根據(jù)各個自變量的誤差來選擇相應的適當儀表。

第四十九頁，共五十八頁。

1．按等作用原則分配誤差 等作用原則認為各個部分誤差對函數(shù)誤差的影響相等，即

由此可得如果各個測量值誤差滿足上式，則所得的函數(shù)誤差不會超過允許的給定值。第五十頁，共五十八頁。

2．按可能性調(diào)整

因為計算得到的各個局部誤差都相等，這對于其中有的測量值，要保證其誤差不超出允許范圍較為容易實現(xiàn)，而對于有的測量值就難以滿足要求，因此按等作用原則分配誤差可能會出現(xiàn)不合理的情況。 同時當各個部分誤差一定時，相應測量值的誤差與其傳遞函數(shù)成反比。所以盡管各個部分誤差相等，但相應的測量值并不相等，有時可能相差很大。第五十一頁，共五十八頁。

由于存在以上情況，對等作用原則分配的誤差，必須根據(jù)具體情況進行調(diào)整。調(diào)整的基本原則：測量儀器可能達到的精度技術上的可能性經(jīng)濟上的合理性各直接測量量在函數(shù)中的地位第五十二頁，共五十八頁。

對那些技術上難以獲得較高測量精度或者需要花費很高代價才能取得較高測量精度的直接測量量，應該放松要求，分配給較大的允許誤差；對那些比較容易獲得較高測量精度的直接測量量，則應該提高要求，分配給較小的允許誤差；考慮到各直接測量量在函數(shù)關系中的地位不同，對間接測量結(jié)果的影響也不同，對于那些影響較大的直接測量量，應該視具體情況提高其精度要求。第五十三頁，共五十八頁。

3．驗算調(diào)整后的總誤差 誤差調(diào)整后，應按誤差分配公式計算總誤差，若超出給定的允許誤差范圍，應選擇可能縮小的誤差項進行補償。若發(fā)現(xiàn)實際總誤差較小，還可以適當擴大難以實現(xiàn)