高考理科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)刷題型解答題八理

解答題(八)17．(2019·江西南昌一模)如圖，四棱臺ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，CC1⊥底面ABCD，且∠BAD＝60°，CD＝CC1＝2C1D1＝4，E是棱BB1的中點(diǎn)．(1)求證：AA1⊥BD；(2)求二面角E－A1C1－C的余弦值．解(1)證明：因?yàn)镃C1⊥底面ABCD，所以C1C⊥BD，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，所以BD⊥AC.又AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面AC1C，又由四棱臺ABCD－A1B1C1D1，知A1，A，C，C1四點(diǎn)共面，所以BD⊥平面A1ACC1，所以BD⊥AA1.(2)設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，連接A1O，依題意，有A1C1∥OC且A1C1＝OC，所以四邊形A1OCC1為平行四邊形，所以A1O∥CC1，且A1O＝CC1.因?yàn)镃C1⊥底面ABCD，所以A1O⊥底面ABCD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB，OA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則A(2，0,0)，A1(0,0,4)，C1(－2，0,4)，B(0,2,0)，由＝，得B1(－，1,4)，因?yàn)镋是棱BB1的中點(diǎn)，所以E，所以＝，＝(－2，0,0)，設(shè)n＝(x，y，z)為平面EA1C1的法向量，則取z＝3，得n＝(0,4,3)，平面A1C1C的法向量m＝(0,1，0)，又由圖可知，二面角E－A1C1－C為銳二面角，設(shè)二面角E－A1C1－C的平面角為θ，則cosθ＝，所以二面角E－A1C1－C的余弦＝值為.18．(2019·福建三明質(zhì)量檢查)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且b＝3(acosB＋bcosA)，b＋c＝8.(1)求b，c；(2)若BC邊上的中線AD＝，求△ABC的面積．解(1)由正弦定理，得sinB＝3(sinAcosB＋sinBcosA)，所以sinB＝3sin(A＋B)，因?yàn)锳＋B＋C＝π，所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，即sinB＝3sinC，所以b＝3c，又因?yàn)閎＋c＝8，所以b＝6，c＝2.(2)在△ABD和△ACD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，b2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC.因?yàn)閎＝6，c＝2，BD＝DC＝，AD＝，又因?yàn)椤螦DB＋∠ADC＝π，即cos∠ADB＝－cos∠ADC，所以a2＝31，所以cos∠BAC＝＝，又因?yàn)椤螧AC∈(0，π)，所以sin∠BAC＝.所以△ABC的面積S△ABC＝bcsin∠BAC＝.19．(2019·湖北黃岡2月聯(lián)考)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖：(1)求這100件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)和樣本方差s2(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表)；(2)由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本平均數(shù)，σ2近似為樣本方差s2.①若某用戶從該企業(yè)購買了10件這種產(chǎn)品，記X表示這10件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于(187.4,225.2)的產(chǎn)品件數(shù)，求E(X)；②一天內(nèi)抽取的產(chǎn)品中，若出現(xiàn)了質(zhì)量指標(biāo)值在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的產(chǎn)品，就認(rèn)為這一天的生產(chǎn)過程中可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．右面的莖葉圖是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的15個產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，根據(jù)近似值判斷是否需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．附：≈12.6，P(μ－σ<X<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝0.9974.解(1)由題意，得＝170×0.025＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.32＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.025＝200，s2＝(－30)2×0.025＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.32＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.025＝159.(2)①由題意，得一件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.4,225.2)的概率為則X～B(10,0.8185)，＝0.8185，∴E(X)＝10×0.8185＝8.185.②由(1)，知μ－3σ≈200－12.6×3＝162.2，μ＋3σ≈200＋12.6×3＝237.8，∵237.9?(162.2,237.8)，∴需要對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．20．(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，過拋物線的焦點(diǎn)F且與y軸垂直的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，且△OAB的周長為2＋.(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l過焦點(diǎn)F且與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M，N分別作拋物線C的切線l1，l2，切線l1與l2相交于點(diǎn)P，求|PF|2－|MF|·|NF|的值．解(1)由題意，知焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為，將y＝代入拋物線C的方程可求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，則|AB|＝2p，|OA|＝|OB|＝＝p，可得△OAB的周長為2p＋p，則2p＋p＝2＋，解得p＝1.故拋物線C的方程為x2＝2y.(2)由(1)，知拋物線C的方程可化為y＝x2，求導(dǎo)可得y′＝x.設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋(直線l的斜率顯然存在)．聯(lián)立方程整理，得x2－2kx－1＝0，則所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋1＝2k2＋1，y1y2＝xx＝.因?yàn)閥1＝x，y′＝x1，所以直線l1的方程為y－x＝x1(x－x1)，即y＝x1x－x.同理可得直線l2的方程為y＝x2x－x.聯(lián)立方程解得則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.由拋物線的幾何性質(zhì)，知|MF|＝y(tǒng)1＋，所以|MF|·|NF|＝，|NF|＝y(tǒng)2＋，|PF|＝＝＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋＝＋×(2k2＋1)＋＝k2＋1，所以|PF|2－|MF|·|NF|＝0.21．(2019·河南濮陽5月模擬)已知a∈R，函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)－x2＋ax＋2.(1)若函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)正實(shí)數(shù)m1，m2滿足m1＋m2＝1，求證：對(－1，＋∞)上的任意兩個實(shí)數(shù)x1，x2，總有f(m1x1＋m2x2)≥m1f(x1)＋m2f(x2)成立．解(1)由題意，知f′(x)＝－2x＋a，∵函數(shù)f(x)在[2，＋∞)上為減函數(shù)，即f′(x)≤0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a≤2x－在x∈[2，＋∞)上恒成立，設(shè)h(x)＝2x－，當(dāng)x≥2時，單調(diào)遞減，2x單調(diào)遞增，∴h(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，∴h(x)min＝h(2)＝4－＝，∴a≤，即a的取值范圍為.(2)證明：設(shè)－1<x1≤x2，令F(x)＝f(m1x＋m2x2)－m1f(x)－m2f(x2)，x∈(－1，x2]，則F(x2)＝f[(m1＋m2)x2]－(m1＋m2)f(x2)＝0，∴F′(x)＝m1f′(m1x＋m2x2)－m1f′(x)＝m1[f′(m1x＋m2x2)－f′(x)]，∵m1x＋m2x2－x＝x(m1－1)＋m2x2＝－m2x＋m2x2＝m2(x2－x)≥0，∴m1x＋m2x2≥x，∵f′(x)＝－2x＋a，令g(x)＝f′(x)，則g′(x)＝－－2<0，∴f′(x)在x∈(－1，＋∞)上為減函數(shù)，∴f′(m1x＋m2x2)≤f′(x)，∴m1[f′(m1x＋m2x2)－f′(x)]≤0，即F′(x)≤0，∴F(x)在x∈(－1，x2]上是減函數(shù)，∴F(x)≥F(x2)＝0，即F(x)≥0，∴f(m1x＋m2x2)－m1f(x)－m2f(x2)≥0，∴x∈(－1，x2]時，f(m1x＋m2x2)≥m1f(x)＋m2f(x2)，∵－1<x1≤x2，∴f(m1x1＋m2x2)≥m1f(x1)＋m2f(x2)．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1：ρcosθ＝3，曲線C2：ρ＝4cosθ.(1)求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)Q在C2上，＝，求動點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程．解(1)聯(lián)立解得cosθ＝±，∵0≤θ<，∴θ＝，ρ＝2∴所求交點(diǎn)的極坐標(biāo)為，.(2)設(shè)P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ0)，則ρ0＝4cosθ0，θ0∈，由已知＝，得∴ρ＝4cosθ，θ∈，故動點(diǎn)P的極坐標(biāo)方程為ρ＝10cosθ，θ∈23．已知函數(shù)f(x)＝m－|x－1|－2|x＋1|.(1)當(dāng)m＝5時，求不等式f(