大膽類比,小心論證大膽假設(shè) 小心求證原句

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類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有片面屬性一致,從而推出它們的其它屬性也一致的一種從特殊到特殊推理.其一般步驟是:首先尋求適合的類比對象,并找出兩類對象之間可以切當(dāng)表述的好像特征;然后用一類對象的已知特征去揣測另一類對象的特征,從而得出一個揣摩;結(jié)果檢驗所得的揣摩.?

在類比推理中,類比結(jié)論不確定穩(wěn)當(dāng),其穩(wěn)當(dāng)程度,憑借于兩個或兩類對象的好像特征,一般說來,好像特征越多,結(jié)論的穩(wěn)當(dāng)程度也就越大,好像特征越是本質(zhì)的,結(jié)論的穩(wěn)當(dāng)程度也就越高.所以,類比推理時我們要“大膽揣摩、留心驗證”:在提出揣摩的過程中,“膽確定要大”,這樣才輕易找到解決問題的方法;而在檢驗所得揣摩時,“心確定要細(xì)”,由于科學(xué)來不得半點的馬虎.下文就結(jié)合概括的類比推理漫談其中的“膽大”和“留心”.?

一、概念中的“大膽”與“留心”?

“向量”、“實數(shù)”這兩個概念有片面一致屬性,它們都是以“數(shù)”為根基的,都有一些類似的運算.?

(1)加法.“向量的加法”和“實數(shù)的加法”有好像的特征:“兩實數(shù)相加”仍是實數(shù),“兩向量相加”仍是向量.“兩向量相加”可以用平面(空間)直角坐標(biāo)系中的平行四邊形或三角形等圖形來描述,表達(dá)向量加法的幾何意義,這也可以大膽類比到“兩實數(shù)相加”,即用數(shù)?上對應(yīng)的點等圖形來描述實數(shù)的加法,進(jìn)一步解讀實數(shù)加法的幾何意義.我們以研究?“2+(-3)”的幾何意義為例:設(shè)數(shù)?上的點0，2，-3分別為O，A，B,由于?O?A?+?OB?=?O?C?(點C對應(yīng)的實數(shù)為-1),所以2+(-3)=-1.?這樣大膽類比,將向量限定在數(shù)?上,從而將“實數(shù)”學(xué)識、“向量”學(xué)識融為一個整體.?

(2)乘法.“兩個實數(shù)的積是實數(shù)”,假設(shè)類比推理到“兩個向量的積”,那么“兩個向量的積(數(shù)量積)仍是向量”,結(jié)論就錯誤了,兩個向量的積不是“向量”而是一個“實數(shù)”.這一類比至少可以給我們這些啟示:?

①類比的結(jié)論不確定正確,因此,我們要留心驗證.?

②雖然類比推理中的好像特征是“積”,但它們本質(zhì)上不同:兩實數(shù)的積是“四那么運算的積”,而兩向量的積是“數(shù)量積”.通過對類比結(jié)論不正確理由的探索,能夠扶助同學(xué)們更好地分辯、掌管“數(shù)量積”這一概念.?

③類比的結(jié)論雖然不正確,但兩向量的數(shù)量積是一個實數(shù),而實數(shù)是我們熟諳的平臺,這說明定義數(shù)學(xué)概念時總是借助于更簡樸的平臺.?

(3)運算律.兩個實數(shù)“相加運算”得志“交換律”和“結(jié)合律”,兩個向量“相加運算”也得志,即:?a+b=b+a→a+b=b+a;(a+b)+c=a+(b+c)→(a+b)+c=?a+?(b+c).兩個實數(shù)“相乘運算”得志“交換律”,兩個向量相乘”運算也得志,即:a?b=b?a→a?b=b?a;但“結(jié)合律”就不成立了,即:(a?b)?c=a?(b?a),但(a?b)?c不確定等于a?(b?c).這是由于a?b是實數(shù),所以(a?b)?c中后一個“?”是“數(shù)乘”,所得結(jié)果(a?b)?c是一個與c平行的向量,同樣,a?(b?c)是一個與a平行的向量,因此一般處境下(a?b)?c與a?(b?c)不相等.??

通過上面的“大膽揣摩”與“留心驗證”,我們理解了符號“?”的不同內(nèi)涵:可以是四那么運算的“乘”、可以是兩個向量的“數(shù)量積”、還可以是實數(shù)與向量的“數(shù)乘”.假設(shè)沒有“精心”態(tài)度、不深入地斟酌,以上這些往往是同學(xué)們輕易犯錯誤的地方,而通過類比推理我們加深了對概念的理解.?

二、方法中的“大膽”與“留心”?

數(shù)學(xué)問題的解決離不開數(shù)學(xué)思想方法,數(shù)學(xué)問題是無限多的、難以窮盡,而數(shù)學(xué)思想方法卻是有限的,我們要擅長將有限的思想方法類比遷移到無限的數(shù)學(xué)問題解決中去.下面舉一例說明方法中的類比推理也需要“大膽”與“留心”.?

問題

已知數(shù)列?{a?n}得志a?1=1,a?n+a??n+1?=14?n(n∈N??),S?n=a?1+4a?2+?4?2a?3+?…+4??n-1?a?n,求證:{5S?n-4?na?n}為等差數(shù)列.??

分析

在式子?S?n=a?1+4a?2+4?2a?3+…+4??n-1?a?n①中,假設(shè){a?n}是等差數(shù)列,可以用“錯位相減法”求和,而這時{a?n}鮮明不是等差數(shù)列,但它們具有特別類似的布局特征,我們可以大膽類比,用“錯位相減法”嘗試?一下.?????

在①式兩邊乘以4,得:?4S?n=4a?1+?4?2a?2+?…+4??n-1?a??n-1?+4?na?n②,察覺①②已經(jīng)“錯位”,但“相減”無效.我們持續(xù)探索兩類問題的本質(zhì)特征,留神已知條件是a?n+?a??n+1?=?14?n,①②兩式中假設(shè)展現(xiàn)了a?n+a??n+1?就可用14?n替代了.將已知條件與等差數(shù)列的條件“a??n+1?-a?n=d”舉行對比,其中的“-”→“+”,所以我們可以采用“錯位相加法”.??

事實上,兩式相加得:?5S?n=a?1+4(a?1+a?2)+4?2(a?2+a?3)+…+4??n-1?(a??n-1?+a?n)+4?na?n.??

所以?5S?n=1+1+1+…+1+4?na?n,所以5S?n-4?na?n=n,所以{5S?n-4?na?n}為等差數(shù)列.??

說明

在上面邊分析邊求解的過程中,我們察覺“膽子”要大一點,一些類似程度猶如不太大的問題,也可以舉行類比,實際上,越是這樣的問題,類比告成的結(jié)論將越精彩.?

將“求證?{5S?n-4?na?n}為等差數(shù)列”,改成“求{S?n}”,那么要麻煩些,但也可先這樣求出a?n,進(jìn)而求出S?n.??

將已知中的“?a?n+a??n+1?=14?n”,改成“a??n+1?-2a?n=2”,這種的類比就行不通了,有興趣的同學(xué)可以自己解決.??

這說明:面對目生的問題,首先要用創(chuàng)造性的眼光,尋求適合的類比對象,找尋自己熟諳的類似問題,并找出它們之間可以切當(dāng)表述的好像特征,然后大膽采用類比推理.但是否能解決問題,在分析、推理的過程中還要留心些.?

三、意識中的“大膽”與“細(xì)心”?

我們在課堂上聽課時,聽到老師講解一道題目、一個學(xué)識,自己往往會突發(fā)一些合情的想法、朦朧地形成一些類比.這時,我們不應(yīng)放棄這些念頭,可以唾手記錄下來,下課后持續(xù)斟酌,甚至可以和老師、同學(xué)一起議論.經(jīng)常這樣想、這樣做,我們的思路會越來越開闊,學(xué)到的將不再是教師講解的一個案例、一個學(xué)識.?

例如:一次函數(shù)?f(x)=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,它是中心對稱圖形,其圖象上每一點都是對稱中心;二次函數(shù)?f(x)=?ax?2+bx+c(a≠0)的圖象是拋物線,它是?對稱圖形,有一條對稱?:x=?-b2a?;那三次函數(shù)f(x)=ax?3+bx?2+cx+d(a≠0)又具有怎樣的對稱性呢？??

談到對稱性我們首先想到的是最特殊的對稱――奇函數(shù)、偶函數(shù),并舉行大膽類比:奇次的與奇函數(shù)相對應(yīng),偶次的與偶函數(shù)相對應(yīng),例如?f(x)=x+x?3,g(x)=x?2+x?4+x?6,這些在我們學(xué)習(xí)函數(shù)奇偶性時體會的很深.因此,我們大膽推測:三次函數(shù)的圖象理應(yīng)有對稱中心.事實上,這個揣摩是正確的,有興趣的同學(xué)可以參見本刊上一期“話題”.??

進(jìn)一步地,同學(xué)們自然會類比:四次函數(shù)的圖象確定有垂直于x?的對稱?.事實上,不確定.例如?f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5),它的圖象與x?的交點(1,0),(2,0),(3,0),(5,0).假設(shè)存在垂直于x?的對稱?,這四個點理應(yīng)關(guān)于這條對稱?兩兩對稱,然而這是不成能的,所以f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-5)的圖象不存在垂直于x?的對稱?.??

“只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程稍能反映出數(shù)學(xué)的研發(fā)過程的話,那么就應(yīng)當(dāng)讓推測、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢谩?同學(xué)們,