2021-2022學(xué)年北京市石景山區(qū)高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2021-2022學(xué)年北京市石景山區(qū)高二(下)期末數(shù)學(xué)試卷

I.已知等差數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式冊(cè)=-2n+5,則它的公差為()

A.2B.-2C.5D.-5

2.如果一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(t)=t3(t>。)，其中s的單位是千米，?的單位是小

時(shí)，那么物體在4小時(shí)末的瞬時(shí)速度是()

A.12千米/小時(shí)B.24千米〃卜時(shí)C.48千米/小時(shí)D.64千米/小時(shí)

3.一名老師和四名學(xué)生站成一排照相，則老師站在正中間的不同站法有()

A.4種B.12種C.24種D.120種

4.在(x—展開式中，含了項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-35B.-21C.21D.35

5.已知曲線y=f(K)在(5)(5))處的切線方程是y=-％+5,則/'(5)與/'(5)的值分別

為()

A.51—1B.-1,5C.—110D.0,—1

6.從1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)，事件A：“取到的2個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)”，

事件8：“取到的2個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，則P(BM)等于()

A.-B.-C.-D.-

8452

7.下列命題錯(cuò)誤的是()

A.隨機(jī)變量《?B(nj),若E(f)=30,則n=90

B.線性回歸直線y=bx+a一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(x,y)

C.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1

D.設(shè)f?N(l82),且P(f<0)=0.2,則P(1<f<2)=0.2

8.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為%,若a.=]+2+；++,」則55=()

A.2B.-C.-D.-

235

9.已知函數(shù)f(x)=x+l-de-有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(-B.(一白,+8)C.(一0)D.(—,4-oo)

10.等差數(shù)列｛aj的前〃項(xiàng)和為無，前〃項(xiàng)積為〃，已知。2=-11，&4=一7,貝ij()

A.Sn有最小值，%有最小值B.S”有最大值，及有最大值

C.Sn有最小值，有最大值D.Sn有最大值，”有最小值

11.離散型隨機(jī)變量f的分布列如表：

012

11

pa

24

則E(f)=;D(f)=.

12.在(1+3x)4的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)之和為；各項(xiàng)系數(shù)之和為.(用數(shù)

字作答)

13.已知函數(shù)/(為=一/+(1/一%一1在/?上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

aa

14.在數(shù)列｛tin｝中，%=｝nn+l+1=an,nGN*,則42022=-

15.若存在常數(shù)上和兒使得函數(shù)f(x)和g(x)對(duì)其公共定義域上的任意實(shí)數(shù)X都滿足：

/(x)>kx+b和g(x)<kx+b恒成立或(f(x)<kx+b和g(x)>kx+b恒成立)，

則稱此直線y=kx+b為f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知函數(shù)f(x)=x2,g。)=

1(%<0),有下列命題：

①直線y=0為/(%)和g(x)的“隔離直線”.

②若y=-％+b為/(x)和g(x)的“隔離直線”，則人的范圍為［—4,一》

③存在實(shí)數(shù)匕使得f(x)和g(x)有且僅有唯一的“隔離直線”.

④/'(x)和9。)之間一定存在“隔離直線”，且b的最小值為-4.

其中所有正確命題的序號(hào)是.

16.已知數(shù)列｛aj是公比為2的等比數(shù)列，且a2,a3+l,a,成等差數(shù)列.

(/)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)公式；

(〃)記“=an+log2azi+i，求數(shù)列｛砥｝的前〃項(xiàng)和

17.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是|,且各次射擊的結(jié)果互不影響，假設(shè)這名射手

射擊3次.

(團(tuán))求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；

(團(tuán))現(xiàn)在對(duì)射手的3次射擊進(jìn)行計(jì)分：每擊中目標(biāo)1次得1分，未擊中目標(biāo)得0分；

若僅有2次連續(xù)擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分.記f為射手

射擊3次后的總得分，求f的分布列與數(shù)學(xué)期望.

18.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2,當(dāng)％=1時(shí)，f(x)取得極值-3.

(回)求a,〃的值；

(團(tuán))若對(duì)于任意x>0,不等式f(x)+2m2-巾2o恒成立，求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

19.某單位共有員工45人，其中男員工27人，女員工18人.上級(jí)部門為了對(duì)該單位

員工的工作業(yè)績進(jìn)行評(píng)估，采用按性別分層抽樣的方法抽取5名員工進(jìn)行考核.

(團(tuán))求抽取的5人中男、女員工的人數(shù)分別是多少；

(回)考核前，評(píng)估小組從抽取的5名員工中，隨機(jī)選出3人進(jìn)行訪談.設(shè)選出的3

人中男員工人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(團(tuán))考核分筆試和答辯兩項(xiàng).5名員工的筆試成績分別為78,85,89,92,96；結(jié)

合答辯情況，他們的考核成績分別為95,88,102,106,99.這5名員工筆試成績

與考核成績的方差分別記為*,sl，試比較式與，的大小.(只需寫出結(jié)論)

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20.已知函數(shù)"x)=lnx—W.

(團(tuán))求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程；

(@)若存在殉>1,當(dāng)xe(l,xo)時(shí)，恒有f(x)>k(x—l),求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式怎=-2n+5,

則%=-2+5=3,a2=—2x2+5=1,

則它的公差為。2—%=1-3=-2.

故選：B.

等差數(shù)列｛a“｝的通項(xiàng)公式a。=-2n+5,求出％,a2＞它的公差為&2-%.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解:根據(jù)題意，s(t)=t3(t＞。)，則s，(t)=3t2,

則s'(4)=3x16=48,

所以物體在4小時(shí)末的瞬時(shí)速度是48千米/小時(shí).

故選：C.

根據(jù)題意，求出s(t)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算物體在4小時(shí)末的瞬時(shí)速度s'(4)即可.

本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，涉及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、老師站在正中間，有1種情況，

②、將四名學(xué)生全排列，安排在兩邊的4個(gè)位置，有4：=24種排法，

則5人不同的站法有1x24=24種.

故選：C.

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、由于老師站在正中間，易得其站法數(shù)目，②、將四名

學(xué)生全排列，安排在兩邊的4個(gè)位置，由排列數(shù)公式可得學(xué)生的站法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)

原理計(jì)算可得答案.

本題考查了排列、組合的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：展開式中含x的項(xiàng)為C次然―＞3=一35%,

所以x的系數(shù)為—35,

故選：A.

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出展開式中含x的項(xiàng)，由此即可求解.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

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5.【答案】D

【解析】解:???曲線y=/(x)在(5/(5))處的切線方程是y=—x+5,

??-/(5)=-5+5=0；且/(5)=-1.

故選：D.

由切點(diǎn)處的函數(shù)值相等求解f(5),再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得/'(5).

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義及應(yīng)用，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：PQ4)=等=：,PQ4B)=^=3由條件概率的計(jì)算公式得P(BM)=

Cg5Cg10

PQ4B)_1

P(4)-4-

故選：B.

根據(jù)條件概率的公式計(jì)算即可.

本題考查了條件概率，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解：對(duì)于A,隨機(jī)變量f?B(n*),E(f)=30,

則［n=30,解得n=90,故A正確，

對(duì)于B,由線性回歸方程的性質(zhì)可知，線性回歸直線丫=bx+a一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心

(x,y),故B正確，

對(duì)于C,兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1,故C正確，

對(duì)于。，若f?N(1Q2),且P(f<0)=0.2,

則P(0<f<1)=<1)一尸(f<0)=0.5-0.2=0.3,

所以P(l<f<2)=03故。錯(cuò)誤.

故選：D.

對(duì)于A,結(jié)合二項(xiàng)分布的期望公式，即可求解，

對(duì)于3,結(jié)合線性回歸方程的性質(zhì)，即可求解，

對(duì)于C,結(jié)合相關(guān)系數(shù)的定義，即可求解，

對(duì)于Q,結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

本題主要考查命題真假判斷與應(yīng)用，需要學(xué)生較強(qiáng)的綜合能力，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：由于

anl+2+3+...+n-,5+1)-n(n+l)-n+r

2

所以％=2(1…；-擊)=2(1-^)=含

5

故55=當(dāng)

3

故選：c.

首先利用關(guān)系式的變換整理得即=2(；-W)，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法的應(yīng)用求出數(shù)列

的和.

本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的變換，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要

考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題.

9【答案】A

【解析】解：由題意，函數(shù)f(x)=x+l—ae-x的定義域?yàn)镽,

x

令f(%)=0，即％+1-m一”=0,即Q=(%4-1)-e,

設(shè)gQ)=(x4-1)-ex,可得g'(%)=e*+(%+1)?e*=(%+2)?ex,

當(dāng)x<一2時(shí)，g'Q)<0,

當(dāng)%>—2時(shí)，g'(%)>0,

所以g(x)在(-8,-2)上單調(diào)遞減，在(-2,+8)上單調(diào)遞增.

又。(-2)=-2，作出簡(jiǎn)圖，如圖所示，

只需y=a與g(x)=(x+1).蠟的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，所以一套<a<0,

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是一為<a<0.

e2

故選：4

令/'(%)=。，轉(zhuǎn)化為a=(x+1)-ex,設(shè)g(x)=(x+1)-ex,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)g(x)單

調(diào)性和最值，把函數(shù)的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為y=a與9。)=(%+1)?短的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)

合圖像，即可求解.

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍的方法等知識(shí),

屬于中等題.

10.【答案】C

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【解析】解：?.,等差數(shù)列｛冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和為土，前〃項(xiàng)積為"，a2=-11，a4=-7-

I：11gdJ)，解得的=一13，d=2,

:.a?=-13+(n-1)x2=2n—15,

由anWO,解得nW孩，n€N*,

??.等差數(shù)列｛aj的前”項(xiàng)和又滿足S7最小，無最大值，

=—13,a2=-11,CZg=^9,=7,~-5,&6=—3,Cly—^1,CLQ=1,***

Tt=-13,T2=143,T3=-1287,7；=9009,心=—45045,T6=135135,T7=

-135135,-

當(dāng)n28時(shí)，Tn<0,且為遞減數(shù)列，

???〃有最大值135135,沒有最小值.

故選：C.

根據(jù)已知條件求得的,d,進(jìn)而是求得a”，結(jié)合數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)確定正確選項(xiàng).

本題考查等差數(shù)列的運(yùn)算，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基

礎(chǔ)題.

11.【答案】好

【解析】解：由分布列可知：a+；+；=l,得a=；：

244

所以E(《)=0xi+lxi+2xi=lt

1111

D(f)=(0-l)2x-4-(1-l)2x-+(2-l)2x-=-.

4L4-L

故答案為：1;右

根據(jù)分布列的性質(zhì)求出參數(shù)m再計(jì)算期望和方差.

本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

12.【答案】16256

【解析】解：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為24=16,

令x=l,則各項(xiàng)系數(shù)和為(1+3)4=256,

故答案為：16；256.

根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和公式即可求解，再令x=l,即可求出各項(xiàng)系數(shù)和.

本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】［-但向

【解析】

【分析】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題.

由求導(dǎo)公式和法則求出r(x),由題意和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得：((乃式0在/?

上恒成立，利用二次函數(shù)的圖象和△列出不等式，求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【解答】

解：由題意知，/(%)=—X3+ax2—%—1,

則尸(x)=-3x2+2ax—1,

???/(x)=-x3+ax2-x-1在R上是單調(diào)函數(shù)，

??f'(x)——3x2+2ax-1<0在R上恒成立,

則^=(2a)2-4x(-3)x(-1)<0,解得一次<a<V3,

.??實(shí)數(shù)a的取值范圍是［一

故答案為：［—B,b］.

14.【答案】2

_

【解析】解：由的=anan+1+1=an,nG.N*可依次求得a?=0-3=2,a4=

…，可知數(shù)列似“｝各項(xiàng)值以3為周期進(jìn)行周期性變化，所以。2022=。3=2.

故答案為：2.

由的=：,anan+1+1=an,neN*可依次求得a2,a3,a4,■■■,然后根據(jù)周期性可得

。2022值?

本題考查數(shù)列遞推公式應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及推理能力，屬于中檔題.

15.【答案】①④

【解析】解：①因?yàn)楫?dāng)x<。時(shí)，/(x)=/>o,g(x)=1<0,所以直線y=0為f(x)和

g(x)的“隔離直線"，所以①正確，

②，因?yàn)閥=—x+b為/(x)和g(x)的“隔離直線”，所以/z—x+b恒成立，所以bW

x2+x=(x+|)2—即bS

同時(shí):〈一x+b(x<0)恒成立，所以b2x+：(%<0)恒成立，因?yàn)椋?1=-(-%+

<-2J(-x)-=-2,當(dāng)且僅當(dāng)一工=一；，即x=—l時(shí)，取等號(hào)，則匕2-2.綜上

—2<b<-J,所以②錯(cuò)誤，

對(duì)于③④，設(shè)f(x)=/，。(工)=i(x<0)之間的隔離直線為y=kx+b,B|k2>kx+b,

x2-kx-b>0恒成立，所以4=fc2+46<0,所以匕<0,

因?yàn)椋?依+V0),所以依2+以一i工oQvo)恒成立，當(dāng)人>0時(shí)，不合題意，

當(dāng)k=0,b=0時(shí)，符合題意，

當(dāng)々V0時(shí)，令y=/c%2+bx—i,對(duì)稱軸為％=一嘏工0,所以只需滿足/72+軟式0.所

以<一4"且/<-4fc,所以d<16b2<-64k,所以一4<k<0.,同理可得一4<b<

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0,

所以f(x)和g(x)之間一定存在“隔離直線“，且b的最小值為-4,f(x)和g(x)之間有

無數(shù)條“隔離直線”，且實(shí)數(shù)k不唯一，所以③錯(cuò)誤，④正確，

故答案為：①④.

根據(jù)“隔離直線”的定義，建立不等式關(guān)系，根據(jù)不等式恒成立分別進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查不等式恒成立問題，根據(jù)“隔離直線”的定義轉(zhuǎn)化為不等式恒成立是解決

本題的關(guān)鍵，是中檔題.

16.【答案】解：(/)由題意可得2(。3+1)=+。4，

即2(4%+1)=2%+8%,

解得：臼=1,

???數(shù)列｛即｝的通項(xiàng)公式為an=2-1；

n

(〃泡=an+log2an+1=2t+n,

Tn=br+b2+b3A------+-bn

=(1+2+3+…+n)+(2。+2】+2?+…+2n-1)

_n(n+l)1-22_n(n+l),2?_t

―21-2-2'

【解析】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等比數(shù)列的前"項(xiàng)和,

屬于較易題.

(/)由題意可得2(d3+1)=+&4，由公比為2,把&2、。3、口4用為表示，求得心，可

得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(〃)利用已知條件轉(zhuǎn)化求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后用分組求和法求解數(shù)列的和即可.

17.【答案】解：(/)記“射手射擊3次，伶有2次擊中目標(biāo)”為事件A,

因?yàn)樯涫置看紊鋼魮糁心繕?biāo)的概率是|,

所以P(4)=廢x?2x(l—|)=g；

(〃)由題意可得，X的可能取值為0,1,2,3,6,

P(X=0)=(1一|)3=/；p(x=l)=cix|x(l-|)2=|；

P(X=2')=-x-x-=-lP(X=3)=-x-x-+-x-x-=-,

P(X=6)=(|)3=*

所以X的分布列如下：

X01236

12488

P

279272727

因止匕，E(X)=0x±+1x|+2x±+3xA+6x±=g.

【解析】(/)先記''射手射擊3次，恰有2次擊中目標(biāo)”為事件A,根據(jù)題中條件，即可

得出結(jié)果；

(〃)先由題意確定X的可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而可得出分布列，再由分布列求出

期望即可.

本題主要考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，以及離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，熟記概率計(jì)算公式,

以及分布列與期望的概念即可，屬于中檔題.

18.【答案】解：(團(tuán))由((%)=3ax2+2bx,

當(dāng)x=l時(shí)，的極值為-3,

-{/(??=-3'解得{'I

(助由(圈)可得f(x)=6x3-9x2,

不等式/(%)+2m2—m>0對(duì)任意%>0恒成立，

等價(jià)于/(%)>m-2/對(duì)任意%>0恒成立，即f(x)min2m2.

/'(%)=18x2—18%,

由/(%)>0得％<0或%>1,由/'(x)<0得0V%V1,

???函數(shù)/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一8,0)和(1,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),

.?.當(dāng)x=1,y(x)min=/(1)=-3,

—3>m—2m2,BP2m2—m—3>0,

:.m<-1或zn>I，

即實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-8,-l]U[|,+8).

【解析】(團(tuán))求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式組，即可求出”，匕的值；

(團(tuán))問題轉(zhuǎn)化為f(x)>m-27n2對(duì)任意久>0恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出/(x)的最小值，從而

求出，〃的范圍即可.

本題考查了函數(shù)的極值與最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，屬于中檔題.

19.【答案】解：(回)抽取的5人中男員工的人數(shù)為於x27=3,

女員工的人數(shù)為5x18=2.…(4分)

(日)由(回)可知，抽取的5名員工中，有男員工3人，女員工2人.

所以，隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3.

根據(jù)題意，P(X=1)=萼=*P(X=2)=萼=1,P(X=3)=等=)

GcXUGeXUUgXU

隨機(jī)變量x的分布列是：

X123

361

P

101010

數(shù)學(xué)期望EX=1X^+2XA+3X±=12==凱.（10分）

（團(tuán)）sg=S/L（13分）

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【解析】(團(tuán))利用抽取的比例即可得出.

(圖)由(團(tuán))可知，抽取