2022-2023學(xué)年河南省南陽(yáng)市內(nèi)鄉(xiāng)縣實(shí)驗(yàn)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年河南省南陽(yáng)市內(nèi)鄉(xiāng)縣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．如圖.空間四邊形OABC中，，點(diǎn)M在OA上，且滿足，點(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由M，N在線段OA，BC上的位置，用，，表示，，進(jìn)而表示出.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)N為BC的中點(diǎn)，所以，所以.故選：D.2．在新型冠狀病毒肺炎疫情聯(lián)防聯(lián)控期間，社區(qū)有5名醫(yī)務(wù)人員到某學(xué)校的高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)協(xié)助防控和宣傳工作.若每個(gè)年級(jí)至少分配1名醫(yī)務(wù)人員，則不同的分配方法有（）A．25種

B．50種

C．300種

D．150種【答案】D【分析】首先分析將5個(gè)人分為三小組且每小組至少有一人，則可能分法有：兩種情況，每種情況利用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算情況數(shù)，最后相加即可.【詳解】當(dāng)5個(gè)人分為2，2，1三小組，分別來(lái)自3個(gè)年級(jí)，共有種；②當(dāng)5個(gè)人分為3，1，1三小組時(shí)，分別來(lái)自3個(gè)年級(jí)，共有種.綜上，選法共有.故選:D.3．已知隨機(jī)變量X的分布列為，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)分布列的概率求解方式即可得出答案.【詳解】解：由題意得：．故選:A4．以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即為焦點(diǎn)，根據(jù)焦點(diǎn)可求出，可得答案.【詳解】直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)為時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.5．已知圓，過(guò)點(diǎn)的直線被該圓所截得的弦長(zhǎng)的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】結(jié)合已知條件求出圓的圓心和半徑，由圓的弦長(zhǎng)公式和性質(zhì)即可求解.【詳解】由圓的方程可知，則圓心坐標(biāo)，半徑為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，設(shè)圓心到直線的距離為，則過(guò)的直線與圓的相交弦長(zhǎng)，顯然當(dāng)最大時(shí)，弦長(zhǎng)最小，由圓的性質(zhì)可知當(dāng)時(shí)最大，此時(shí)，所以弦長(zhǎng)的最小值為，故選：D6．如圖所示，二面角的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于．已知，，，，則該二面角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)垂直的條件得，，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算可得，根據(jù)圖示可求得二面角的大小.【詳解】由題意得：，，因?yàn)?，所以，即，解得：，又，則，由圖示得，該二面角為為銳角，即該二面角為，故選：C.7．已知的展開式中的系數(shù)為10，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】因?yàn)?，結(jié)合二項(xiàng)展開的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為，，∵，∴，解得，故選：B.8．已知（1+2x）n的展開式中第3項(xiàng)與第9項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為（

）A．211 B．210 C．29 D．28【答案】C【分析】根據(jù)題意即可得，再根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求得n的值，最后根據(jù)偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為進(jìn)行求解即可．【詳解】由題意可得，，所以n=10，則（1+2x）n的二項(xiàng)式系數(shù)之和為210.所以所有偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和29，故選：C．9．若直線與互相垂直，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C．或0 D．或0【答案】D【分析】根據(jù)直線一般式方程下兩直線垂直的充要條件列方程，即可得實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：若直線與互相垂直，則，即，解得或.故選：D.10．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在圓上，則的最小值為（

）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】作于，由拋物線的定義可得，.根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得，，，可知要使取得最小值，則需四點(diǎn)共線，則過(guò)過(guò)點(diǎn)，作，垂足為，交圓于點(diǎn)，交拋物線于，可得出最小值.【詳解】由題意知，圓心，半徑，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線.如圖，作于，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以.因?yàn)?，，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào).又，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào).過(guò)點(diǎn)，作，垂足為，交圓于點(diǎn)，交拋物線于，此時(shí)，有四點(diǎn)共線，則上述兩式可同時(shí)取等號(hào).所以有，.所以，的最小值為8.故選：C.二、填空題11．一袋中裝有4只同樣大小的球，編號(hào)分別為1，2，3，4，現(xiàn)從中隨機(jī)取出2個(gè)球，以X表示取出球的最大號(hào)碼，則X的分布列為_____________【答案】X234P【分析】由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2，3，4，然后求出各自對(duì)應(yīng)的概率，即可求出X的分布列【詳解】由題意隨機(jī)變量X所有可能取值為2，3，4.且P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝.因此X的分布列為：X234P故答案為：X234P12．已知橢圓C：（）左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)且傾斜角為60°的直線與過(guò)的直線交于A點(diǎn)，點(diǎn)A在橢圓上，且.則橢圓C的離心率__________.【答案】##【分析】由題設(shè)在Rt△中，，，結(jié)合橢圓定義得到齊次方程即可求離心率.【詳解】由與過(guò)的直線交于橢圓上A點(diǎn)，且，，所以，而，故，，所以，故.故答案為：13．過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則切線的方程為_________．【答案】或【分析】討論切線的斜率是否存在.當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，得到直線方程，根據(jù)圓心到直線的距離，得到，解出，代入直線方程即可.【詳解】由已知圓心，半徑.又，所以，點(diǎn)在圓外.當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為.此時(shí)，圓心到直線的距離，所以直線不是圓的切線；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，整理可得，.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，即，整理得，，解得，或.當(dāng)時(shí)，直線方程為；當(dāng)時(shí)，直線方程為，化為一般式方程為.所以切線的方程為或.故答案為：或.14．我校去年11月份，高二年級(jí)有9人參加了赴日本交流訪問(wèn)團(tuán)，其中3人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞，其余4人既能唱歌又能跳舞．現(xiàn)要從中選6人上臺(tái)表演，3人唱歌，3人跳舞，有______種不同的選法【答案】216【分析】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理，按照分步乘法，分類加法即可得解.【詳解】根據(jù)題意可按照只會(huì)跳舞的2人中入選的人數(shù)分類處理.第一類：2個(gè)只會(huì)跳舞的都不選，有種;第二類：2個(gè)只會(huì)跳舞的有1人入選，有種;第三類：2個(gè)只會(huì)跳舞的全入選，有種,所以共有216種不同的選法,故答案為：216.三、解答題15．在的展開式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79.(1)求的值；(2)若展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，試問(wèn)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)？【答案】(1)(2)第9項(xiàng)【分析】（1）由前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，列方程即可求得；（2）求出的通項(xiàng)為根據(jù)展開式中的常數(shù)項(xiàng)為解得，再列不等式組求解即可.【詳解】（1）因?yàn)榍叭?xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79，所以有，解得或.因?yàn)?，所?（2）的通項(xiàng)為，所以當(dāng)，即時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，解得.由不等式組解得.因?yàn)?，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是第9項(xiàng).16．若，其中.(1)求m的值；(2)求；(3)求.【答案】(1)(2)(3)0【分析】（1）由展開式的通項(xiàng)求解即可；（2）令與即可求解；（3）令并結(jié)合（2）即可求解得【詳解】（1）的展開式的通項(xiàng)為，所以，所以，解得；（2）由（1）知，令，可得，令，可得，所以；（3）令，可得，由（2）知，所以17．如圖，已知平面，底面為矩形，分別為的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)若為中點(diǎn)，連接，易證為平行四邊形，則，根據(jù)線面平行的判定即可證明；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，易知是面的一個(gè)法向量，求出平面的法向量量，利用向量的夾角公式即可求解.【詳解】（1）若為中點(diǎn)，連接，又?為?的中點(diǎn)，底面為矩形，所以且，而且，所以且，故為平行四邊形，故，又面，面，則面.（2）由題意，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，，，，則，，，若是面的一個(gè)法向量，則，令，故，又是面的一個(gè)法向量，所以，故平面與平面的夾角的余弦值.18．某城市為了加快“兩型社會(huì)”（資源節(jié)約型，環(huán)境友好型）的建設(shè)，本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來(lái)越多，自行車租車點(diǎn)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每車每次租車時(shí)間不超過(guò)兩小時(shí)免費(fèi)，超過(guò)兩小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)2元（不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算）．有甲、乙兩人相互獨(dú)立來(lái)該租車點(diǎn)租車騎游（各租一車一次）．設(shè)甲、乙不超過(guò)兩小時(shí)還車的概率分別為，；兩小時(shí)以上且不超過(guò)三小時(shí)還車的概率分別為，；兩人租車時(shí)間都不會(huì)超過(guò)四小時(shí)．(1)求甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用相同的概率；(2)設(shè)甲、乙兩人所付的租車費(fèi)用之和為隨機(jī)變量X，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率加法公式求解.（2）利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式以及互斥事件的概率