高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強化提升231直線與平面垂直判定

一、選擇題1．以下命題中，正確的有( )①假如一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個平面垂直．②過直線l外一點P，有且僅有一個平面與l垂直．③假如三條共點直線兩兩垂直，那么此中一條直線垂直于另兩條直線確立的平面．④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面．⑤過點A垂直于直線a的全部直線都在過點A垂直于a的平面內(nèi)．A．2個

B．3個C．4個

D．5個[答案]

C[分析]

②③④⑤正確，①中當(dāng)這無數(shù)條直線都平行時，結(jié)論不建立．2．假如一條直線垂直于一個平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．則能保證該直線與平面垂直( )A．①③B．①②C．②④D．①④[答案]A[分析]三角形的兩邊，圓的兩條直徑必定是訂交直線，而梯形的兩邊，正六邊形的兩條邊不必定訂交，所以保證直線與平面垂直的是①③.3．下邊條件中，能判斷直線l⊥α的是( )A．l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直B．l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直C．l與平面α內(nèi)的某一條直線垂直D．l與平面α內(nèi)的隨意一條直線垂直[答案]D4．在正方體ABCD－A1B1C1D1的六個面中，與AA1垂直的面的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．6[答案]B[分析]僅有平面AC和平面A1C1與直線AA1垂直．5．直線a與平面所成的角為50°，直線，則直線b與平αb∥a面α所成的角等于( )A．40°B．50°C．90°D．150°[答案]B[分析]依據(jù)兩條平行直線和同一平面所成的角相等，知b與α所成的角也是50°.6．已知m、n為兩條不一樣的直線，α、β為兩個不一樣的平面，則以下命題中正確的選項是( )A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥βB．α∥β，m?α，n?β?m∥nC．m⊥α，m⊥n?n∥αD．n∥m，n⊥α?m⊥α[答案]D[分析]B中，，可能異面，C中n可能在內(nèi)，A中，，mnαmn可能不訂交．7．(2012－2013·武安中學(xué)高二檢測)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( )625A.3B.51510C.5D.5[答案]D[分析]取B1D1中點O，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，∵A1B1＝B1C1＝2，∴C1O⊥B1D1，又C1O⊥BB1，C1O⊥平面BB1D1D，∴∠C1BO為直線C1B與平面BB1D1D所成的角，在Rt△BOC1中，C1O＝2，BC1＝BC2＋CC21＝5，10∴sin∠OBC1＝.58．(09·四川文)如圖，已知六棱錐－ABCDEF的底面是正六P邊形，⊥平面，＝2，則以下結(jié)論正確的選項是( )PAABCPAABA．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直線BC∥平面PAED．直線PD與平面ABC所成的角為45°[答案]D[分析]設(shè)AB長為1，由PA＝2AB得PA＝2，又ABCDEF是正六邊形，所以AD長也為2，又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，所以△PAD為直角三角形．∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴PD與平面ABC所成的角為45°，應(yīng)選D.二、填空題9．空間四邊形ABCD的四條邊相等，則對角線AC與BD的位置關(guān)系為________．[答案]垂直[分析]取AC中點，連、.EBEDE由AB＝BC得AC⊥BE.同理AC⊥DE，所以AC⊥面BED.所以，AC⊥BD.10．已知PA垂直于平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD必定是________．[答案]菱形[分析]因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PC⊥BD，且PC?平面PAC，PA?平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.又AC?平面PAC，所以BD⊥AC.又四邊形ABCD是平行四邊形，所以四邊形ABCD是菱形．11．如圖，已知△ABC為等腰直角三角形，P為空間一點，且AC＝BC＝52，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中點為M，則PM與平面ABC所成的角為________．[答案]45°[分析]由PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，知PC⊥平面ACB，所以∠PMC為PM與平面ABC所成的角．1又∵M是AB的中點，∴CM＝2AB＝5.又PC＝5，∴∠PMC＝45°.12．如右圖，－為正方體，下邊結(jié)論錯誤的是ABCDA1B1C1D1．．________．①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④異面直線AD與CB1所成的角為60°.[答案]④[分析]因為BD∥B1D1，BD?平面CB1D1，B1D1?平面CB1D1，則BD∥平面CB1D1，所以①正確；因為BD⊥AC，BD⊥CC1，AC∩CC1＝C，所以BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD.所以②正確；能夠證明AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1，所以③正確；因為AD∥BC，則∠BCB1＝45°是異面直線AD與CB1所成的角，所以④錯誤．三、解答題13．如圖，從直線CD出發(fā)的兩個半平面α、β，EA⊥α于A，EB⊥β于B，求證：CD⊥AB.[證明]∵EA⊥α，CD?α，∴EA⊥CD，同理EB⊥CD，∴CD⊥平面EAB，又AB?平面EAB，∴CD⊥AB.14．如下圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直線PC與平面ABCD所成的角．[剖析]找到PC在平面ABCD上的射影AC，則∠PCA為直線PC與平面ABCD所成的角．[分析]如圖，連結(jié)AC，因為PA⊥平面ABCD，則AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC與平面ABCD所成的角．在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，AC＝AB2＋AD2＝42＋32＝5.則∠PCA＝45°，即直線PC與平面ABCD所成的角為45°.15．如下圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上隨意一點，過點A作AE⊥PC于點E.求證：AE⊥平面PBC.[剖析]只需證AE垂直于平面PBC內(nèi)兩訂交直線即可，已知AE⊥PC，再證AE⊥BC，則可證AE垂直于平面PBC.[證明]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AE?平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.[評論]利用直線與平面垂直的判斷定理判斷直線與平面垂直的步驟是：①在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它和已知直線垂直；②確立這個平面內(nèi)的兩條直線是訂交直線；③依據(jù)判斷定理得出結(jié)論．16．S為直角△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC.D為斜邊AC的中點，(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若直角邊BA＝BC，求證：BD⊥平面