Diracδ函數(shù)及其性質(zhì)課件

一、Diracδ函數(shù)

1°Diracδ函數(shù)的定義

2°Diracδ函數(shù)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來(lái)表示

3°Diracδ函數(shù)的性質(zhì)

4°復(fù)合函數(shù)形式的Diracδ函數(shù)——δ[h(x)]

5°二維Diracδ函數(shù)

MMQQI激光脈沖及其它小光源早在一個(gè)多世紀(jì)前，物理學(xué)家就感到有必要引入一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)、點(diǎn)電荷、點(diǎn)光源及又窄又強(qiáng)的電脈沖等一類物理量，當(dāng)時(shí)用于描述這種物理量的數(shù)學(xué)符號(hào)被稱之為‘沖擊脈沖符號(hào)’。1947年，英國(guó)物理學(xué)家P.A.M.Dirac在他的著作《PrincipleofQuantumMechanics》中正式引入δ(x)，并稱它為‘奇異函數(shù)’或‘廣義函數(shù)’。δ(x)函數(shù)之所以被稱為‘奇異函數(shù)’或‘廣義函數(shù)’，原因在于：一、它不象普通函數(shù)那樣存在確定的函數(shù)值，而是一種極限狀態(tài)，而且它的極限也和普通函數(shù)不同，不是收斂到定值，而是收斂到無(wú)窮大；二、函數(shù)不象普通函數(shù)那樣進(jìn)行四則運(yùn)算和乘冪運(yùn)算，它對(duì)別的函數(shù)的作用只能通過(guò)積分來(lái)確定。在光學(xué)里，δ(x)函數(shù)常常用來(lái)表示位于坐標(biāo)原點(diǎn)的具有單位光功率的點(diǎn)光源，由于點(diǎn)光源所占面積趨近于零，所以在x=0點(diǎn)功率密度趨近于無(wú)窮大。

在(1)和(2)中變換原點(diǎn)，得到：

(3)其中a為任意常數(shù)。因此用δ(x-a)乘x的函數(shù)，并對(duì)所有x積分的過(guò)程，等效于用a代替x的過(guò)程。

*定義的另外形式：2°δ(x)可以用一些連續(xù)函數(shù)的序列極限來(lái)表示

1)、歸一化的Gauss分布函數(shù)G(x)：

(4)該函數(shù)具有如下的性質(zhì)：

(5)當(dāng)σ→0時(shí)，G(x)就趨向于δ(x)，即：

(6)(1)(3)2)、函數(shù)

的極限

也滿足δ(x)函數(shù)的條件：

(7)其中α>0。

證明：當(dāng)x=0時(shí)，

當(dāng)x≠0時(shí)，sin(αx)/(αx)以周期2π/α振蕩，振幅隨著|αx|的增加而減小。所以，當(dāng)α→∞時(shí)，于是有：當(dāng)α>0時(shí)，查找定積分表可得到：

所以有：的極限

根據(jù)上述討論可知，函數(shù)

滿足δ(x)函數(shù)的條件，可以表示Diracδ(x)函數(shù)，即(7)式成立。

3)、函數(shù)

的極限

也滿足δ(x)函數(shù)的條件，即：

(8)其中α>0。

證明：當(dāng)x=0時(shí)，當(dāng)x≠0時(shí)，sin(αx)/(αx)以周期2π/α振蕩，振幅隨著|αx|的增加而減小。所以：當(dāng)α→∞時(shí)，sin(αx)/(αx)→0于是有：4)、階躍函數(shù)的導(dǎo)數(shù)也可以表示Diracδ(x)函數(shù)。

根據(jù)第一次課所講的內(nèi)容可知，階躍函數(shù)step(x)也稱為Heaviside函數(shù)，也可以用H(x)表示，其定義如下：

(9)函數(shù)H(x-a)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)也滿足δ(x)的條件，即：

(10)很容易看出，當(dāng)x≠a時(shí)，

而當(dāng)x=a時(shí)，

利用分步法計(jì)算積分，有：

根據(jù)以上討論，再結(jié)合式(3)可知，Heaviside函數(shù)H(x-a)對(duì)x的導(dǎo)數(shù)可以表示Diracδ(x)函數(shù)，即式(10)成立。

證明：3°Dirac函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1)、積分性質(zhì)：δ函數(shù)的定義式：即表明了δ函數(shù)的積分性質(zhì)，這個(gè)積分也可稱之為δ函數(shù)的‘強(qiáng)度’。性質(zhì)2)、篩選性質(zhì)：式(2)表明了δ函數(shù)的篩選性質(zhì)。則是其推論。

(2)而式(3)中的由此得出推論：性質(zhì)4)、δ函數(shù)的乘法性質(zhì)：如果f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則有：

由此得出推論：xδ(x)=0和4°復(fù)合函數(shù)形式的δ函數(shù)——δ[h(x)]

設(shè)方程h(x)=0有n個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，…，xn，則在任意實(shí)根xi附近足夠小的鄰域內(nèi)有：h(x)=h'(xi)(x-xi)其中h'(xi)是h(x)在x=xi處的一階導(dǎo)數(shù)。如果h'(xi)≠0，則在xi附近可以寫(xiě)出：δ[h(x)]=δ[h'(xi)(x-xi)]=上式表明，δ[h(x)]是由n個(gè)脈沖構(gòu)成的脈沖系列，各個(gè)脈沖位置由方程h(x)=0的n個(gè)實(shí)根確定，各脈沖的強(qiáng)度則由系數(shù)|h'(xi)|-1來(lái)確定。

若h'(xi)在n個(gè)實(shí)根處皆不為零，則有：

h'(xi)≠0推論：直角坐標(biāo)系(x，y)

極坐標(biāo)系(r，θ)

δ(x，y)

δ(r)δ(x-x0，y)δ(r-x0，θ)

δ(x，y-y0)

δ(x+x0，y)

δ(r-x0，θ-π)

δ(x，y+y0)

δ(x-x0，y-y0)

幾個(gè)二維δ函數(shù)在兩種坐標(biāo)系中的位置關(guān)系

表1考慮到脈沖強(qiáng)度的對(duì)應(yīng)關(guān)系，下面給出兩個(gè)二維δ函數(shù)坐標(biāo)變換的例子：顯然，δ(x，y)和δ(r)的位置相同。例1)、可見(jiàn)，脈沖位置和強(qiáng)度都相同，所以坐標(biāo)變換成立。曲面下的體積為：而證明：δ(x，y)曲面下的體積為：例2)、

其中，

顯然，δ(x-x0，y-