我的哈工大考研固體物理06章

第六章能帶理論I

自由電子模型-----沒考慮電子與晶格周期場的作用-------不能體現(xiàn)晶體的基本特性雖然--------說明金屬的導(dǎo)電和導(dǎo)熱現(xiàn)象但-------不能說明----晶體為什么可以分成導(dǎo)體、半導(dǎo)體、絕緣體等晶格周期場的作用------能帶理論推動(dòng)了現(xiàn)代固體理論的發(fā)展，取得了令人矚目的成就。本章介紹能帶的普遍性質(zhì)、近自由電子近似和緊束縛近似，以及有關(guān)的基本概念絕熱近似與單電子近似絕熱近似:電子運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以認(rèn)為離子靜止在晶格格點(diǎn)位置上，電子是在晶格離子的勢場中運(yùn)動(dòng)。多電子問題-----每個(gè)電子除了受晶格離子的勢場作用外，還受其它所有電子的作用。

多電子問題電子有效勢

單電子問題（稱單電子近似）單電子滿足的薛定諤方程為：(6.1)電子有效勢=晶格離子勢+電子間平均作用勢++++a晶格周期場示意圖即不同原胞的相應(yīng)點(diǎn)上電子受到的勢場是相同的正格子的晶格平移矢量同時(shí)具有晶體點(diǎn)群對(duì)稱性(6.2)1.絕熱近似：假定離子實(shí)靜止在晶格平衡位置上。晶格具有嚴(yán)格的周期性，晶格振動(dòng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響可以當(dāng)作微擾。2.單電子近似：多電子問題近似地歸結(jié)為單電子問題，電子仍是相互獨(dú)立的.

單電子近似中，將電子間的相互作用（平均相互作用勢）含在單電子有效場內(nèi)，與完全忽略電子間相互作用的獨(dú)立電子近似不同。

建立能帶理論的兩個(gè)近似能帶理論=絕熱近似下的單電子近似6.1布洛赫定理1928年布洛赫（1952年在核磁共振方面的研究獲得諾貝爾獎(jiǎng)）提出解釋金屬導(dǎo)電性的能帶理論。

具有晶格平移對(duì)稱性的單電子哈密頓(6.3)的本征函數(shù)可以寫成

:(6.4)：實(shí)數(shù)矢量

(6.5)一、布洛赫定理的證明

引入平移算符，作用在任意函數(shù)上時(shí)，使

(6.6)哈密頓具有晶格平移對(duì)稱性

(6.7)(6.8)即H與T是對(duì)易的(6.9)

同時(shí)平移算符之間也是相互對(duì)易的(6.10)

因?yàn)槎际蔷Ц衿揭剖噶浚揭频南群蟠涡虿挥绊懽詈蟮慕Y(jié)果。

對(duì)易，電子波函數(shù)可以取為的共同本征函數(shù)，即：(6.11)同時(shí)

(6.12)

波函數(shù)

都是的本征函數(shù)，應(yīng)有：

即：電子密度分布（波函數(shù)的絕對(duì)值平方）應(yīng)與晶體的勢場具有同樣的周期性。（6.13）

同時(shí)滿足（6-12）和（6-13）的的一般形式為:

倒格子基矢

將（6-14）式代入（6-11）可得:

(6.15)(6.14)

電子波函數(shù)平移任一晶格平移矢量R后，只相差一個(gè)相位因子，由此可以定義一個(gè)新的函數(shù):具有晶格周期性

(6.16)由（6-16）可得一個(gè)具有普遍性的結(jié)論布洛赫函數(shù)布洛赫電子被晶格周期函數(shù)調(diào)幅的平面波。標(biāo)志電子狀態(tài)的量子數(shù)在自由電子的波函數(shù)中，波矢有明確的物理意義，是自由電子動(dòng)量的本征值。但Bloch函數(shù)不是動(dòng)量算符的本征函數(shù)，不是Bloch電子的動(dòng)量本征值，起著動(dòng)量的作用-----電子的準(zhǔn)動(dòng)量。二、波矢的意義

波矢的取值由邊界條件決定，取周期性邊界條件，要求滿足

三、波矢的取值(6-22)將Bloch函數(shù)代入上式得：

為棱邊的平行六面體的頂角上，所以每個(gè)狀態(tài)代表點(diǎn)在K空間所占的體積為：(6-23)(6-24)(密度，為一個(gè)布里淵區(qū)的體積）6.2能帶及其對(duì)稱性將代入單電子薛定諤方程(6-25)

波失由(6.23)決定，相鄰取值之間相差很小，每個(gè)由許多靠得很近的能級(jí)組成，稱為能帶。

能量本征值與有關(guān)，對(duì)于一個(gè)給定的由上式得出無窮多個(gè)能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)

因此晶體中的單電子能譜分為許多能帶，每個(gè)能帶都是的準(zhǔn)連續(xù)函數(shù)。指標(biāo)n為能帶編號(hào)，按能量高低順序排列，相鄰