2021屆全國高三下學(xué)期5月高考卷（全國I卷）數(shù)學(xué)（文）試題

/20/20/絕密★啟用前2021屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期5月練習(xí)文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)數(shù)平面的點(diǎn)位于第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四2．已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．3．雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．4．在中，已知為上一點(diǎn)，且滿足，則（）A． B． C． D．5．已知的平均數(shù)為5，方差為1，則，，，，的平均數(shù)和方差分別為（）A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，46．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．7．已知，，則“存在使得”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若，且，，則C．若，且，則D．若，，則9．投兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)”，則的值為（）A． B． C． D．10．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）①（）為等差數(shù)列；②為等比數(shù)列；③為等比數(shù)列；④為等差數(shù)列；⑤為等比數(shù)列．A．2 B．3 C．4 D．511．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的值分別為（）A． B． C． D．12．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．下列三句話按“三段論”模式排列順序是_________．①（）是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③（）是周期函數(shù)．14．若函數(shù)的值域?yàn)?，試確定的取值范圍是___________．15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，則的周長的最大值是_________．16．已知函數(shù)，若在上恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（12分）某市為提高市民的安全意識(shí)，組織了一場知識(shí)競賽，已知比賽共有2000位市民報(bào)名參加，其中男性1200人，現(xiàn)從參賽的市民當(dāng)中采取分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間，將結(jié)果繪制的市民分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的得分者稱為“高分選手”．（1）求的值，并估計(jì)該市市民分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若樣本中屬于“高分選手”的女性有15人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該市市民屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生女生合計(jì)（參考公式：，期中）19．（12分）如圖，四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)M、N分別為直線上的點(diǎn)，且滿足．（1）求證：平面；（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．20．（12分）已知橢圓的方程為，且橢圓的短軸長為2，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）已知不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若所在的直線與所在的直線關(guān)于軸對稱，直線是否恒過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．21．（12分）已知函數(shù)（）．（1）若函數(shù)在處取得極小值，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少？請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）過點(diǎn)，傾斜角為的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值．23．（10分）【選修4-5：不等式選講】已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)的最小值為，若，，為正實(shí)數(shù)且，證明．絕密★啟用前2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題的答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無效。4．考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)數(shù)平面的點(diǎn)位于第（）象限．A．一 B．二 C．三 D．四【答案】B【解析】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選B．2．已知集合，則集合的真子集的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，故其真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選A．3．雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，可得，所以，解得，故選A．4．在中，已知為上一點(diǎn)，且滿足，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可得，故選D．5．已知的平均數(shù)為5，方差為1，則，，，，的平均數(shù)和方差分別為（）A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4【答案】B【解析】，，故選B．6．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，則，故為上的奇函數(shù)，故的圖象關(guān)于對稱，故排除C；又當(dāng)時(shí)，令，則，故，故當(dāng)時(shí)，，故排除D；而，故排除A，故選B．7．已知，，則“存在使得”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橛嘞液瘮?shù)的周期為，最大值為2，最小值為，所以對于函數(shù)，，若存在使得，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?，∴；另一方面，，不妨取，則不存在，使得，故“存在使得”是“”的充分不必要條件，故選A．8．已知是兩條不同直線，是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是（）A．若，，則B．若，且，，則C．若，且，則D．若，，則【答案】C【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，不能得出，故該選項(xiàng)不正確；B選項(xiàng)，由題得或相交，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題得，又，所以，所以該選項(xiàng)正確；D選項(xiàng)，，時(shí)，，，不能得出，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C．9．投兩枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，記事件為“向上的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)”，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】投兩枚質(zhì)地均勻的骰子總的可能發(fā)生的情況有種，其中點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的可能情況有18種，點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的可能情況為，，，，，，，，，，，，總共12種，所以，，，故選B．10．若數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，則下列說法中正確的個(gè)數(shù)有（）①（）為等差數(shù)列；②為等比數(shù)列；③為等比數(shù)列；④為等差數(shù)列；⑤為等比數(shù)列．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，對于①：，故①正確；對于②：，故②正確；對于③：，故③正確；對于④：不為定值，故④錯(cuò)誤；對于⑤：，故⑤正確，所以正確的個(gè)數(shù)有4個(gè)，故選C．11．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則的值分別為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵直線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對稱，∴直線經(jīng)過圓心且直線與直線垂直，∴，解得，故選B．12．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，，則，由余弦定理得，即，所以，因?yàn)椋?，整理得，即，整理得，所以，，，故選B．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．下列三句話按“三段論”模式排列順序是_________．①（）是三角函數(shù)；②三角函數(shù)是周期函數(shù)；③（）是周期函數(shù)．【答案】②①③【解析】三段論為：大前提，小前提，結(jié)論，所以排序?yàn)椋孩谌呛瘮?shù)是周期函數(shù)；①（）是三角函數(shù)；③（）是周期函數(shù)．故選②①③．14．若函數(shù)的值域?yàn)?，試確定的取值范圍是___________．【答案】【解析】令，則；令，解得或，即或，解得或，故的取值范圍是．15．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且，，則的周長的最大值是_________．【答案】6【解析】因?yàn)?，所以，即，所以可得，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以的周長的最大值為6．16．已知函數(shù)，若在上恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．【答案】【解析】因?yàn)?，易得為奇函?shù)，且為增函數(shù)；又因?yàn)?，所以在上恒成立在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，設(shè)，所以，且，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，令，所以，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，這與矛盾，所以不滿足，綜上可知：，故答案為．三、解答題：本大題共6個(gè)大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（12分）已知數(shù)列滿足，．（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）依題，在兩邊同時(shí)除以，得，，故數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，可得，所以，則數(shù)列的前項(xiàng)和為①，所以②，由①—②可得，所以．18．（12分）某市為提高市民的安全意識(shí)，組織了一場知識(shí)競賽，已知比賽共有2000位市民報(bào)名參加，其中男性1200人，現(xiàn)從參賽的市民當(dāng)中采取分層抽樣的方法隨機(jī)抽取了100位市民進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)分布在450~950分之間，將結(jié)果繪制的市民分?jǐn)?shù)頻率分布直方圖如圖所示：將分?jǐn)?shù)不低于750分的得分者稱為“高分選手”．（1）求的值，并估計(jì)該市市民分?jǐn)?shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若樣本中屬于“高分選手”的女性有15人，完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為該市市民屬于“高分選手”與“性別”有關(guān)？屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生女生合計(jì)（參考公式：，期中）【答案】（1），平均數(shù)670，中位數(shù)650，眾數(shù)600；（2）填表見解析，有的把握認(rèn)為．【解析】（1）由題意知，解得，樣本平均數(shù)為，中位數(shù)650，眾數(shù)600．（2）由題可知，樣本中男性60人，女性40人，屬于“高分選手”的25人，其中女姓15人；得出以下列聯(lián)表；屬于“高分選手”不屬于“高分選手”合計(jì)男生105060女生152540合計(jì)2575100，所以有的把握認(rèn)為該市市名屬于“高分選手”與性別有關(guān)．19．（12分）如圖，四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)M、N分別為直線上的點(diǎn)，且滿足．（1）求證：平面；（2）若，，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）連接，∵，，平面，平面，平面．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為，∵，∴，依題可得，又平面，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，又平面，所以，∵，∴平面，所以，依題可得，∴，∴，即點(diǎn)到平面的距離為．20．（12分）已知橢圓的方程為，且橢圓的短軸長為2，離心率為．（1）求橢圓的方程；（2）已知不垂直于軸的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，若所在的直線與所在的直線關(guān)于軸對稱，直線是否恒過定點(diǎn)，若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)為．【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率．所以，即，又橢圓的短軸長為2，所以，，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程組，消去，得，，即，，，因?yàn)樗诘闹本€與所在的直線關(guān)于軸對稱，所以，，即，得，化簡得，直線的方程為，所以，直線恒過定點(diǎn)．21．（12分）已知函數(shù)（）．（1）若函數(shù)在處取得極小值，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，若，恒有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是多少？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，所以，由題意可得，即，解得，所以，所以，，所以在點(diǎn)處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，又，不等式等價(jià)于，可化為為，令，由題可得對，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分．22．（10分）【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】在直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和直線的普通方程；（2）過點(diǎn)，傾