2023屆重慶市高三上學(xué)期12月調(diào)研數(shù)學(xué)試題

2023屆重慶市高三上學(xué)期12月調(diào)研數(shù)學(xué)試題一、單選題1．設(shè)，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)乘法以及復(fù)數(shù)相等的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，即，所以，即.故選：C2．已知函數(shù)，則（

）A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式求得正確答案.【詳解】由得，依題意，，令得.故選：D3．某籃球運(yùn)動(dòng)員練習(xí)罰籃，共20組，每組50次，每組命中球數(shù)如下表：命中球數(shù)4647484950頻數(shù)24464則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別為（

）A．48，4 B．48.5，4 C．48，49 D．48.5，49【答案】D【分析】根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義即可求解.【詳解】數(shù)據(jù)總個(gè)數(shù)為20個(gè)，因此中位數(shù)是第10個(gè)與第11個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)，即，眾數(shù)為出現(xiàn)最多的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)49（出現(xiàn)6次），故選：D.4．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式將條件化簡(jiǎn)之后，平方法可判斷,注意開(kāi)根號(hào)有2個(gè)解.【詳解】，對(duì)上式左右平方得：反之，當(dāng)故選：A5．明朝朱載培發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長(zhǎng)之比完全相同.若已知應(yīng)鐘、大呂、夾鐘、仲呂的波長(zhǎng)成等比數(shù)列，且應(yīng)鐘和仲呂的波長(zhǎng)分別是，，則大呂和夾鐘的波長(zhǎng)之和為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】等比數(shù)列第一和第四項(xiàng)用通項(xiàng)公式可求出公比，進(jìn)而求出第二和第三項(xiàng)可得答案.【詳解】故選：C6．如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)分別是的中點(diǎn)，連接，則，由于是等邊三角形，所以，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面平面，且交線為，平面，所以平面，由于平面，所以.根據(jù)根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)可知，平面，所以平面，平面，所以，由此以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，則，所以，設(shè)異面直線與所成角為，則.故選：A7．在中，，分別在，上，且，，，交于點(diǎn)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線，根據(jù)線線平行可得三角形相似，進(jìn)而得到的長(zhǎng)度之比.【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于在中，為中位線，又在中，所以故選：A8．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的，成立，當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，都有，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)在區(qū)間、上的值域，然后在時(shí)解不等式，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，即可解得實(shí)數(shù)的取值范圍，即可得解.【詳解】令，其中，則，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，由可得或，當(dāng)時(shí)，，由可得，解得.故選：A.二、多選題9．已知集合，，若，則的取值可以是（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】ACD【分析】對(duì)集合B中的分類討論即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,顯然滿足條件;當(dāng)時(shí),,集合,故,或,解,故實(shí)數(shù)的取值的集合是.故選：ACD.為陽(yáng)馬，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，其中兩條側(cè)棱長(zhǎng)都為3，則（

）A．該陽(yáng)馬的體積為 B．該陽(yáng)馬的表面積為C．該陽(yáng)馬外接球的半徑為 D．該陽(yáng)馬內(nèi)切球的半徑為【答案】ABD【分析】根據(jù)相等的兩條棱，求出四棱錐的高，可得其體積和表面積；然后再分析發(fā)現(xiàn)其外接球球心為中點(diǎn)，內(nèi)切球的大圓半徑其實(shí)是的內(nèi)切圓半徑.【詳解】如圖，不妨底面，兩兩互相垂直，平面平面，又由對(duì)稱性：，所以A對(duì)；B對(duì)；都是以為斜邊的直角三角形，所以都在以為直徑的球上，C錯(cuò)；分析易知：內(nèi)切球的大圓半徑其實(shí)是的內(nèi)切圓半徑，根據(jù)內(nèi)切圓半徑公式可得：D對(duì)；故選：ABD【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.11．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，對(duì)任意的滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，利用已知條件求得的單調(diào)性，從而確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞增，所以，由，得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.由，得，C選項(xiàng)正確.由，得，B選項(xiàng)正確.由，得，A選項(xiàng)正確.故選：ABC12．已知函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．B．在上單調(diào)遞減C．函數(shù)在上最多有3個(gè)零點(diǎn)D．在上恰有2個(gè)極值點(diǎn)【答案】BC【分析】首先利用輔助角公式得，根據(jù)范圍得到的范圍，結(jié)合圖像列出不等式，則得到的范圍，利用代入檢驗(yàn)法即可判斷B選項(xiàng)，對(duì)C選項(xiàng)證明達(dá)不到四個(gè)零點(diǎn)，再列舉三個(gè)零點(diǎn)的情況即可，對(duì)D選項(xiàng)，找到一個(gè)值滿足3個(gè)極值點(diǎn)即可.【詳解】，，，，函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，解得，故A錯(cuò)誤，當(dāng)，，，，，而正弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞減正確，故B正確，令，即，解得，，，區(qū)間長(zhǎng)度為，若在某閉區(qū)間上有四個(gè)解，則區(qū)間長(zhǎng)度至少為，比如，則不可能存在四個(gè)解，當(dāng)時(shí)，即，，則或或，解得或或，故最多有3個(gè)零點(diǎn)，故C正確.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，令，,解得，，則，解得，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上有3個(gè)極值點(diǎn)，故D錯(cuò)誤，故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：首先利用輔助角公式將函數(shù)化成關(guān)于正弦的函數(shù)，然后整體法結(jié)合圖像得到關(guān)于的不等式，即可求出其范圍，單調(diào)性問(wèn)題可以通過(guò)代入檢驗(yàn)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)和極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)尋找特例去證明或反駁，這也是選擇題常用的方法.三、填空題13．寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：______．①圓心在直線上，②與軸相切．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定條件，在給定直線上取點(diǎn)，再求出該點(diǎn)到y(tǒng)軸距離即可作答.【詳解】因圓心在直線上，則在直線取點(diǎn)作圓心，又該圓與軸相切，則圓半徑為2，所以滿足條件的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故答案為：14．已知，則的最小值是______．【答案】【分析】利用基本不等式求得正確答案.【詳解】由于，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：15．盲盒是指消費(fèi)者不能提前得知具體產(chǎn)品款式的商品盒子．已知某盲盒產(chǎn)品共有3種玩偶，小明購(gòu)買4個(gè)盲盒，則他能集齊3種玩偶的概率是______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，求出買4個(gè)盲盒的基本事件數(shù)，再求出集齊3種玩偶的基本事件數(shù)即可計(jì)算作答.【詳解】小明購(gòu)買4個(gè)盲盒的試驗(yàn)有個(gè)基本事件，它們等可能，能集齊3種玩偶的事件A含有的基本事件數(shù)為：，所以能集齊3種玩偶的概率是.故答案為：16．已知函數(shù)，則曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線方程是______．【答案】或.【分析】設(shè)切點(diǎn)，然后求導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而得到該點(diǎn)處的切線方程，再代入點(diǎn)即可.【詳解】設(shè)切點(diǎn)為對(duì)求導(dǎo)得：，切線方程為：，切線過(guò)，解之：或1，所以斜率或，又過(guò)，代入點(diǎn)斜式得切線方程為：或，故答案為：或.四、解答題17．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且．(1)求的值；(2)若，的面積是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理、兩角和的正弦公式、誘導(dǎo)公式等知識(shí)化簡(jiǎn)已知條件，從而求得的值.（2）先求得，利用三角形的面積公式求得，再利用余弦定理求得.【詳解】（1）依題意，，由正弦定理得，，所以，由于，所以，所以，則．（2）由（1）得，所以，由解得，由于，所以，由余弦定理得.18．如圖，在梯形中，，，，將沿邊翻折，使點(diǎn)翻折到點(diǎn)，且．(1)證明：平面．(2)若為線段的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用線面垂直判定定理去證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法去求二面角的余弦值．【詳解】（1）等腰梯形中，，，，則則，∴又由，可知又，面，面故面（2）過(guò)點(diǎn)C作平面，以C為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，則，設(shè)面法向量為則，則，令，則，，則又面一個(gè)法向量為故二面角的余弦值為19．現(xiàn)在養(yǎng)寵物已經(jīng)成為一件再正常不過(guò)的事情了，尤其是對(duì)某些人來(lái)說(shuō)，養(yǎng)寵物是他們生活中非常重要的一件事情，他們還將自己的寵物當(dāng)成是家人．某機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100名養(yǎng)寵物的人，對(duì)他們養(yǎng)寵物的原因進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，得到如下表數(shù)據(jù)：喜歡其他合計(jì)男102030女403070合計(jì)5050100(1)根據(jù)表中調(diào)查數(shù)據(jù)，并依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為是否是因?yàn)橄矚g寵物而養(yǎng)寵物與性別有關(guān)？(2)若從這100人中，按性別采用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取4人，記抽到的男性人數(shù)為，求的分布列與期望．參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：【答案】(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為因?yàn)橄矚g寵物而養(yǎng)寵物與性別有關(guān).(2)分布列見(jiàn)解析；期望為【分析】（1）計(jì)算的值，從而作出判斷.（2）先求得抽取的人中，男性、女性的人數(shù)，然后按照超幾何分布的分布列的計(jì)算公式，計(jì)算出分布列并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1），所以，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為因?yàn)橄矚g寵物而養(yǎng)寵物與性別有關(guān).（2）男性與女性人數(shù)的比例為，所以抽取的人中，男性有人，女性有人.可取0，1，2，3，,,,,0123.20．?dāng)?shù)列滿足，．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列．(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)已知證明等于一個(gè)定值即可；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，又，所以?shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；（2）解：由（1）得，，則.21．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)，(2)答案詳見(jiàn)解析【分析】（1）利用三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)的解析式，利用整體代入求得的單調(diào)遞增區(qū)間.（2）先求得在區(qū)間上的值域，利用換元法，結(jié)合對(duì)分類討論來(lái)求得零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【詳解】（1），由，，解得，，故遞增區(qū)間為，.（2），則，則，所以，畫出在區(qū)間上的圖象如下圖所示，令，則，，由，結(jié)合圖象得：①當(dāng)時(shí)，，，即，此時(shí)零點(diǎn)唯一；②當(dāng)時(shí)，或或，此時(shí)三個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，或或，此時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，或或（無(wú)解），此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；⑤當(dāng)時(shí)，或或，此時(shí)兩個(gè)零點(diǎn)；⑥當(dāng)，時(shí)，或或，此時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)；⑦當(dāng)時(shí)，或或（無(wú)解），此時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)；，有三個(gè)零點(diǎn).22．已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．(1)若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，求的取值范圍；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】（1）求導(dǎo)，關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，即方程有兩個(gè)不同的正實(shí)根，令，利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間，從而可得出答案；（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，即恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最