2017年第33屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題圖片版

第33屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克1?對(duì)正整數(shù)L定義4為具有如F性質(zhì)的所有素?cái)?shù)P構(gòu)成的集合:存在正整數(shù)a、b,使得”電、普:均為與p互索的整數(shù).當(dāng)人PP為有限集（包括空集）時(shí)，用/（〃）表示人的元索個(gè)數(shù).證明：（1）凡是有限集的充分必要條件為n#2；（2）若k、m為正奇數(shù),d為A與m的最大公約數(shù)，則（何憶捷供題）.設(shè)%k為正整數(shù)，T=f（孫y,z）l*、y、z€Z,1<#、y、zW/i}為空間克角坐標(biāo)系中/個(gè)整點(diǎn)構(gòu)成的集合.已知集合T中（3/-3〃+1）+左個(gè)點(diǎn)染成紅色,滿(mǎn)足:若集合7中兩點(diǎn)P、。均染成紅色旦P。平行于坐標(biāo)軸，則線段PQ上的所有整點(diǎn)也均染成紅色.證明:存在至少k個(gè)互不相同的立方體,它們的邊長(zhǎng)為1且每個(gè)頂點(diǎn)均染成紅色. （艾穎華供題）.設(shè)正整數(shù)q不為完全立方數(shù).證明:存在正實(shí)數(shù)％使得對(duì)任意正整數(shù)n,均有I+l“T|nc”，其中，1*1表示實(shí)數(shù)*的小數(shù)部分.（安全圾供題）.如圖1,圓內(nèi)接四邊形48C。的對(duì)角線交十點(diǎn)P.AAPD的外接圓、△BPC的外接圓分別與線段AB交于另一點(diǎn)E、F,I、J分別為△及犯、△BCF的內(nèi)心，線段〃與4C交于點(diǎn)K,證明四點(diǎn)共圓.（熊斌供題）.給定奇數(shù)03,用黑白兩種顏色對(duì)作又元方格表的每個(gè)格染色.稱(chēng)具有相同顏色且行公共頂點(diǎn)的兩個(gè)格為“相鄰的”.對(duì)任意兩個(gè)格aS,若存在一系列格門(mén)，勺，…,。使將C.UQ,“N，C4(i?l,2,…上-1)與。?|相鄰，則稱(chēng)。與b“連通二求最大正整數(shù)使得存在種染色方案,其中有M個(gè)兩兩不連通的格. (王新龍供即).已知n、k為lE整數(shù).n>A.給定實(shí)數(shù)NS(L-I,4).設(shè)正實(shí)數(shù)<|，巧，…，軟滿(mǎn)足對(duì)n,2,…，"的任意g元子里/,?工的最大值.(瞿振華供粒)參考答案1.(1)當(dāng)c?l時(shí)，顯然，不存在素?cái)?shù)P滿(mǎn)足條件敵人=0.當(dāng)n=2時(shí).對(duì)于任意的案數(shù)p,取a=p.6=/)，可使"^=I+P與。抖u1+”均P P為與P互索的整數(shù).故4包含仝體家數(shù)，為無(wú)限姬當(dāng)AM3時(shí),而任意的家數(shù)p,設(shè)正整數(shù)aj滿(mǎn)足%(1+6)=1,%(a"?6。)=2.乂中，%(/)表示正整數(shù)1所含素因子P的次數(shù).設(shè)a+〃=sp,(s,p)=L易知,均不為P的倍數(shù).否則,不妨假設(shè)pla,于是.plh故與(<T >2,矛盾.若門(mén)為何數(shù)，則Os=a'+6'o*+(平-o)、?2<i"(modp).W(a\p)二l，故必有pl2.此時(shí),人為布限集.事實(shí)上.P=2也不滿(mǎn)足條件,即4?0.若幾為奇數(shù)，則0?a° n3W1(modp2).而(sa…,p)=l,故必行pin.此時(shí)A為有限集.爆匕當(dāng)且僅當(dāng)正整數(shù)八~2時(shí),人為布限第(2)下面證明，當(dāng)〃為正奇數(shù)時(shí),宗數(shù)p€4當(dāng)且僅當(dāng)XQ=L當(dāng)n=1時(shí),顯然成立.當(dāng)c>l時(shí),設(shè)P€兒.由前知故a?V?4-0).?37-出產(chǎn)"尸1?/Mpaa-1(modp')?因此,當(dāng)”,(n)^2時(shí).”,(/?昭)N3.矛盾I而當(dāng)匕(打)=1時(shí)，取。=l,b=pT,則vp(a46)=ItPF(a<?b')=D,(np)=2.?滿(mǎn)足條件.對(duì)于任意的素?cái)?shù)P及正奇數(shù)。，定義fl.r,(，l；居⑺工?！恕眲t/「)=z/5),其中.約定表示對(duì)一切素?cái)?shù)1求和.注意到，當(dāng)A"為正奇數(shù)時(shí),bi與d=“，川也為正奇數(shù).因此?式①等價(jià)于加)-2最(垢)9 f 9 f<2?弱(<0.僅需加明:對(duì)于任意的素敷P,有乂(d)<%(七)+曷(n)?彳,(km)W%(d)? ②⑴相⑷=0,則minlf^(A),^(m)|=0.不妨設(shè)%(A)=0.則故的(4)NM(d)uOa>(km)=*(m).此時(shí)，式②成立.(U)若％(")=】，則minifF(*)9vf(m)|=L于是故%(加0=0?不妨泄與")=1.則才P（A）+*（m）-看（房）=1 1,2|.又8（d）=1,從而，式②成立.（iii）若％（d）>2,則^（4）、o（m）、%（垢）均不小于2.從而，H（d）、招（七）、七（m）、3（fcm）均為。，式②亦成立.綜上，對(duì)于任意奇素?cái)?shù)P，式②均成立.由此,知式①成立.【注】證明當(dāng)a為正奇數(shù)時(shí).索數(shù)pe兒當(dāng)且僅當(dāng)》S）=I，也可直接應(yīng)用升幕定理：設(shè)P為奇素?cái)?shù),Q、b為與P互素的整數(shù),且pl（Q-6），則對(duì)于任意正整數(shù)七，有?戶(hù)）=%（（1-6）+%（k）.2.為方便起見(jiàn)，引入如下術(shù)語(yǔ).若一個(gè)單位立方體的頂點(diǎn)均為紅色，則稱(chēng)之為紅色立方體;若一個(gè)單位正方形的頂點(diǎn)均為紅色，目此正方形平行干平面，則稱(chēng)之為紅色正方形;若一條單位線段的頂點(diǎn)均為紅色，且此線段平行于x軸,則稱(chēng)之為紅色線段設(shè)所有紅點(diǎn)構(gòu)成的集合為凡平面Z=c上的所有紅點(diǎn)構(gòu)成的集合為R.,直線y=b9z=c上的所有紅點(diǎn)構(gòu)成的集合為為先證明一個(gè)引理.引理對(duì)正整數(shù)1WcW",凡中的紅色正方形的數(shù)目不小于IK」?（2n-l）.證明設(shè)凡中南'S（c）個(gè)紅色正方形，/條紅色線段從兩方面估算/.一方面，對(duì)每個(gè)1WbWn,若心.非空，可設(shè)其中“坐標(biāo)最小的紅點(diǎn)為匕“坐標(biāo)城大的紅點(diǎn)為Q.則由題意，知凡:恰為線段PQ上所有整點(diǎn)所構(gòu)成的集合.于是,取上紅色線段的數(shù)目為故人 El^l-nNIR,I-八 ①另?方面，每條紅色線段在工軸上的投影為X軸上的單位線段，絡(luò)所府紅色線段按照其投影分類(lèi).對(duì)于，軸上的單位線段“，設(shè)以u(píng)為投影的紅色線段的數(shù)目為〃若/.M1,設(shè)以"為投影的紅色線段的y坐標(biāo)的最小值為兀，最大值為八，則/■<%-y。61?由題意，知對(duì)于每個(gè)整數(shù)y€［兀，九］,ux|y|x|c|也均為紅色線段.于是,對(duì)整數(shù)y-I】"*N.y*Ux{e|均為ft色正方形,共力-"個(gè),xa…=/-（A-1）. ②結(jié)合式①、②^S（c）>/—（n-I）Ml比引理得證.設(shè)共有C個(gè)紅色立方體,S個(gè)紅色正方形.一方面，由引理知54s（"￡（限l-（2n-l））.③另二去面,每/紅色正方形在Oxy平面上的投影為0%y平面的單位正方形.將所有紅色正方形按照其投影分類(lèi).對(duì)于Chy平面上的單位正方形。，設(shè)以，為投影的紅色單位正方形的數(shù)目為S,.若S,才I,設(shè)以V為投影的紅色正方形的z坐標(biāo)的最小值為“.最大值為玉，則，由題意，知對(duì)于每個(gè)整數(shù)vx|x|也均為紅色正方形.于是?對(duì)于誨個(gè)整數(shù)2￡［4當(dāng)■IJ"y1）均為紅色立方體，共4一句個(gè)當(dāng)-、>S.-I.故SZ（S-T）旺S.-S-1尸=§_（-1尸. ④結(jié)合式③、④即得CmS-（/i-l）22*（1凡=￡l^J-（3n2-3n+l）=k3.c=(13/)7滿(mǎn)足要求.反證法.假設(shè)存在正整數(shù)僅滿(mǎn)足｛叫+｝+｛叼” ±記/=[叼”,小=〔同,1?先證明:存在整數(shù)八人￡滿(mǎn)足d+s'HO,I”小而9Isl小而，rl+sm4tn=0.事實(shí)上，考慮整數(shù)對(duì)的集合5=|(〃,,)￡ZxZI0wuww7^|?注意到，ISI=((G]+1)’＞幾則存在集合S中不同的數(shù)對(duì)(%，J)、(%?3)滿(mǎn)足ut/ +/m(modn).h rl4-smMrl取"％一/,3=%一%,l=- ，即滿(mǎn)足要求按F來(lái)考慮函數(shù)F(x)=rd+sd+/?3rsV.則尸(世)為整數(shù).設(shè)，(4)=rx"+.《：，，，3=』'.易驗(yàn)證F(”)=/(*)/(")/(d*).由于q不為完全立方數(shù)，則讓、叫學(xué)、均不為/U)=0的根.故F(g+"O.從而，尸(q+)l〉L又i/(/)I=g*+d+?i=L]?頂；-2)+s(“＞-/n)In^―(Irl\nq^|+Isl\nqr\)n,c1<—=—r-?n13g。犬.十?(1“)=叭四十)/&i/(州*)-/(<?)?+叭J)aW(l，(JT)q*l*"(3-l)q+l+(13qtl)T戶(hù)W卜石依夕’十客6廣十A而叫Vl3q卷,則尸(q+)l＜1,矛盾.4.如想2,延長(zhǎng)“，與陽(yáng)的外接圜交于點(diǎn)心延長(zhǎng)FJ,與△以PC的外接回交干點(diǎn)匕聯(lián)結(jié)P＞、PY、￡＜、曜B2注意到JJ分別為△〃)￡、△fiCF的內(nèi)心.據(jù)內(nèi)心性質(zhì)知XJ^XA.YJ=YB.易知/鼠PT分別為NAPDZBPC的平分線.故》.PI三點(diǎn)共線.由NAPK=NCPY■/BPY.4Axp=4ADP=4BCP=/BYP,知△APXS”P(pán)Yn%臉I(yè)DDrX/BinZ1XPXAsin=而n/JkP;而XinNFBP"sin/B4P.=BP\inZABP^這表明，點(diǎn)fJ到直線xy的距離相等.注意到.E、F兩點(diǎn)位于XY的同例.從而JJ兩點(diǎn)位于XY的同憑，有IJ//XY.故/AK/=N4PX=/4取=4J、K".四點(diǎn)共縱，考慮推廣的問(wèn)題.對(duì)方格表黑白染色,其中,m、n均為不小于3的奇數(shù).在給定的染色方案下,所有的格可被劃分成若干連通分支，使得同一個(gè)連通分支中的格彼此連通，不同連通分支中的格不連通.連通分支的數(shù)目記為K下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：⑴Kw/m+lN-D+l;⑵當(dāng)k/s+D-I時(shí)?方格表四角處的每個(gè)格均不與其他格連通.當(dāng)m=n=3時(shí),最外一圈八個(gè)格至多屬于四個(gè)與中心格異色的連通分支，故K<5.等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)四角處的方格與其他五個(gè)格異色.接卜來(lái)設(shè)mN工記方格表的第2行從左到右形成黑白交錯(cuò)的&段4,4，…,4,各段的格數(shù)依次為>1，與，…，孫設(shè)P為含有第1行格但不含第2行格的連通分支數(shù)目.圮「/表示不小于實(shí)效x的最小整數(shù).下面估計(jì)P.若人》2,人上面的八個(gè)格中,最后一個(gè)格與A最后一個(gè)格以及4的第一個(gè)格中有一個(gè)阿色?從而，與第2行的某個(gè)格連通；在前0-i個(gè)格中至多有『空］個(gè)格與4異色,且互相不連通.類(lèi)似地，在4上面的格中也至多有［'號(hào)U個(gè)格與第2行的格不連通.且彼此也不連通.對(duì)I 上面的格除第一個(gè)和最后一個(gè)格，中間…個(gè)格中，至多有［■三］個(gè)格與4異色，且互相不連通.故呵號(hào)十號(hào)卜那守/一+2*-2-,若則也有PW凰=士野.設(shè)。為含有第2行格但不含第3行格的連通分支數(shù)目,由于4和4.中總有一段與第三行中的珞連通(考慮4最后一個(gè)格和4川的第一個(gè)格，它們異色,其中一個(gè)必與第三行的格連通八故設(shè)弁為含有第3至加行格的連通分支數(shù)目.由歸納假設(shè)(D知++1.下面證明:若Q=詈#為奇數(shù))或Qn/d為偶數(shù))，則-1)(/1?1).事實(shí)上，當(dāng)k為奇數(shù).且。=詈時(shí),若A=1,則Q=1,第2行所有的格同色.第3行所有的格也同色由歸納假設(shè)(2)知R<*(m-1)(/b+1).若奇數(shù)A》3,設(shè)從下面的格為由于44,…出均不與第3行的格連通?故8t.員?…，乩與人人,…4異色于是，與4，4,同色.從而出4,兄,4,&,….4.i,比均連通.由歸納假設(shè)(2)知Awv(fh-l)(n?l).4當(dāng)A為偶數(shù).且Q=，時(shí).若4則由歸納假設(shè)(2),知第3行第一個(gè)格與第二個(gè)格異色?這樣.4與第3行的格連通.類(lèi)似地,4也與笫3行的格連通.由此?在小，…,4一中,至多只有寧段與第3行中的格不連通.故這與Q4的假設(shè)矛盾.因此，當(dāng)Q?券?或Q=/時(shí)，有RW；(m-I)(n41).則K?P+Q/Rj-A.2fc*1上1zIX/，訃=!(m+1)(八+l)+1?4當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)，必須k為奇數(shù)，且考慮P的估計(jì)中箸號(hào)成立的條件,知第I行第一個(gè)格與最后一個(gè)格分別被三個(gè)洋色格包制南方格表的對(duì)稱(chēng)性，知圓角處的用個(gè)格均不與乂他格連通.容物驗(yàn)證，對(duì)于第i行，列的格?若V為偶數(shù)將其染成品色I(xiàn)為爐為奇數(shù).將兀染成白色.在此兩種染色方案下,均有4綜上，所求M6.最大值為，與…若/=%(lWi￡〃)?則匹?物,…工滿(mǎn)足條件，H.夕巴…a=5接下來(lái)證明逐田…與<5%,?外當(dāng)人工1時(shí),結(jié)論顯然.由條件即得X,W%(lGiW").下面假設(shè)A/2.不失一般性，設(shè)U|一陽(yáng)W/7產(chǎn)…(4?%.?若5fMO?則1—，結(jié)論邱然成憶以下假設(shè)5?。(0.取/…