單調性與最大小值

單調性與最大小值第一頁，共三十一頁，2022年，8月28日

觀察下列各個函數的圖象，并說說它們分別反映了相應函數的哪些變化規(guī)律：

1、觀察這三個圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？第二頁，共三十一頁，2022年，8月28日問題1畫出f(x)=x的圖像，并觀察其圖像。2、在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著______.o5-5-55f(x)=x1、從左至右圖象上升還是下降

____?上升增大第三頁，共三十一頁，2022年，8月28日1、在區(qū)間________上，f(x)的值隨著x的增大而______.問題2畫出的圖像，并觀察圖像.o5-5-552、在區(qū)間________

上，f(x)的值隨著x的增大而_____.(-∞,0](0,+∞)減小增大第四頁，共三十一頁，2022年，8月28日函數單調性的概念：

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數,如圖1.1．增函數第五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2

，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)

，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數

,如圖2.yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)圖1yx0x1x2f(x1)f(x2)y=f(x)圖2第六頁，共三十一頁，2022年，8月28日1、函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質.第七頁，共三十一頁，2022年，8月28日xy21013對于函數y=f(x)

，若在區(qū)間I上，當x＝1時,y＝1;當x＝2時,y＝3,能說在區(qū)間I上函數值y隨自變量x的增大而增大嗎?2、必須是對于區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2；當x1<x2時，總有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分別是增函數和減函數.第八頁，共三十一頁，2022年，8月28日

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么就說函數y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調區(qū)間.函數的單調性定義第九頁，共三十一頁，2022年，8月28日例1.下圖是定義在閉區(qū)間[-5,5]上的函數y=f(x)的圖象,根據圖象說出y=f(x)的單調區(qū)間,以及在每個單調區(qū)間上,y=f(x)是增函數還是減函數?解:函數y=f(x)的單調區(qū)間有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在區(qū)間[-5,-2),[1,3)上是減函數,在區(qū)間[-2,1),[3,5]上是增函數.第十頁，共三十一頁，2022年，8月28日用定義證明函數單調性的步驟是：（1）取值（2）作差（4）定號（5）結論根據單調性的定義得結論

即取是該區(qū)間內的任意兩個值且即求（3）變形通過因式分解、配方、有理化等方法

即根據給定的區(qū)間和的符號來確定的符號第十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日例2求證：函數在區(qū)間上是單調增函數．，則證明：在區(qū)間（0，+∞）上任取兩個值且又因為，，所以說

即函數在區(qū)間（0，+∞）上是單調增函數.第十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日探究畫出反比例函數的圖象．

1這個函數的定義域是什么？

2它在定義域I上的單調性怎樣？證明你的結論．xy0{x∣x≠0}分兩個區(qū)間(0，+∞)，（-∞，0）來考慮其單調性.第十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日函數f(x)=1/x在(0，+∞)上是減函數.f(x1)-f(x2)=由于x1,x2得x1x2>0,又由x1<x2得x2-x1>0所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).證明：（1）在區(qū)間(0，+∞)上，設x1,x2是(0，+∞)上任意兩個實數，且x1<x2，則（2）在區(qū)間（-∞，0）上，同理可得到函數f(x)=1/x在（-∞，0）上是減函數。第十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日下列兩個函數的圖象：圖1ox0xMyyxox0圖2M觀察

觀察這兩個函數圖象，圖中有個最高點，那么這個最高點的縱坐標叫什么呢？思考第十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日

設函數y=f(x)圖象上最高點的縱坐標為M，則對函數定義域內任意自變量x，f(x)與M的大小關系如何？思考f(x)<M?(0)=1O122、存在0，使得?(0)=1.1、對任意的都有?(x)≤1.1是此函數的最大值第十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日知識要點M是函數y=f(x)的最大值（maximumvalue）：

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：（1）對于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在，使得.那么，我們稱M是函數y=f(x)的最大值第十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日

一般地，設函數y=f(x)的定義域為I，如果實數M滿足：（1）對于任意的的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在 ，使得，那么我們稱M是函數y=f(x)的最小值（minimunvalue）.

能否仿照函數的最大值的定義，給出函數y=f(x)的最小值的定義呢？思考第十八頁，共三十一頁，2022年，8月28日

函數的最大值是函數值域中的一個元素嗎？思考是

如果在函數f(x)定義域內存在x1和x2，使對定義域內任意x都有成立，由此你能得到什么結論？如果函數f(x)的最大值是b，最小值是a，那么函數f(x)的值域是[a，b]嗎？思考函數f(x)在定義域中既有最大值又有最小值.第十九頁，共三十一頁，2022年，8月28日探究:函數單調性與函數的最值的關系（1）若函數y=f(x)在區(qū)間[m，n](m<n)上單調遞增，則函數y=f(x)的最值是什么？Oxy

當x=m時，f(x)有最小值f(m)，當x=n時,f(x)有最大值f(n).第二十頁，共三十一頁，2022年，8月28日(2)若函數y=f(x)在區(qū)間[m，n]上單調遞減，則函數y=f(x)的最值是什么？Oxy

當x=m時，f(x)有最大值f(m)，當x=n時，f(x)有最小值f(n).第二十一頁，共三十一頁，2022年，8月28日(3)若函數則函數y=f(x)在區(qū)間[m,n]上的最值是什么？Oxy最大值f(l)=h，有最小值f(m),f(n)中較小者.第二十二頁，共三十一頁，2022年，8月28日第二十三頁，共三十一頁，2022年，8月28日解：做出函數的圖像。顯然，函數圖像的頂點就是煙花上升的最高點，頂點的橫坐標就是煙花爆裂的最佳時刻，縱坐標就是這時距地面的高度.oth43215101520由二次函數的知識，對于函數，我們有當時，函數有最大值

所以，煙花沖出1.5s是它爆裂的最佳時刻，此時距離地面的高度約為29m.第二十四頁，共三十一頁，2022年，8月28日例5已知函數，求函數的最大值與最小.

分析：由函數的圖象可知道，此函數在[3，5]上遞減。所以在區(qū)間[3，5]的兩個端點上分別取得最大值與最小值.

解：設是區(qū)間[3，5]上的任意兩個實數，且，則第二十五頁，共三十一頁，2022年，8月28日由于得于是即所以，此函數在區(qū)間[3,5]的兩個端點上分別取得最大值與最小值即在x=3時取得最大值是1，在x=5時取得最小值為0.5.第二十六頁，共三十一頁，2022年，8月28日

課堂小結2、函數單調性的定義；3、證明函數單調性的步驟；1、單調函數的圖象特征；4、函數的最值：最大值最小值第二十七頁，共三十一頁，2022年，8月28日5、函數的最值的求法（1）利用二次函數的性質（配方法）求函數的最值;（2）利用圖象求函數的最