2006考研數(shù)學(xué)三真題及答案解析

--PAGE1-2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題一、填空題：1－6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.limn1 .（1）

n n （2）設(shè)函數(shù)f(x)在x2的某鄰域內(nèi)可且fxefx，f21，則f2 .f(u可微f02 1

,則zf 4x2y2 在(1,2)處的全微分dz1 1

. 設(shè)矩陣A1 2，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E，則B . 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則,Y.Xfx樣本方差為S2，則ES2 .

1ex2

x,X,X1

,L,X2

為總體X的簡單隨機(jī)樣本，其二、選擇題：7－14432分..yf(xf(x)0,f(x)0，xxx處的增量，y與dy0分別為f(x)在點(diǎn)x處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若x0，則0(A) 0dyy. (B) 0ydy.(C) ydy0. (D) dyy0. [ ]

x

x0處連續(xù)，且h0

f h2

1，則(A) f0且f0存在 (B) f0且f0存在 (C) f0且f0存在 (D)f0且f0存在 [ ] 若級(jí)數(shù)ann1

收斂，則級(jí)數(shù)n1

a 收斂. （）nn1

(1)nan

收斂.(C)

n1

aan

收斂.

ann1

a2n1收斂. [ ]yP(xyQ(xy1

(x),y2

(x),C為任意常數(shù)，則該方程的通解是（Ａ）Cy1

(x)y2

(x). （Ｂ）y1

(x)Cy1

(x)y2

(x).（Ｃ）Cy1

(x)y2

(x). （Ｄ）y1

(x)Cy1

(x)y2

(x) [ ]f(x,y)與(x,y(x,y)0(xyf(x,y在約束條件(xy)0y 0 0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是

(x,y

0

(x,y

)0.f

x 0 0 y 0 (x,y)0，則f(x,y

)0.x 0 0 y 0 0f

(x,y

0

(x,y

)0.f

x 0 0 y 0(x,y)0，則f(x,y

0)0. [ ]x 0 0 y 0 0（12）設(shè),1 2

,L,s

均為n維列向量，A為mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是若,1 若,1

,L,s,L,s

11

,2,2

,L,s,L,s

..若,1 2

,L,s

線性無關(guān)，則A1

,A2

,L,As

線性相關(guān).若,1 2

,L,s

線性無關(guān)，則A1

,A2

,L,As

線性無. [ ]A3A21BB1列的12列得C，記1 1 0P0 1 0，則 0 0 1 （Ａ）CP1AP. （Ｂ）CPAP1.（Ｃ）CPTAP. （Ｄ）CPAPT. ［ ］XN(1

,2YN(1

,2)，且2則必有

PX1

2

1(A) 12 (B) 12(C) 1 2

(D) [ ]1 2三、解答題：15－23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（1（本題滿分7分）設(shè)fx,y y

1ysinxy

,x0,y0,求1xy arctanx(Ⅰ) gxlimfx,y；y(Ⅱ) limx0

gx.（1（本題滿分7分）計(jì)算二重積分

y2xydxdyDyxy1,x0.D（1（本題滿分10分）證明：當(dāng)0ab時(shí)，bsinb2cosbbasina2cosaa.（1（本題滿分8分）在xOyL過點(diǎn)M,0Px,yx0處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax（常數(shù)a>0）.(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)Lyax所圍成平面圖形的面積為83（1（本題滿分10分）

時(shí)，確定a的值.求冪級(jí)數(shù)n1

n1x2nn2n1

的收斂域及和函數(shù)s(x).（2（本題滿分13分）設(shè)4維向量組1

1a,1,1,T,2

2,2a,2,2T,3

3,3,3a,3T

4,4,4,4aT，4a為何值時(shí),1 2

,,3

線性相關(guān)?當(dāng),1 2

,,3

線性相關(guān)時(shí),求其一個(gè)極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.（2（本題滿分13分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量1

1,2,T,2

0,1,T是線性方程組Ax0(Ⅰ)求A的特征值與特征向量；(Ⅱ)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣,使得QTAQ；A A3E6 E（Ⅲ）求及

，其中2

為3階單位矩陣.（2（本題滿分13分）X的概率密度為21,1x021f xX

,0x2，0, 其他令YXFx,y為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函.(Ⅰ)求Y的概率密度f y；Y(Ⅱ)Cov(X,Y)；(Ⅲ)F1,4. 2 2（2（本題滿分13分）X, 0x1,fx;,1x0, 其他,其中是未知參數(shù)01，X,X1小于1的個(gè)數(shù).（Ⅰ）求的矩估計(jì)；（Ⅱ）求的最大似然估計(jì)

...,X2

X的簡單隨機(jī)樣本，記Nxx1 2

...,x中n2006年考研數(shù)學(xué)（三）真題解析二、填空題：1－6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.n1nn（1）lim nn

1.【分析】將其對(duì)數(shù)恒等化NelnN求解.n1

n

n1(1)n

n1 ln lim(1)nln ，n詳解】lim nn

limn

n

e

n n1

n1而數(shù)列

(1)n

有界，limln

0，所以lim(1)nln

0.n1n

n n .

n

n n故lim nn

e01（2）f(xx2fxefxf21f2【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)即可.【詳解】由題設(shè)知，fxefx，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得fxefxf(x)e2fx，x求導(dǎo)得f(x)2e2fxfx)2e3fxf21，故 f(2)2e3f22e3.設(shè)函數(shù)f(u)可微且f01,則zf4x2y2(1,2處的全微分dz2【分析】利用二元函數(shù)的全微分公式或微分形式不變性計(jì)算.

4dx2dy.【詳解】方法一：因?yàn)?/p>

zzx

f(4x2y2)8x

(1,2)

4，zzy

f(4x2y2)2y

(1,2)

2，所以dz

zxx

dx

dy4dx2dy.z

4x2y2

微分得--PAGE6-dzf(4x2y2)d(4x2y2)f(4x2y2)2ydy，故dz f(0)2dy4dx2dy.1,22 1 設(shè)矩陣A1 2，E為2階單位矩陣，矩陣B滿足BAB2E，則B 【分析AXXAAXBC.【詳解】由題設(shè)，有B(AE)2E于是有 BAE4，而AE

1 11 12B2.X與Y相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則.,Y1.9【分析】利用X與Y的獨(dú)立性及分布計(jì)算.詳解X與Y具有相同的概率密度1, 0x3f(x)3 .0, 其他則,Y 2

11 2 1P X1

dx .30 93【評(píng)注】本題屬幾何概型，也可如下計(jì)算，如下圖：

S 1則P

X,Y

1P

X1,Y1

陰 .S 9Xfx

1ex2

x,X,X1

,L,X2

為總體X的簡單隨機(jī)樣本，其樣本方差為S2，則ES2

2.分析】利用樣本方差的性質(zhì)ES

DX即可.【詳解】因?yàn)閤EXxf(x)dxx

exdx0，EX2

x2f(x)dxx exdxx2exxx2ex2exx2 2 0 0 022xex0

2

exdx2e0

2，0所以DXEX2EX

202，又因S2是DX 的無偏估計(jì)量，所以ES2

DX2.二、選擇題：7－14432分.yf(xf(x)0,f(x)0，xxx處的增量，y與dy0分別為f(x)在點(diǎn)x處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若x0，則0(C)ydy0.(D)dyy0.[Ａ](C)ydy0.(D)dyy0.[Ａ]【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】f(x)0,f(x)0知，函數(shù)f(x)單調(diào)增加，曲線yf(xyf(x0時(shí)，ydyf(x0

)dxf(x0

)x0，故應(yīng)選(Ａ).

x

x0處連續(xù)，且h0

f h2

1，則(A) f0且f0存在 (B) f0且f0存在--PAGE10-(C) f0且

0存在 (D)f0且

0存在 [ C ]分析】從h0

f h2

1f(0)f

(0),f

(0)的存在性.f h2

詳解】由lim 1知，lim

h2 0.又因?yàn)閒 x在x0處連續(xù)，則h0 h2

h0f(0)limf(x)limf x0 h0

0.f h2

ff(0) 令th2，則1lim lim f (0).h0 h2 t0 t f(0)存在，故本題選若級(jí)數(shù)ann1

收斂，則級(jí)數(shù)n1

a 收斂. ）nn1

(1)nan

收斂.(C)

n1

aan

收斂.

ann1

a2n1收斂. [ Ｄ]【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】由

n1

a n

n1

a n1

ann1

a2n1(Ｄ).或利用排除法：1取a n

，則可排除選項(xiàng)（Ａ（Ｂ；n1n取a nn

，則可排除選項(xiàng)（Ｃ）.故（Ｄ）項(xiàng)正確.yP(xyQ(xy1

(x),y2

(x),C為任意常數(shù)，則該方程的通解是（Ａ）Cy1

(x)y2

(x). （Ｂ）y1

(x)Cy1

(x)y2

(x).（Ｃ）Cy1

(x)y2

(x). （Ｄ）y1

(x)Cy1

(x)y2

(x) [ Ｂ]【分析】利用一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)即可.【詳解】由于y1

(x)y2

(x)是對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程yP(x)y0的非零解，所以它的通解是YCy1

(x)y2

(x)，故原方程的通解為yy1

(x)Yy1

(x)Cy1

(x)y2

(x)，故應(yīng)選(Ｂ).【評(píng)注】本題屬基本題型，考查一階線性非齊次微分方程解的結(jié)構(gòu)：yy*Y.其中y*是所給一階線性微分方程的特解，Y是對(duì)應(yīng)齊次微分方程的通解.f(x,y)與(x,y(x,y)0(xyf(x,y在約束條件(xy)0y 0 0下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是

(x,y

0

(x,y

)0.f

x 0 0 y 0 (x,y)0，則f(x,y

)0.x 0 0 y 0 0f

(x,y

0

(x,y

)0.f

x 0 0 y 0(x,y)0，則f(x,y

0)0. [ Ｄ]x 0 0 y 0 0分析F(x,y)f(x,y(x,y在(x0

,y,0

0

xy0 0

的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.詳解】作拉格朗日函數(shù)F(x,y)f(x,y(x,yx,y0 0

的參數(shù)的值為，則0F(x,y,)0 f(x,y)(x,y)0x 0 0

，即x

0 0 0 x 0 0 .F (xy

,y,0

)

fy

(x,y0

)0

(x,y0

)0消去，得0f(x,y)(x,y)f(x,y)(x,y

)0,x 0 0 y 0 0 y 0 0 x 0 0整理得

(x,y

) 1

(x,y

(x,

).（因?yàn)?/p>

(x,y)0，x 0 0

(x,y) y 0 0

0 0 x 0 0 y若f(x,y)0，則f(x,y

)0.故選（Ｄ）.x 0 0 y 0 0（12）設(shè),1 2

,L,s

均為n維列向量，A為mn矩陣，下列選項(xiàng)正確的是若,1 若,1

,L,s,L,s

11

,2,2

,L,s,L,s

線性相關(guān).線性無關(guān).若,1 2

,L,s

1

,A2

,L,As

線性相關(guān).若,1 2

,L,s

1

,A2

,L,As

線性無. [ A ]【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.詳解B,1 2

,L,s

，則1

,A2

,L,As

)AB.,1 2

,L,s

r(BsrABr(Bs1

,A2

,L,A也s線性相關(guān)，故應(yīng)選(Ａ).A3A21BB1列的12列得C，記1 1 0P0 1 0，則 0 0 1 （Ａ）CP1AP. （Ｂ）CPAP1.（Ｃ）CPTAP. （Ｄ）CPAPT. ［Ｂ］【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0B0 1 0CB0 1 00 1 0A0 1 0， 而P1

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 0，則有CPAP1.故應(yīng)選（Ｂ）. 0 0 1 XN(1

,2YN(1

,2)，且2則必有

PX1

1PY2

1(A) (B) 1 2 1 2(C) 1 2

(D) 1 2

[ A ]【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得X1Y2X1Y2P P ，1 1 2 2則211211，即11. 12 12

12 12其中(x)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).又(x)是單調(diào)不減函數(shù)，則11故選(A).

1，即 2

.2三、解答題：15－23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（1（本題滿分7分）設(shè)fx,y y

1ysinxy

,x0,y0,求1xy arctanx(Ⅰ) gxlimfx,y；y(Ⅱ) limx0

gx.【分析】第(Ⅰ)問求極限時(shí)注意將x作為常量求解，此問中含,0型未定式極限；第(Ⅱ)問需利用第(Ⅰ)問的結(jié)果，含未定式極限.

1ysinx

y y詳解】(Ⅰ)

x limf x,y lim y y1xy arctanx sinx y 1 1 lim 1

y

1 1x .1 arctanx

x arctanxy x y (Ⅱ) limgxlim11x

arctanxxx2

（通分）x arctanx

xarctanxx0

x0

x01 1xlimx0

arctanxxx2x2

x0

1x22x

x0

x2x(1x2)2x--PAGE12-（1（本題滿分7分）計(jì)算二重積分【分析【分析】畫出積分域，將二重積分化為累次積分即可..因?yàn)楦?hào)下的函數(shù)為關(guān)于xy”積分較容易，所以Dy2xydy1dyyy2xydx00211y xy30y232y0dy23 21ydy029

y2xydxdyDyxy1,x0.（1（本題滿分10分）證明：當(dāng)0ab時(shí)，bsinb2cosbbasina2cosaa.【分析】利用“參數(shù)變易法”構(gòu)造輔助函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性證明.詳解f(x)xsinx2cosxxasina2cosaa,0axb，則f(x)sinxxcosx2sinxxcosxsinxf0.又f(x)cosxxsinxcosxxsinx0（0x,xsinx0，故當(dāng)0axb 時(shí)，f(x)單調(diào)減少，即f(x)f)0，則f(x)單調(diào)增加，于是f(bf(a0，即bsinb2cosbbasina2cosaa.（1（本題滿分8分）在xOyL過點(diǎn)M,0Px,yx0處的切線斜率與直線OP的斜率之差等于ax（常數(shù)a>0）.(Ⅰ)求L的方程；(Ⅱ)Lyax所圍成平面圖形的面積為3

時(shí)，確定a的值.【分析】(Ⅰ)參數(shù).詳解】(Ⅰ)Lyf(x，則由題設(shè)可得yy

ax，這是一階線性微分方程，其中P(x)1,Q(x)ax，代入通解公式得x xx x ye1dxaxe1dxdxCx x

ax2Cx，又f(1)0，所以Ca.L的方程為yax2L的方程為yax2ax(x0).(Ⅱ) L與直線yax（a>0）所圍成平面圖形如右圖所. 所以D2axax2axdxa2x24a8，0

0 3 3（1（本題滿分10分）求冪級(jí)數(shù)n1

n1x2nn2n1

的收斂域及和函數(shù)s(x).分析.(1)n1x2n1【詳解】記un

(x) ，則n(2n1)u (x)lim n1

(1)nx2n3(n1)(2n1)n u(x) n (1)n1x2n1x2.x

n(2n1)x1x1時(shí)，所給冪級(jí)數(shù)發(fā)散；x時(shí)，所給冪級(jí)數(shù)為故所給冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?/p>

, n(2n1)n(2n1)

，均收斂，在,內(nèi)，s(x)n1

(1)n1x2n1n(2n1)

2xn1

(1)n1x2n(2n1)2n

2xs1

(x)，而s

(x)

(1)n1x2n1,s

(x)

(1)n1x2n2 1 ，1 2n1 1 1x2n1 n1所以s(x)s(0)x

t)dtx 1 dtarctanx，又s(0)0，1 1 0

01t2 1于是s(x)arctanx.同理1--PAGE14-s(x)s(0)xs(t)dtxarctantdt1 1 1 1 tarctantx

tx

dtxarctanx ln1x2 ，0 01t2 2又s(0)0，所以s1

xarctanx12

1x2.故s(x)2x2arctanxxlnx2x 由于所給冪級(jí)數(shù)在x處都收斂，且s(x)2x2arctanxxln1x2 在x處都連續(xù)，所以s(x)在x1成立，即s(x)2x2arctanxxlnx2x（2（本題滿分13分）設(shè)4維向量組1

1a,1,1,T,2

2,2a,2,2T,3

3,3,3a,3T

4,4,4,4aT，4a為何值時(shí),1 2

,,3

線性相關(guān)?當(dāng),1 2

,,3

線性相關(guān)時(shí),求其一個(gè)極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表出.分析參數(shù)a.詳解】記以,1 2

,,3

為列向量的矩陣為A，則1a23412a34123a1a23412a34123a41234aA0,aa10時(shí)，,1 2

,,3

線性相關(guān).當(dāng)a0時(shí)，顯然1

是一個(gè)極大線性無關(guān)組，且2

,1

,1

；1當(dāng)a10時(shí)， 1 2 3 49 2 3 4A

1 8 3 4，1 2 7 41 2 3 6 9 2由于此時(shí)A有三階非零行列式 1

33 4000,,1 2 3

為極大線性無關(guān)組，且1 2

3

0，即4

11

2 7.3（2（本題滿分13分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的各行元素之和均為3,向量1

1,2,T,2

0,1,T是線性方程組Ax0(Ⅰ)求A的特征值與特征向量；(Ⅱ)求正交矩陣Q和對(duì)角矩陣,使得QTAQ；A A3E6 E（Ⅲ）求及

，其中2

為3階單位矩陣.【分析】由矩陣A的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣A的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組Ax0有非零解可知A必有零特征值，其非零解是0特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.將A的 3 6線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣Q；由QTAQA和A2E. 【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榫仃嘇的各行元素之和均為3，所以1 3 1A1331， 1 3 1 3 3是矩陣A(1,1,1T3的全部特征向量為k，其中k為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知A1

0,A2

01

01

,A2

02

,1 2

線性無關(guān)，所以0是A的二重特征值，

是其對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)應(yīng)0的全部特征向量為k

k

，其中k,k1 2

1 2為不全為零的常數(shù).

11 2 2(Ⅱ)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以與,1 2

正交，所以只需將,1 2

正交.取，1 1

10 1 2,

3

11

2

0.2 2 ,

1 6 1 1 1

12再將,1

,單位化，得21

1 136 36

2 2 1 2

2 , ,2

0 ，3161 316

3 2 213 3

1 6 6

1 2 2令Q,

，則Q1

QT，由A是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，得1 2 33 QTAQ 0 . 03 （Ⅲ）知QTAQ 0 ，所以 01 3636

1226663666

1 1 1 333 333 1 1 11 2

1

1 6AQQT6

0 0

1 1 1.3 3

0

1 1 11 33

1 6262

12 2

1 22 3

3 6

3 6QTA2EQQTA2EQ QTAQ2E 3 6 36

2 3 2

3

36

36 0

E，0 0

2 33

2 36

2 2

2 3

3

36則A2E Q2EQT2E. （2（本題滿分1