kejian2自動控制原理課件

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前言

元件和系統(tǒng)微分方程的建立非線性微分方程的線性化

拉普拉斯變換法求解微分方程

傳遞函數(shù)的概念

結(jié)構(gòu)圖、信號流圖及梅森增益公式閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)小結(jié)前言

在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達式。描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知輸入量及變量的初始條件，對微分方程求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達式，并對系統(tǒng)進行性能分析。

建立數(shù)學(xué)模型方法有分析法和實驗法。分析法是對系統(tǒng)各部分的運動機理進行分析，根據(jù)它們所依據(jù)的物理或化學(xué)規(guī)律分別列寫相應(yīng)的運動方程。實驗法是給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。本章重點研究分析法。

自控理論數(shù)學(xué)模型有多種形式。時域中有微分方程、差分方程和狀態(tài)方程；復(fù)數(shù)域中有傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖；頻域中有頻率特性等。2-1控制系統(tǒng)的時域數(shù)學(xué)模型1線性元件的微分方程解:設(shè)回路電流為i(t),由基爾霍夫定律可寫出回路方程為ui(t)uo(t)CRLi(t)

例2-1圖為由電阻R、電感L電容C組成的無源網(wǎng)絡(luò),試列寫以ui(t)為輸入量,以uo(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程.圖2-1

RLC無源網(wǎng)絡(luò)①電樞回路電壓平衡方程式中Ea(V)是電樞反電勢,它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的電勢,其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比,方向與電樞電壓ua(t)相反,即是反電勢系數(shù).(2-2)②電磁轉(zhuǎn)矩方程式中是電動機轉(zhuǎn)矩系數(shù),是電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)矩.(2-3)③電動機軸上的轉(zhuǎn)矩平衡方程(2-4)式中,是電動機和負載折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù);是電動機和負載折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量.由式(2-2)~式(2-4）消去中間變量ia(t),Ea及Mm(t),便可得到以m(t)為輸出量,以ua(t)為輸入量的直流電機微分方程為(2-5)工程中電樞電路電感La較小,常忽略不計,因而上式可簡化為(2-6)式中Tm=RaJm/(Rafm+CmCe)是電動機機電時間常數(shù)(s);K1=Cm/(Rafm+CmCe),K2=Ra/(Rafm+CmCe)是電動機傳遞系數(shù).式中:——阻尼器阻力。其大小與運動速度成正比，方向與運動方向相反，阻尼系數(shù)為f，即：——彈簧力。設(shè)為線性彈簧，根據(jù)虎克定律有：K——彈簧剛度聯(lián)立以上三式并整理得：（2-9）假定m、k、f均為常數(shù)，上式就是二階常系數(shù)線性微分方程。從以上分析可以發(fā)現(xiàn),物理結(jié)構(gòu)不同的元件或系統(tǒng),可以具有相同形式的數(shù)學(xué)模型,例如，前述的RLC無源網(wǎng)絡(luò)和彈簧-質(zhì)量-阻尼器機械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型均是二階微分方程，我們稱之為相似系統(tǒng).相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象間的本質(zhì)相似關(guān)系，利用它可以(1)用一個簡單系統(tǒng)去研究與其相似的復(fù)雜系統(tǒng);(2)為控制系統(tǒng)的計算機數(shù)字仿真提供了基礎(chǔ).(3)二階系統(tǒng)是一個十分典型的、有代表性的系統(tǒng).綜上所述，列寫元件微分方程的步驟可歸納如下：根據(jù)元件的工作原理及其在控制系統(tǒng)中的作用，確定其輸入量和輸出量；分析元件工作中所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律，列寫相應(yīng)的微分方程；消去中間變量，得到輸出量與輸入量之間關(guān)系的微分方程，便是元件時域的數(shù)學(xué)模型。一般應(yīng)將微分方程寫為標準形式，即與輸入量有關(guān)的項寫在方程的右端，與輸出量有關(guān)的項寫在方程的左端，方程兩端變量的導(dǎo)數(shù)項均按降冪排列。運算放大器I

給定電壓ui與速度反饋電壓ut合成，產(chǎn)生偏差電壓并放大運算放大器Ⅱ

u2與u1之間的微分方程為功率放大器采用晶閘管整流裝置,k3為比例系數(shù)直流電動機直接引用例2-2所求得的直流電動機微分方程式(2-6)齒輪系設(shè)速比為i，電機轉(zhuǎn)速ωm經(jīng)齒輪系減速后變?yōu)棣赜袦y速發(fā)電機其輸出電壓ut與轉(zhuǎn)速ω成正比Kt為比例系數(shù)（2-10）3線性系統(tǒng)的基本特性疊加原理兩個外作用同時加于系統(tǒng)所產(chǎn)生的總輸出，等于各個外作用單獨作用時分別產(chǎn)生的輸出之和，且外作用的數(shù)值增大若干倍時，其輸出亦相應(yīng)增大同樣的倍數(shù)。因此對線性系統(tǒng)進行分析和設(shè)計時，如果有幾個外作用同時加于系統(tǒng)，則可將它們分別處理，依次求出各個外作用單獨加入時系統(tǒng)的輸出，然后將它們疊加。4線性定常微分方程的求解當(dāng)系統(tǒng)微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便可對微分方程求解，并由此了解系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性。線性定常微分方程的求解方法有經(jīng)典法、拉氏變換法和數(shù)值計算方法。

用拉氏變換法求解線性系統(tǒng)的微分方程時,可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù).傳遞函數(shù)不僅可以表征系統(tǒng)的動態(tài)性能,而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響.拉普拉斯變換方法求解的優(yōu)點：拉普拉斯變換法可以直接將微分方程變換成代數(shù)方程，簡化求解過程；可以同時獲得解的瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量；可以求得微分方程的全解。⑵拉氏變換表表2－1拉氏變換表(參見教材表A-3)f(t)F(s)(t)11(t)1/st1/

s2tn-1/(n-1)!1/sne-at1/(s+a)sint/(s2+2)costs/(s2+2)

1b－a(e-at－e-bt)1/(s+a)(s+b)②位移定理：⑶基本定理設(shè)F(s)=L[f(t)],F1(s)=L[f1(t)],F2(s)=L[f2(t)],α,β為常數(shù)①線性定理：③相似定理：α為實常數(shù)④微分定理：當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值都為零時：⑤積分定理：

式中：為在處的值LL其中：可查表。一般地，象函數(shù)F(s)是復(fù)變數(shù)s的有理代數(shù)分式例2-5解(1)A(s)=0無重根時，可有或(2-12)根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)有(2-13)則有根據(jù)式(2-12)根據(jù)式(2-13),得原函數(shù)故有原函數(shù)(2-15)例2-6根據(jù)式(2-14)根據(jù)式(2-12)根據(jù)式(2-15)用拉氏變換法求解線性定常微分方程的過程可歸結(jié)如下：考慮初始條件，對微分方程中的每一項分別進行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為變量s的代數(shù)方程；由代數(shù)方程求出輸出量拉氏變換函數(shù)的表達式；對輸出量拉氏變換函數(shù)求反變換，得到輸出量的時域表達式，即為所求微分方程的解。5非線性微分方程的線性化實際上所有現(xiàn)實中的系統(tǒng)都不是線性的，為了便于分析和求解，通常要對系統(tǒng)進行“理想化”和“線性化”處理；手段:a.忽略非線性;b.小偏差線性化法,取某平衡狀態(tài)點A,泰勒級數(shù)展開,小范圍內(nèi)以直代曲.

一般地,自動控制系統(tǒng)在正常情況下都處于一個穩(wěn)定的工作狀態(tài)，而其被控量的偏差一般不會很大，只是“小偏差”。在建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型時，通常是將系統(tǒng)的穩(wěn)定工作狀態(tài)作為起始狀態(tài)，僅僅研究小偏差的運動情況，因而這種小偏差線性化方法對于控制系統(tǒng)大多數(shù)工作狀態(tài)是可行的。2-2控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型-傳遞函數(shù)

拉氏變換法求解系統(tǒng)微分方程時，可得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型—傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)不僅可表征系統(tǒng)的動態(tài)性能，且可用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。經(jīng)典控制論中廣泛應(yīng)用的頻率法和根軌跡法，就是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的，傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最基本和最重要的概念。1傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì)⑴定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為初始條件為零時,輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比,記為G(S),即:（2-16）設(shè)線性定常系統(tǒng)的n階線性常微分方程為設(shè)r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時的值均為零,即零初始條件,對上式中各項分別求拉氏變換,令C(s)=L[c(t)],R(s)=L[r(t)]可得s的代數(shù)方程為式中于是,由定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2-17)ui(t)uo(t)CRLi(t)例2-8試求例2-1RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)解:該網(wǎng)絡(luò)微分方程已求出,如式(2-1)

在零初始條件下,對上式進行拉氏變換,令Uo(s)=L[uo(t)],Ui(s)=L[ui(t)]得(2-18)由傳遞函數(shù)定義得網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)為(2-19)⑵性質(zhì)①傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì).有m≤n且所有系數(shù)均為實數(shù).

②傳遞函數(shù)是一種用系統(tǒng)參數(shù)表示輸出量與輸入量之間關(guān)系的表達式,它只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù),而與輸入量的形式無關(guān),也不反映系統(tǒng)內(nèi)部的任何信息.因此,可以用圖2-5的方塊圖表示一個具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng).圖2-5傳遞函數(shù)的圖示G(s)R(s)C(s)③傳遞函數(shù)與微分方程有相通性.在零初始條件下，若將微分方程的算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換便得到傳遞函數(shù);反之亦可.④傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t).脈沖響應(yīng)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng),此時,

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的,控制系統(tǒng)的零初始條件有兩方面的含義:一是指輸入量是在t≥0時才作用于系統(tǒng),因此在t=0-時輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零;二是指輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài),即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時的值也為零.現(xiàn)實的工程控制系統(tǒng)多屬此類情況.⑶物理意義例2-9試求例2-2電樞控制直流電機的傳遞函數(shù)解:在例2-2中已求得電樞控制直流電機簡化后的微分方程為(2-20)根據(jù)線性系統(tǒng)疊加原理,可分別求出ua(t)到m(t)和Mc(t)到m(t)的傳遞函數(shù).先求,為此令Mc(t)=0,則有在零初始條件下,對上式各項求拉氏變換,則得(2-21)由傳遞函數(shù)定義,于是有(2-22)同理,令ua(t)=0,可求得(2-23)式中,---------稱為傳遞函數(shù)的零點;-------稱為傳遞函數(shù)的極點.2傳遞函數(shù)的零點和極點傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后,可寫為如下形式(2-24)傳遞函數(shù)的零點和極點可以是實數(shù),也可是復(fù)數(shù),系數(shù)K*=b0/a0稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益.這種用零點和極點表示傳遞函數(shù)的方法,在根軌跡法中使用較多.在復(fù)數(shù)平面上表示傳遞函數(shù)的零點和極點時,稱為傳遞函數(shù)的零極點分布圖.在圖中一般用表示零點,用表示極點.傳遞函數(shù)的分子多項式和分母多項式經(jīng)因式分解后,也可以寫為如下因子連乘積的形式(2-25)式中,一次因子對應(yīng)于實數(shù)零極點,二次因子對應(yīng)于復(fù)數(shù)零極點.稱為時間常數(shù),稱為傳遞系數(shù)或增益.傳遞函數(shù)的這種表示形式在頻率法在使用較多.顯然，傳遞函數(shù)的極點就是微分方程的特征根。3典型元部件的傳遞函數(shù)

為建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，必須首先了解各種元部件的數(shù)學(xué)模型及其特性。⑴電位器電位器是一種把線位移或角位移變換為電壓量的裝置.在控制系統(tǒng)中,單個電位器用作為信號變換裝置,如圖2-6(a)所示;一對電位器可組成誤差檢測器,如圖2-6(b)所示.圖2-6電位器及其特性空載時,單個電位器的電刷角位移θ(t)與輸出電壓u(t)的關(guān)系曲線如圖2-6(c)所示.圖中的階梯形狀是由繞線線徑產(chǎn)生的誤差,理論分析時可用直線近似.由圖可得輸出電壓為式中,是電刷單位角位移對應(yīng)的輸出電壓,稱電位器傳遞系數(shù)(V/rad),其中E是電位器電源電壓(V),是電位器最大工作角(rad).對上式求拉氏變換,可得電位器的傳遞函數(shù)為上式表明,電位器的傳遞函數(shù)是一個常值,故稱比例元件,可用圖2-6(d)所示的方塊圖來表示.用一對相同的電位器組成誤差檢測器時,其輸出電壓為式中K1是單個電位器的傳遞系數(shù),是兩個電位器電刷角位移之差,稱誤差角.因此以誤差角為輸入時,誤差檢測器的傳遞函數(shù)與單個電位器的傳遞函數(shù)相同,即為在使用電位器時要注意負載效應(yīng)，即指在電位器輸出端接有負載時所產(chǎn)生的影響。圖示電位器輸出端接有負載電阻Rl時的電路圖，設(shè)電位器電阻是Rp，可求得電位器輸出電壓為⑵測速發(fā)電機

測速發(fā)電機是用于測量角速度并將它轉(zhuǎn)換成電壓量的裝置.在控制系統(tǒng)中常用的有直流和交流測速發(fā)電機,如圖2-7所示.圖2-7(a)是永磁式直流測速發(fā)電機的原理線路圖,其輸出電壓與轉(zhuǎn)子角速度的關(guān)系為圖2-7測速發(fā)電機示意圖式中Kt

是測速發(fā)電機輸出斜率,表示單位角速度的輸出電壓.在零初始條件下,對上式拉氏變換可得直流測速發(fā)電機的傳遞函數(shù)為或分別用方塊圖表示如下:

sKtU(s)

KtU(s)圖2-8測速發(fā)電機的方塊圖圖2-7(b)是交流測速發(fā)電機的示意圖.在結(jié)構(gòu)上它有兩個互相垂直放置的線圈,其中一個是激磁繞組,接入一定頻率的正弦額定電壓;另一個是輸出繞組.當(dāng)轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)時,輸出繞組產(chǎn)生與轉(zhuǎn)子角速度成比例的交流電壓u(t),其頻率與激磁電壓頻率相同,其傳遞函數(shù)及方塊圖亦同直流測速發(fā)電機.⑶電樞控制直流伺服電動機直流伺服電動機在控制系統(tǒng)中廣泛用作執(zhí)行機構(gòu),用來對被控對象的機械運動實現(xiàn)快速控制.根據(jù)例2-9的式(2-22)和式(2-23)可用下列方塊圖表示三種情況下的直流伺服電動機.⑷兩相伺服電動機兩相伺服電動機具有重量輕、慣性小、加速特性好的優(yōu)點,是控制系統(tǒng)中廣泛應(yīng)用的一種小功率交流執(zhí)行機構(gòu).兩相伺服電動機由互相垂直配置的兩相定子線圈和一個高電阻值的轉(zhuǎn)子組成.定子線圈的一相是激磁繞組,另一相是控制繞組,通常接在功率放大器的輸出端,提供數(shù)值和極性可變的交流控制電壓.兩相伺服電動機的轉(zhuǎn)矩-速度特性曲線有負的斜率,且呈非線性.圖2-9(b)是在不同控制電壓ua時,實驗測取的一組機械特性曲線.圖中的虛線是線性化曲線,其線性化方程可表示為圖2-9兩相伺服電動機及其特性式中Mm是電動機輸出轉(zhuǎn)矩,m

是電動機角速度,CΩ=dMm/dm是阻尼系數(shù),即機械特性線性化的直線斜率,Ms是堵轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩,由圖2-9(b)可得Ms=CMua.由前面兩式消去中間變量Ms和Mm,并在零初始條件下求拉氏變換,可求得兩相伺服電動機的傳遞函數(shù)為或式中Km=CM/(fm+CΩ)是電動機的傳遞系數(shù),Tm=Jm/(fm+CΩ)是電動機時間常數(shù)?？梢?，兩相伺服電機和直流電機的傳遞函數(shù)在形式上完全相同。⑸無源網(wǎng)絡(luò)為了改善控制系統(tǒng)的性能,常在系統(tǒng)中引入無源網(wǎng)絡(luò)作為校正元件.無源網(wǎng)絡(luò)通常是由電阻、電容和電感組成.求無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù),可用前述的方法,即列寫網(wǎng)絡(luò)微分方程，進行拉氏變換，從而得到輸出量與輸入量間的傳遞函數(shù)。此外還可采用復(fù)數(shù)阻抗法.用復(fù)數(shù)阻抗法表示電阻時仍為R,電容的復(fù)數(shù)阻抗為1/Cs,電感的復(fù)數(shù)阻抗為Ls.

圖2-1的RLC無源網(wǎng)絡(luò)用復(fù)數(shù)阻抗表示后的電路如圖2-10所示.圖中Z1=R+Ls,Z2=1/Cs.由圖可直接寫出電路的傳遞函數(shù)為Z1Z2uiuo圖2-10復(fù)阻抗表示的RLC電路應(yīng)該注意,求取無源網(wǎng)絡(luò)傳遞函數(shù)時,一般假設(shè)網(wǎng)絡(luò)輸出端有無窮大的負載阻抗,輸入內(nèi)阻為零,否則應(yīng)考慮負載效應(yīng).圖2-11中,兩個RC網(wǎng)絡(luò)不相連接時,可視為空載,傳遞函數(shù)分別為圖2-11負載效應(yīng)示意圖若將G1(s)與G2(s)兩方塊串聯(lián)連接,如圖2-11右端,其傳遞函數(shù)為但是,若將兩個RC網(wǎng)絡(luò)直接連接,則由電路微分方程可求得連接后電路的傳遞函數(shù)為單容水槽、電加熱爐和雙容水槽的傳遞函數(shù)2-3控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對各變量所進行的運算,是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡便方法.

與結(jié)構(gòu)圖相比,信號流圖符號簡單,更便于繪制和應(yīng)用.但是,信號流圖只適用于線性系統(tǒng),而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng).1系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的組成和繪制

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖是由許多對信號進行單向運算的方框和一些信號流向線組成,它包含四種基本單元:⑴信號線.帶有箭頭的直線,箭頭表示信號的流向,在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)，如圖2-12(a);⑵引出點(測量點).表示信號引出或測量的位置,從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全性同，如圖2-12(b);⑶比較點(綜合點).對兩個以上的信號進行加減運算,“+”號表示相加，“-”號表示相減，“+”號可省略，如圖2-12(c);⑷方框(環(huán)節(jié)).對信號進行的數(shù)學(xué)變換,框內(nèi)為元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù),如圖2-12(d).方框可視作單向運算的算子，方框的輸出量等于其輸入量與框內(nèi)傳遞函數(shù)乘積,C(s)=G(s)U(s)。圖2-12結(jié)構(gòu)圖的基本組成單元

繪制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖時，首先考慮負載效應(yīng)分別列寫各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示；然后根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方框連接便得到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。結(jié)構(gòu)圖上可以用方框進行數(shù)學(xué)運算，也可以直觀了解各元部件的相互關(guān)系及其在系統(tǒng)中所起的作用。而且，從系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可以方便地求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。所以系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖也是控制系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型。

結(jié)構(gòu)圖中的方框與實際系統(tǒng)的元部件并非是一一對應(yīng)的。一個實際元部件可以用一個方框或幾個方框表示；而一個方框也可以代表幾個元部件或是一個子系統(tǒng)，或是一個大的復(fù)雜系統(tǒng)。例2-10

繪制如圖2-13所示RC無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖圖2-13RC無源網(wǎng)絡(luò)

解將無源網(wǎng)絡(luò)視為一個系統(tǒng)，組成網(wǎng)絡(luò)的元件就對應(yīng)于系統(tǒng)的元部件。設(shè)電路中各變量如圖中所示，應(yīng)用復(fù)阻抗概念，根據(jù)基爾霍夫定律寫出以下方程：

按照這些方程可分別繪制相應(yīng)元件的方框圖如圖2-14(a)-(d)所示。然后用信號線按信號流向依次將各方框連接起來，便得到無源網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖，見圖2-14(e).圖2-14RC無源網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖2結(jié)構(gòu)圖的等效變換和簡化由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖通過等效變換(簡化)可方便地求取閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)或系統(tǒng)輸出量響應(yīng)。實際上，該過程對應(yīng)于由元部件運動方程消去中間變量求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)過程。復(fù)雜系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，其方框間的連接是錯綜復(fù)雜的，但方框間的基本連接方式只有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接三種。結(jié)構(gòu)圖簡化的一般方法是移動引出點或比較點，交換比較點，進行方框運算將串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接的方框合并。在簡化過程中應(yīng)遵循變換前后變量關(guān)系保持等效的原則，具體而言，就是變換前后前向通路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變，回路中傳遞函數(shù)的乘積應(yīng)保持不變。（l）串聯(lián)方框的簡化（等效）傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，若G1(s)的輸出量作為G2(s)的輸入量，則G1(s)與G2(s)稱為串聯(lián)連接。圖2-15方框串聯(lián)連接及其簡化（2）并聯(lián)方框的簡化（等效）

傳遞函數(shù)分別為G1(s)和G2(s)的兩個方框，如果它們有相同的輸入量，而輸出量等于兩個方框輸出量的代數(shù)和，則G1(s)與G2(s)稱為并聯(lián)連接。G1(s)G2(s)R(s)C(s)C1(s)C2(s)(a)R(s)C(s)(b)圖2-16方框并聯(lián)連接及其簡化（3）反饋連接方框的簡化（等效）G(s)H(s)R(s)C(s)(a)E(s)B(s)圖2-17方框的反饋連接及其簡化R(s)C(s)(b)(s)⑷比較點和引出點的移動

為便于方框的簡化運算，有時需移動比較點或引出點位置。這時應(yīng)注意移動前后必須保持信號的等效性，且比較點和引出點之間一般不宜交換其位置。此外，“-”號可在信號線上越過方框移動，但不能越過比較點和引出點。表2-2結(jié)構(gòu)圖簡化（等效變換）的基本規(guī)則例2-11試簡化圖2-18的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-18例2-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖-__-_____圖2-19例2-11系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡化例2-12試簡化圖2-20的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-20例2-12系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解在圖中由于G1(s)與G2(s)之間有交叉的比較點和引出點，不能直接進行方框運算，但也不可簡單地互換其位置。最簡便方法是按規(guī)則(5)和規(guī)則(8)分別將比較點前移,引出點后移；然后進一步簡化直至求得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。3信號流圖的組成及性質(zhì)該圖起源于用圖示法描述線性方程式，是由節(jié)點和支路組成的一種信號傳遞網(wǎng)絡(luò)。節(jié)點代表方程式中的變量，以小圓圈表示；支路是連接兩節(jié)點的定向線段，相當(dāng)于乘法器。信號流圖的基本性質(zhì)

(1)節(jié)點標志系統(tǒng)的變量。自左向有順序設(shè)置，每個節(jié)點標志的變量是所有流向該節(jié)點的信號之代數(shù)和，而從同一節(jié)點流向各支路的信號均用該節(jié)點的變量表示。(2)支路相當(dāng)于乘法器，信號流經(jīng)支路時被乘以支路增益。(3)信號在支路上只能沿箭頭單向傳遞,且信號流圖不惟一。源節(jié)點(輸入節(jié)點)

在該點上只有信號輸出支路，沒有信號輸入支路，一般代表系統(tǒng)的輸入量。名詞術(shù)語阱節(jié)點(輸出節(jié)點)該點上只有輸入支路而沒有輸出支路，代表輸出量?；旌瞎?jié)點在該點上既有輸入支路又有輸出支路。若從混合節(jié)點引出一條具有單位增益的支路，可將混合節(jié)點變?yōu)橼骞?jié)點.4信號流圖的繪制(1)由系統(tǒng)微分方程繪制信號流圖

含有微分或積分的線性方程，應(yīng)通過拉氏變換，變換為s的代數(shù)方程后再畫信號流圖。繪制時首先要對系統(tǒng)的每個變量指定一個節(jié)點，并按照變量的因果關(guān)系，從左向右順字排列；然后，用標明支路增益的支路，根據(jù)方程式將各節(jié)點變量正確連接。例2-13試繪制例2-10的無源網(wǎng)絡(luò)信號流圖。將各變量重新排列得下述方程式組：(2)由結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖只需在結(jié)構(gòu)圖的信號線上用小圓圈標志出傳遞的信號，便得到節(jié)點；用標有傳遞函數(shù)的線段代替結(jié)構(gòu)圖中的方框，便得到支路，于是結(jié)構(gòu)圖就變換為相應(yīng)的信號流圖了。注意：1.盡量精簡節(jié)點的數(shù)目，但源節(jié)點或阱節(jié)點不能合并掉；2.在結(jié)構(gòu)圖比較點之前沒有引出點時，只需在比較點后設(shè)置一個節(jié)點;3.在比較點之前有引出點對，就需在引出點和比較點各設(shè)置一個節(jié)點.例2-14試繪制圖2-21所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖.圖2-21例2-14的結(jié)構(gòu)圖

解首先在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的信號線上，用小圓圈標注各變量對應(yīng)的節(jié)點，如圖2-22(a)。其次將各節(jié)點按原來順序自左向有排列，將結(jié)構(gòu)圖中的方框用具有相應(yīng)增益得支路代替，連接節(jié)點得到信號流圖。圖2-22例2-14的信號流圖5梅森(Mason)增益公式

控制工程上常用梅森增益公式直接求取從源節(jié)點到阱節(jié)點的傳遞函數(shù)，以免簡化結(jié)構(gòu)圖或信號流圖的麻煩。

對于任意復(fù)雜信號流圖，求取從任意源節(jié)點到任意阱節(jié)點之間傳遞函數(shù)的梅森增益公式為(2-26)例2-15試用梅森公式求例2-11系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s).前向通路有一條(即n=1):p1=G1G2G3G4.回路有三個:

沒有不接觸回路,且前向通路與所有回路都接觸,故例2-16試用梅森公式求圖2-23信號流圖的傳遞函數(shù)C(s)/R(s).圖2-23例2-16的信號流圖解:單獨回路有四個即兩個互不接觸的回路有四組,即三個互不接觸的回路有一組,即1于是,信號流圖特征式為因此,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為前向通路共有四條,其增益及余因式分別為16閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù),一般可以由組成系統(tǒng)的元部件運動方程式求得,但更為方便的是由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖或信號流圖求取.一個典型的反饋控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖如圖2-24所示.圖2-24反饋控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖和信號流圖圖中:R(s)-----輸入信號;N(s)------擾動信號;C(s)------輸出信號.應(yīng)用疊