一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系-知識(shí)講解(提高)

一元二次方根的判別式根與系數(shù)的系—知識(shí)解（提高）撰稿：張曉新審：杜少波【習(xí)標(biāo)1.會(huì)用元二次方程根的判別判別方程根的情況，由方程根的情況能確定方程中待定系數(shù)的取值范圍；2.掌一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系以及在各類問(wèn)題中的運(yùn).【點(diǎn)理要一一二方根判式一元二方根判式一元二次方程

ax

2

bx0(0)，

2

叫做一元二次方程

ax

2

bx0(

的根的判別式，通常用“”表示，即

2

（）eq\o\ac(△,>0)eq\o\ac(△,)時(shí)一元二次方程有個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；（）eq\o\ac(△,=0)eq\o\ac(△,)時(shí)一元二次方程有個(gè)相的實(shí)數(shù)根；（）eq\o\ac(△,<0)eq\o\ac(△,)時(shí)一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù).要詮：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟一元二次方程化為一般形式確定

.c的值；③計(jì)算

2ac的；④根據(jù)2

的符號(hào)判定方程根的情況.一二方根判式的用在方程

ax

2

bx0（）程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根

2

﹥；（）程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

2

=0；（）程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

﹤0.要詮：（）用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一件；（）一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則

2

≥0.要二一二方的與數(shù)關(guān)一元次程根系數(shù)關(guān)如果一元二次方程

ax

2

bx0(

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是

x，x

，

那么

x

bc，xxa

.注意它的使用條件為a≠，Δ≥也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的.一元次程根系數(shù)關(guān)的用驗(yàn)．不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗(yàn)兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；已方程的一個(gè)根，求方程的另一根及未知系數(shù)；不方程，可以利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x的稱式的值．此時(shí)，常常涉及代數(shù)式的一重要變形；如：①

1

2

)1

2

12

；②

1x12xxx12

；③x1

2

xx(x)12

；④

xx221xxx122

()x1xx1

；⑤

(x)1

2

x)1

2

x1

；⑥

()(x()11212

2

；⑦

x1

()(x)2x121

；⑧

1x2xx2x2x2112

()x121()1

；⑨

x(x)12

2(x)21

x12

；⑩

x|x|12

x|)12

x2+2x(x)2x1112

．(4)已知方程的兩根，求作一個(gè)元二次方程；以兩個(gè)數(shù)

為根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程兩根滿足種關(guān)系，確定方程中字母系數(shù)的值或取值范圍；（）用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可以進(jìn)一步討論根的符.設(shè)一元二次方程

ax

2

0(a

的兩根為x、x，1①當(dāng)△≥且

xx1

時(shí)，兩根同號(hào)．

當(dāng)△≥且當(dāng)△≥且

x12x12

，，

x1x1

時(shí)，兩根同為正數(shù)；時(shí)，兩根同為負(fù)數(shù)．②當(dāng)△＞且

xx1

時(shí)，兩根異號(hào)．當(dāng)△＞且當(dāng)△＞且

xx1x12

，，

x1x1

時(shí)，兩根異號(hào)且正根的絕對(duì)值較大；時(shí)，兩根異號(hào)且負(fù)根的絕對(duì)值較大．要詮：（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系求出元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱；（）有理系數(shù)一元二次方程有一根b，則必有一根（，b為理數(shù)【型題類一一二方根判式應(yīng)用

下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是（）11A．方程x兩不相等的實(shí)數(shù)根B方程x有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根xC．方程x

11有個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．方程x

其中為數(shù)，且

a

）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根【思路點(diǎn)撥】考查方程的實(shí)數(shù)根的問(wèn)題，把所給方程整理為一元二次方程的一般形式，用根的判別式去判斷方程解的個(gè)數(shù)即可．【答案D；【解析A、整理得：x，eq\o\ac(△,=0)eq\o\ac(△,)，∴原方程有2個(gè)等的實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤，不合題意；B、整理得：x-x+1=0，＜，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤，不合題意；C、整理得：x-2x+1=0，eq\o\ac(△,)，原方程有個(gè)相的實(shí)數(shù)根，故錯(cuò)誤，不合題意；D、整理得：x-ax+1=0，＞，∴原方程有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故正確，符合題意．故選D．【點(diǎn)評(píng)此類問(wèn)題用到的知識(shí)點(diǎn)為：一元二次方程根的判別式大于0，方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)；根的判別式等于0，方程有個(gè)等的實(shí)數(shù)根；根的判別式小于0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．舉反：【清號(hào)388522

關(guān)的置稱播點(diǎn)稱：別字系的程的況---（】變式不解方程，判別方程根的情況：

x

x

k09【答案當(dāng)k＜時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根；當(dāng)4

k

94

時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)根；

9當(dāng)k＞時(shí)方程無(wú)實(shí)根.42.已知關(guān)于x的元二次方程5【答案】且m≠4

(m

2

有實(shí)數(shù)根，則m的取范圍是_______【解析因?yàn)榉匠?/p>

(m

2

有實(shí)數(shù)根，所以

eq\o\ac(△,)12

4(，解得m

54

，同時(shí)要特別注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即

(m

，∴m的值范圍是

54

且m≠1．【點(diǎn)評(píng)注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為0，即

(m

，≠．舉反：【清號(hào)關(guān)的置稱播點(diǎn)稱利根判式求母圍--例4（】變式已知：關(guān)于x的方程1k＞－且k【答案】2

(1)

有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù),求k的值范.類二一二方的與數(shù)關(guān)的用3.設(shè)x、x是方程1

x

2

x

的兩根，不解方程，求下列各式的值：(1

x2212

；(2

(x)1

2

；()

1

1

．【思路點(diǎn)撥】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，易得

x1

62

，

xx1

12

，要求

x2212

，

()1

2

，1x

1

的值，關(guān)鍵是把它們化成含有

x、x1

的式子．【答案與解析】由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系知

x1

62

，

xx1

12

，所以

222221222222221212112222221222222221212112（1

xx)121

2

35x

．（2

1)

．（3

1

111x22

1122

．【點(diǎn)評(píng)解此類問(wèn)題關(guān)鍵是把它們化成含有

x、x1

的式子．若一元二次方程ax

bx0(

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是

x，那么12

bc，xxa

.舉反：【清號(hào)

關(guān)的置稱播點(diǎn)稱根系的關(guān)---3】【變】不方程，求方程2x13【答案）；（）34

x0

的兩個(gè)根的）平方和）數(shù)和．4.求一個(gè)一元二次方程，使它的兩根分別是方程

x

2

各根的負(fù)倒數(shù)．【答案與解析】設(shè)方程

x

2

的兩根分別為x、，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，1得

x1

23，xx55

．設(shè)所求方程為

y

2

py

，它的兩根為y、，1由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

y1

1x1

，

y2

1x2

，從而

x2y)2xxxx21