2023版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題七選修4系列第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程（選修4-4）文（含解析）

2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)第二部分專題七選修4系列第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程（選修4-4）文（含解析）PAGE15-第1講坐標(biāo)系與參數(shù)方程〔選修4-4〕A級根底通關(guān)1．(2022·江蘇卷)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為ρsin(eq\f(π,6)－θ)＝2，曲線C的方程為ρ＝4cosθ，求直線l被曲線C截得的弦長．解：因為曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，所以曲線C是圓心為(2，0)，直徑為4的圓．因為直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(eq\f(π,6)－θ)＝2，那么直線l過A(4，0)，傾斜角為eq\f(π,6)，所以A為直線l與圓C的一個交點．設(shè)另一個交點為B，那么∠OAB＝eq\f(π,6).如圖，連接OB.因為OA為直徑，從而∠OBA＝eq\f(π,2)，所以AB＝4coseq\f(π,6)＝2eq\r(3).因此，直線l被曲線C截得的弦長為2eq\r(3).2．(2022·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝4sinθ))(θ為參數(shù))，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋tcosα，,y＝2＋tsinα))(t為參數(shù))．(1)求C和l的直角坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1，2)，求l的斜率．解：(1)曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,16)＝1.當(dāng)cosα≠0時，l的直角坐標(biāo)方程為y＝tanα·x＋2－tanα，當(dāng)cosα＝0時，l的直角坐標(biāo)方程為x＝1.(2)將l的參數(shù)方程代入C的直角坐標(biāo)方程，整理得關(guān)于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因為曲線C截直線l所得線段的中點(1，2)在C內(nèi)，所以①有兩個解，設(shè)為t1，t2，那么t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－eq\f(4〔2cosα＋sinα〕,1＋3cos2α)，故2cosα＋sinα＝0，于是直線l的斜率k＝tanα＝－2.3．在平面直角坐標(biāo)系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位．直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)－t，,y＝1＋\r(3)t))(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3))).(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)直線l與曲線C交于M，N兩點，求△MON的面積．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)－t，,y＝1＋\r(3)t，))消去參數(shù)t得eq\r(3)x＋y＝4，所以直線l的普通方程為eq\r(3)x＋y－4＝0.由ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝2sinθ＋2eq\r(3)cosθ，得ρ2＝2ρsinθ＋2eq\r(3)ρcosθ，即x2＋y2＝2eq\r(3)x＋2y.所以曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓(x－eq\r(3))2＋(y－1)2＝4.(2)因為原點O到直線l的距離d＝eq\f(|－4|,\r(〔\r(3)〕2＋12))＝2.直線l過圓C的圓心(eq\r(3)，1)，所以|MN|＝2r＝4，所以△MON的面積S＝eq\f(1,2)|MN|×d＝4.4．(2022·佛山檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t))(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋sin2θ).(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)P為曲線C上的點，PQ⊥l，垂足為Q，假設(shè)|PQ|的最小值為2，求m的值．解：(1)因為曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝eq\f(4,1＋sin2θ)，那么ρ2＋ρ2sin2θ＝4，將ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y(tǒng)代入上式并化簡得eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2t，,y＝\r(2)t，))消去參數(shù)t得x－eq\r(2)y＝m，所以直線l的普通方程為x－eq\r(2)y－m＝0.(2)設(shè)P(2cosθ，eq\r(2)sinθ)，由點到直線的距離公式得|PQ|＝eq\f(|2cosθ－2sinθ－m|,\r(3))＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2\r(2)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))－m)),\r(3))，由題意知m≠0，當(dāng)m＞0時，|PQ|min＝eq\f(|2\r(2)－m|,\r(3))＝2，得m＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)；當(dāng)m＜0時，|PQ|min＝eq\f(|－2\r(2)－m|,\r(3))＝2，得m＝－2eq\r(3)－2eq\r(2)，所以m＝2eq\r(3)＋2eq\r(2)或m＝－2eq\r(3)－2eq\r(2).5．(2022·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ＝4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)點A的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．解：(1)設(shè)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)(ρ>0)，M的極坐標(biāo)為(ρ1，θ)(ρ1>0)．由題設(shè)知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq\f(4,cosθ).由|OM|·|OP|＝16得C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ(ρ＞0)．因此C2的直角坐標(biāo)方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．(2)設(shè)點B的極坐標(biāo)為(ρB，α)(ρB>0)．由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面積S＝eq\f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq\r(3).當(dāng)α＝－eq\f(π,12)時，S取得最大值2＋eq\r(3).所以△OAB面積的最大值為2＋eq\r(3).6．(2022·全國卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程．解：(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得C2的直角坐標(biāo)方程為(x＋1)2＋y2＝4.(2)由(1)知C2是圓心為A(－1，0)，半徑為2的圓．由題設(shè)知，C1是過點B(0，2)且關(guān)于y軸對稱的兩條射線．記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2.由于點B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個公共點等價于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點．當(dāng)l1與C2只有一個公共點時，A到l1所在直線的距離為2，所以eq\f(|－k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(4,3)或k＝0.經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝－eq\f(4,3)時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點．當(dāng)l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以eq\f(|k＋2|,\r(k2＋1))＝2，故k＝0或k＝eq\f(4,3).經(jīng)檢驗，當(dāng)k＝0時，l1與C2沒有公共點；當(dāng)k＝eq\f(4,3)時，l2與C2沒有公共點．綜上，所求C1的方程為y＝－eq\f(4,3)|x|＋2.B級能力提升7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ＋2acosθ(a＞0)；直線l的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t為參數(shù))．直線l與曲線C分別交于M，N兩點．(1)寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程；(2)假設(shè)點P的極坐標(biāo)為(2，π)，|PM|＋|PN|＝5eq\r(2)，求a的值．解：(1)由ρ＝2sinθ＋2acosθ(a＞0)，得ρ2＝2ρsinθ＋2ρacosθ(a＞0)，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝2y＋2ax，即(x－a)2＋(y－1)2＝a2＋1.由直線l的參數(shù)方程得直線l的普通方程為y＝x＋2.(2)將直線l的參數(shù)方程eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t.))代入x2＋y2＝2y＋2ax，化簡得t2－(3eq\r(2)＋eq\r(2)a)t＋4a＋4＝0.Δ＝(3eq\r(2)＋eq\r(2)a)2－4(4a＋4)＞0，解得a≠1.t1＋t2＝3eq\r(2)＋eq\r(2)a，t1t2＝4a＋4.又因為a＞0，所以t1＞0，t2＞0.因為點P的直角坐標(biāo)為(－2，0)，且在直線l上，所以|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝3eq\r(2)＋eq\r(2)a＝5eq\r(2)，解得a＝2，此時滿足a＞0，且a≠1，故a＝2.8．(2022·珠海檢測)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝4t2))(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝eq\f(2,msinθ＋cosθ).(1)求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)C1與C2交于P，Q兩點，求eq\f(1,kOP)＋eq\f(1,kOQ)的值．解：(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝4t2))(t為參數(shù))，消去參數(shù)t，得x2＝eq\f(1,4)y，那么C1的普通方程為x2＝eq\f(1,4)y.由ρ＝eq\f(2,msinθ＋cosθ)，得mρsinθ＋ρcosθ＝2，將x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，得my＋x－2＝0，即C2的直角坐標(biāo)方程為x＋my－2＝0.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝4t2))(t為參數(shù))，可得eq\f(y,x)＝4t(x≠0)，故4t的幾何意義是拋物線x2＝eq\f(1,4)y上的點(原點除外)與原點連線的斜率．由(1)知，當(dāng)m＝0時，C2：x＝2，那么C1與C2只有一個交點，故m≠0.把eq\b\lc\{