九年級數(shù)學下冊全冊教案人教新課標版

正弦和余弦(一)

一、素質教育目標

(-)知識教學點

使學生知道當直角三角形的銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也都固定這■

事實.

(-)能力訓練點

逐步培養(yǎng)學生會觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.

(三)德育滲透點

引導學生探索、發(fā)現(xiàn)，以培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神和良好的學習習慣.

二、教學重點、難點

1.重點：使學生知道當銳角固定時，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的這一事

實.

2.難點：學生很難想到對任意銳角，它的對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的事實，

關鍵在于教師引導學生比較、分析，得出結論.

三、教學步驟

(-)明確目標

1.如圖6T,長5米的梯子架在高為3米的墻上，則A、B間距離為多少米？

2.長5米的梯子以傾斜角NCAB為30°靠在墻上，則A、B間的距離為多少？

3.若長5米的梯子以傾斜角40°架在墻上，則A、B間距離為多少？

4.若長5米的梯子靠在墻上，使A、B間距為2米，則傾斜角/CAB為多少度？

前兩個問題學生很容易回答.這兩個問題的設計主要是引起學生的回憶，并使學生意

識到，本章要用到這些知識.但后兩個問題的設計卻使學生感到疑惑，這對初三年級這些好

奇、好勝的學生來說，起到激起學生的學習興趣的作用.同時使學生對本章所要學習的內容

的特點有一個初步的了解，有些問題單靠勾股定理或含30°角的直角三角形和等腰直角三

角形的知識是不能解決的，解決這類問題，關鍵在于找到一種新方法，求出一條邊或一個未

知銳角，只要做到這一點，有關直角三角形的其他未知邊角就可用學過的知識全部求出來.

通過四個例子引出課題.

（二）整體感知

1.請每一位同學拿出自己的三角板，分別測量并計算30°、45°、60°角的對邊、鄰

邊與斜邊的比值.

學生很快便會回答結果：無論三角尺大小如何，其比值是一個固定的值.程度較好的

學生還會想到，以后在這些特殊直角三角形中，只要知道其中一邊長，就可求出其他未知邊

的長.

2.請同學畫一個含40°角的直角三角形，并測量、計算40°角的對邊、鄰邊與斜邊

的比值，學生又高興地發(fā)現(xiàn)，不論三角形大小如何，所求的比值是固定的.大部分學生可能

會想到，當銳角取其他固定值時，其對邊、鄰邊與斜邊的比值也是固定的嗎？

這樣做，在培養(yǎng)學生動手能力的同時，也使學生對本節(jié)課要研究的知識有了整體感知,

喚起學生的求知欲，大膽地探索新知.

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

1.通過動手實驗，學生會猜想到“無論直角三角形的銳角為何值，它的對邊、鄰邊與

斜邊的比值總是固定不變的”.但是怎樣證明這個命題呢？學生這時的思維很活躍.對于這

個問題，部分學生可能能解決它.因此教師此時應讓學生展開討論，獨立完成.

2.學生經過研究，也許能解決這個問題.若不能解決，教師可適當引導：

圖6-2

若一組直角三角形有一個銳角相等，可以把其

頂點A”A2,A3重合在一起，記作A,并使直角邊AG,AG,AC3……落在同一條直線上,

則斜邊AB”AB?,AB；,……落在另一條直線上.這樣同學們能解決這個問題嗎？引導學生獨立

證明：易知,B￡〃B&〃B￡3……,...△ABCs^AB2c2s3c3s……，/.

B1cl=.4BA=ACj^=AC,.AC,

=====因此，在這罐直角三角

AB7AB,ABS'AB^AB7AB7

形中，NA的對邊、鄰邊與斜邊的比值，是一個固定值.

通過引導，使學生自己獨立掌握了重點，達到知識教學目標，同時培養(yǎng)學生能力，進

行了德育滲透.

而前面導課中動手實驗的設計，實際上為突破難點而設計.這一設計同時起到培養(yǎng)學

生思維能力的作用.

sin60°=—

練習題為2作了孕伏同時使學生知道任意銳角的對邊與斜邊的比值都能求

出來.

（四）總結與擴展

1.引導學生作知識總結:本節(jié)課在復習勾股定理及含30°角直角三角形的性質基礎上,

通過動手實驗、證明，我們發(fā)現(xiàn)，只要直角三角形的銳角固定，它的對邊、鄰邊與斜邊的比

值也是固定的.

教師可適當補充：本節(jié)課經過同學們自己動手實驗，大膽猜測和積極思考，我們發(fā)現(xiàn)

了一個新的結論，相信大家的邏輯思維能力又有所提高，希望大家發(fā)揚這種創(chuàng)新精神，變被

動學知識為主動發(fā)現(xiàn)問題，培養(yǎng)自己的創(chuàng)新意識.

2.擴展：當銳角為30°時，它的對邊與斜邊比值我們知道.今天我們又發(fā)現(xiàn)，銳角任

意時，它的對邊與斜邊的比值也是固定的.如果知道這個比值，已知一邊求其他未知邊的問

題就迎刃而解了.看來這個比值很重要，下節(jié)課我們就著重研究這個“比值”，有興趣的同

學可以提前預習一下.通過這種擴展，不僅對正、余弦概念有了初步印象，同時又激發(fā)了學

生的興趣.

四、布置作業(yè)

本節(jié)課內容較少，而且是為正、余弦概念打基礎的，因此課后應要求學生預習正余弦

概念.

五、板書設計

正弦和余弦（二）

一、素質教育目

標

（一）知識教學

點

使學生初步了

解正弦、余弦概念；

能夠較正確地用

sinA、cosA表示直角

三角形中兩邊的比；

熟記特殊角30。、45

°、60°角的正、余

弦值，并能根據這些

值說出對應的銳角度

數(shù).

（二）能力訓練

點

逐步培養(yǎng)學生

觀察、比較、分析、概括的思維能力.

（三）德育滲透點

滲透教學內容中普遍存在的運動變化、相互聯(lián)系、相互轉化等觀點.

二、教學重點、難點

1.教學重點：使學生了解正弦、余弦概念.

2.教學難點：用含有幾個字母的符號組sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概

念.

三、教學步驟

（一）明確目標

1.引導學生回憶“直角三角形銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值、鄰邊與斜邊的比

值也是固定的.”

2.明確目標：這節(jié)課我們將研究直角三角形一銳角的對邊、鄰邊與斜邊的比值——正

弦和余弦.

（二）整體感知

當直角三角影有T角為好時，它的對邊與斜邊的比值為小

只要知道三角形任一邊長，其他兩邊就可知.

而上節(jié)課我們發(fā)現(xiàn)：只要直角三角形的銳角固定，它的對邊與斜邊、鄰邊與斜邊的比

值也固定.這樣只要能求出這個比值，那么求直角三角形未知邊的問題也就迎刃而解了.

通過與“30。角所對的直角邊等于斜邊的?半”相類比，學生自然產生想學習的欲望,

產生濃厚的學習興趣，同時對以下要研究的內容有了大體印象.

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

正弦、余弦的概念是全章知識的基礎，對學生今后的學習與工作都十分重要，因此確

定它為本課重點，同時正、余弦概念隱含角度與數(shù)之間具有一一對應的函數(shù)思想，又用含幾

個字母的符號組來表示，因此概念也是難點.

在上節(jié)課研究的基礎上，引入正、余弦，“把對邊、鄰邊與斜邊的比值稱做正弦、余

弦”.如圖6-3：

請學生結合圖形敘述正弦、余弦定義，以培養(yǎng)學生概括能力及語言表達能力.教師板

書：在AABC中，NC為直角，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記作cosA.

../確對邊/確鄰邊

sin&=—aj-----.cosA

斜邊斜邊

若把/A的對邊BC記作a,鄰邊AC記作b,斜邊AB記作c,則

ab

tioA=",cosA=—.

cc

引導學生思考：當NA為銳角時，sinA、cosA的值會在什么范圍內？得結論0<sinA

<1,0<cosA<l（/A為銳角）.這個問題對于較差學生來說有些難度，應給學生充分思考

時間，同時這個問題也使學生將數(shù)與形結合起來.

教材例1的設置是為了鞏固正弦概念，通過教師示范，使學生會求正弦，這里不妨增

問“cosA、cosB"，經過反復強化，使全體學生都達到目標，更加突出重點.

例1求出圖6—4所示的RtZ\ABC中的sinA、sinB和cosA、cosB的值.

圖6-4

晶(I).‘斜邊AB=7AC?+BCI=5.

.34

Z.anA.=j>anB=—.

4「3

C0?A=-?CMB=".

3nA=磊,co?B=

VAC=，/ABJ-BC^=12.

??R12.12

..anB=—*co?A=6

學生練習1中1、2、3.

讓每個學生畫含30°、45°的直角三角形，分別求sin30°、sin45°、sin60°和cos30

°、cos45°、cos60°.這一練習既用到以前的知識，又鞏固正弦、余弦的概念，經過學習

親自動筆計算后，對特殊角三角函數(shù)值印象很深刻.

sinSO*=^,sin45*=等.sin60*=^.

CMa―屐W1

cos3(r=—?8s45=—?cos60=".

44。

例2求下列各式的值：

(l)rin3(r+os30*?(2>/^in45*-go?60*.

幅(l).G如+cs3T=1+^=^5.

(2)-^?n45*=</2x5='

為了使學生熟練掌握特殊角三角函數(shù)值，這里還應安排六個小題：

(1)sin45°+cos45；(2)sin30°?cos60°；

JWZA*-.

（0^C0?A.=^,SIZA=*.

在確定每個學生都牢記特殊角的三角函數(shù)值后，引導學生思考，“請大家觀察特殊角

的正弦和余弦值，猜測一下，sin20。大概在什么范圍內，cos50°呢？”這樣的引導不僅培

養(yǎng)學生的觀察力、注意力，而且培養(yǎng)學生勇于思考、大膽創(chuàng)新的精神.還可以進一步請成績

較好的同學用語言來敘述“銳角的正弦值隨角度增大而增大，余弦值隨角度增大而減小.”

為查正余弦表作準備.

（四）總結、擴展

首先請學生作小結，教師適當補充，“主要研究了銳角的正弦、余弦概念，已知直角

三角形的兩邊可求其銳角的正、余弦值.知道任意銳角A的正、余弦值都在0?1之間，即

0<sinA<l,OVcosA<l（/A為銳角）.

還發(fā)現(xiàn)RtZ\ABC的兩銳角NA、ZB,sinA=cosB,cosA=sinB.正弦值隨角度增大而

增大，余弦值隨角度增大而減小.”

四、布置作業(yè)

教材習題14.1中A組3.

預習下一課內容.

補充」）若5鵬=冬則NA=

五、板書設計

14.1正弦和余弦（二）

一、概念：三、例1----------------四、特殊角的正余弦值

二、范圍：------------------五、例2

正弦和余弦（三）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

使學生了解一個銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關系.

（二）能力訓練點

逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括的邏輯思維能力.

（三）德育滲透點

培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神.

二、教學重點、難點

1.重點：使學生了解一個銳角的正弦（余弦）值與它的余角的余弦（正弦）值之間的關系

并會應用.

2.難點：一個銳角的正弦（余弦）與它的余角的余弦（正弦）之間的關系的應用.

三、教學步驟

（一）明確目標

1.復習提問

（1）、什么是NA的正弦、什么是NA的余弦，結合圖形請學生回答.因為正弦、余弦

的概念是研究本課內容的知識基礎，請中下學生回答，從中可以了解教學班還有多少人不清

楚的，可以采取適當?shù)难a救措施.

（2）請同學們回憶30°、45°、60°角的正、余弦值（教師板書）.

(3)請同學們觀察，從中發(fā)現(xiàn)什么特征？學生一定會回答“sin30°=cos60°,sin45

°=cos45°,sin60°=cos30°,這三個角的正弦值等于它們余角的余弦值”.

2.導入新課

根據這一特征，學生們可能會猜想“?個銳角的正弦(余弦)值等于它的余角的余弦(正

弦)值.”這是否是真命題呢？引出課題.

(二)、整體感知

關于銳角的正弦(余弦)值與它的余角的余弦(正弦)值之間的關系，是通過30°、45°、

60°角的正弦、余弦值之間的關系引入的，然后加以證明.引入這兩個關系式是為了便于查

“正弦和余弦表”，關系式雖然用黑體字并加以文字語言的證明，但不標明是定理，其證明

也不要求學生理解，更不應要求學生利用這兩個關系式去推證其他三角恒等式.在本章，這

兩個關系式的用處僅僅限于查表和計算，而不是證明.

(三)重點、難點的學習和目標完成過程

1.通過復習特殊角的三角函數(shù)值，引導學生觀察，并猜想“任一銳角的正弦(余弦)值

等于它的余角的余弦(正弦)值嗎？”提出問題，激發(fā)學生的學習熱情，使學生的思維積極活

躍.

2.這時少數(shù)反應快的學生可能頭腦中已經“畫”出了圖形，并有了思路，但對部分學

生來說仍思路凌亂.因此教師應進一步引導：sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A)(A是

銳角)成立嗎？這時，學生結合正、余弦的概念，完全可以自己解決，教師要給學生足夠的

研究解決問題的時間，以培養(yǎng)學生邏輯思維能力及獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神.

3.教師板書：

任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值;任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值.

sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).

4.在學習了正、余弦概念的基礎上，學生了解以上內容并不困難，但是，由于學生初

次接觸三角函數(shù)，還不熟練，而定理又涉及余角、余函數(shù)，使學生極易混淆.因此，定理的

應用對學生來說是難點、在給出定理后，需加以鞏固.

已知NA和NB都是銳角，

(D把cos(90°-A)寫成/A的正弦.

(2)把sin(90°-A)寫成NA的余弦.

這一練習只能起到鞏固定理的作用.為了運用定理，教材安排了例3.

明(I)已知4=；,且NB=90*-ZA,^CMBJ

（2）已知sin35°=0.5736,求cos55°；

（3）已知cos47°6'=0.6807,求sin42°54'.

（1）問比較簡單，對照定理，學生立即可以回答.（2）、（3）比（1）則更深一步，因為（1）

明確指出/B與NA互余，（2）、（3）讓學生自己發(fā)現(xiàn)35°與55°的角，47°6'分42°54'

的角互余，從而根據定理得出答案，因此（2）、（3）問在課堂上一應該請基礎好些的同學講清

思維過程，便于全體學生掌握，在三個問題處理完之后，最好將題目變形：

（2）已知sin35°=0.5736,則cos=0.5736.

（3）cos47°6'=0.6807,則sin=0.6807,以培養(yǎng)學生思維能力.

為了配合例3的教學，教材中配備了練習題2.

《I）己知=且NB=%>求stnBj

（2）已知sin67°18z=0.9225,求cos22°42'；

（3）已知cos4°24'=0.9971,求sin85°36'.

學生獨立完成練習2,就說明定理的教學較成功，學生基本會運用.

教材中3的設置，實際上是對前二節(jié)課內容的綜合運用，既考察學生正、余弦概念的

掌握程度，同時又對本課知識加以鞏固練習，因此例3的安排恰到好處.同時，做例3也為

下一節(jié)查正余弦表做了準備.

（四）小結與擴展

1.請學生做知識小結，使學生對所學內容進行歸納總結，將所學內容變成自己知識的

組成部分.

2.本節(jié)課我們由特殊角的正弦（余弦）和它的余角的余弦（正弦）值間關系，以及正弦、

余弦的概念得出的結論：任意一個銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意一個銳角的余

弦值等于它的余角的正弦值.

四、布置作業(yè)

教材習題14.1A組4、5.

五、板書設計

14.1正弦和余弦（三）

一、余角余函數(shù)關系二、例3

正弦和余弦（四）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

使學生會查''正弦和余弦表”，即山已知銳角求正弦、余弦值.（二）能力滲透點

逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.

（三）德育訓練點

培養(yǎng)學生良好的學習習慣.

二、教學重點、難點

1.重點：“正弦和余弦表”的查法.

2.難點：當角度在0°?90°間變化時，正弦值與余弦值隨角度變化而變化的規(guī)律.

三、教學步驟

（一）明確目標

1.復習提問

1）30°、45。、60°的正弦值和余弦值各是多少?請學生口答.

2）任意銳角的正弦（余弦）與它的余角的余弦（正弦）值之間的關系怎樣？通過復習，使

學生便于理解正弦和余弦表的設計方式.

（二）整體感知

我們己經求出了30°、45°、60°這三個特殊角的正弦值和余弦值，但在生產和科研

中還常用到其他銳角的正弦值和余弦值，為了使用上的方便，我們把0°—90°間每隔1'

的各個角所對應的正弦值和余弦值（一般是含有四位有效數(shù)字的近似值），列成表格——正弦

和余弦表.本節(jié)課我們來研究如何使用正弦和余弦表.

（三）重點、難點的學習與目標完成過程

1.“正弦和余弦表”簡介

學生已經會查平方表、立方表、平方根表、立方根表，對數(shù)學用表的結構與查法有所

了解.但正弦和余弦表與其又有所區(qū)別，因此首先向學生介紹“正弦和余弦表”.

（1）“正弦和余弦表”的作用是：求銳角的正弦、余弦值，已知銳角的正弦、余弦值，

求這個銳角.

2）表中角精確到1',正弦、余弦值有四位有效數(shù)字.

3）凡表中所查得的值，都用等號，而非‘'七”，根據查表所求得的值進行近似計算，

結果四舍五入后，一般用約等號“弋”表示.

2.舉例說明

例4查表求37°24'的正弦值.

學生因為有查表經驗，因此查sin37。24'的值不會是到困難，完全可以自己解決.

例5查表求37°26'的正弦值.

學生在獨自查表時，在正弦表頂端的橫行里找不到26',但26'在24'?30'間而靠

近24',比24'多2',可引導學生注意修正值欄，這樣學生可能直接得答案.教師這時

可設問“為什么將查得的5加在0.6074的最后一個數(shù)位上,而不是0.6074減去0.0005”.通

過引導學生觀察思考，得結論：當角度在0°?90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或

減?。┒龃螅ɑ驕p小）.

解：sin37°24'=0.6074.

角度增2'值增0.0005

sin37°26'=0.6079.

例6查表求sin37°23'的值.

如果例5學生已經理解，那么例6學生完全可以自己解決，通過對比，加強學生的理

解.

解：sin37°24z=0.6074

角度減1'值減0.0002

sin37°23'=0.6072.

在查表中，還應引導學生查得:

sinO0=0,sin90°=1.

根據正弦值隨角度變化規(guī)律：當角度從0°增加到90°時，正弦值從0增加到1；當角

度從90°減少到0°時，正弦值從1減到0.

可引導學生查得：

cosO0=1,cos90°=0.

根據余弦值隨角度變化規(guī)律知：當角度從0°增加到90°時，余弦值從1減小到0,當

角度從90°減小到0°時，余弦值從0增加到1.

（四）總結與擴展

1.請學生總結

本節(jié)課主要討論了“正弦和余弦表”的查法.了解正弦值，余弦值隨角度的變化而變

化的規(guī)律：當角度在0°?90°間變化時，正弦值隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小

而減??；當角度在0°?90°間變化時，余弦值隨著角度的增大而減小，隨著角度的減小而

增大.

2.“正弦和余弦表”的用處除了已知銳角查其正、余弦值外，還可以已知正、余弦值,

求銳角，同學們可以試試看.

四、布置作業(yè)

預習教材中例8、例9、例10,養(yǎng)成良好的學習習慣.

五、板書設計

14.1正弦和余弦（四）

一、正余弦值隨角度變二、例題例5例6

化規(guī)律例4

正弦和余弦（五）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

使學生會根據一個銳角的正弦值和余弦值，查出這個銳角的大小.（二）能力訓練點

逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.

（三）德育滲透點

培養(yǎng)學生良好的學習習慣.

二、教學重點、難點和疑點

1.重點：由銳角的正弦值或余弦值，查出這個銳角的大小.

2.難點：山銳角的正弦值或余弦值，查出這個銳角的大小.

3.疑點：由于余弦是減函數(shù)，查表時“值增角減，值減角增”學生常常HI錯.

三、教學步驟

（一）明確目標

1.銳角的正弦值與余弦值隨角度變化的規(guī)律是什么？

這一規(guī)律也是本課查表的依據，因此課前還得引導學生回憶.

答：當角度在0°?90°間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

當角度在0°?90°間變化時，余弦值隨角度的增大（或減小）而減?。ɑ蛟龃螅?

分7TTrW

2.若cos21°30'=0.9304,且表中同一行的修正值是?修正值?U則

cos21°31'=,

cos21°28'=.

3.不查表，比較大?。?/p>

（l）sin20°sin20°15,；

（2）cos51°cos50°10'；

（3）sin21°______cos680.

學生在回答2題時極易出錯，教師一定要引導學生敘述思考過程，然后得出答案.

3題的設計主要是考察學生對函數(shù)值隨角度的變化規(guī)律的理解，同時培養(yǎng)學生估算.

（二）整體感知

已知一個銳角，我們可用“正弦和余弦表”查出這個角的正弦值或余弦值.反過來，

已知一個銳角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出這個角的大小.因為學生有查

“平方表”、“立方表”等經驗，對這一點必深信無疑.而且通過逆向思維，可能很快會掌

握已知函數(shù)值求角的方法.

（三）重點、難點的學習與目標完成過程.

例8已知sinA=O.2974,求銳角A.

學生通過上節(jié)課已知銳角查其正弦值和余弦值的經驗，完全能獨立查得銳角A,但教師

應請同學講解查的過程：從正弦表中找出0.2974,由這個數(shù)所在行向左查得17°,由同一

數(shù)所在列向上查得18',即0.2974=sinl7°18',以培養(yǎng)學生語言表達能力.

解：查表得sinl7°18'=0.2974,所以

銳角A=17°18,.

例9已知cosA=0.7857,求銳角A.

分析：學生在表中找不到0.7857,這時部分學生可能束手無策，但有上節(jié)課查表的經

驗，少數(shù)思維較活躍的學生可能會想出辦法.這時教師最好讓學生討論，在探討中尋求辦

法.這對解決本題會有好處，使學生印象更深，理解更透徹.

若條件許可，應在討論后請一名學生講解查表過程：在余弦表中查不到0.7857.但能

找到同它最接近的數(shù)0.7859,由這個數(shù)所在行向右查得38°,由同一個數(shù)向下查得12',

即0.7859=cos38°12'.但cosA=0.7857,比0.7859小0.0002,這說明NA比38°12'

要大，由0.7859所在行向右查得修正值0.0002對應的角度是1',所以/A=38°12'+1

'=38°13'.

解：查表得cos38°12'=0.7859,所以：

0.7859=cos38°12'.

值減0.0002角度增1,

0.7857=cos38°13',

即銳角A=38°13'.

例10已知cosB=0.4511,求銳角B.

例10與例9相比較，只是出現(xiàn)余差（本例中的0.0002）與修正值不一致.教師只要講清

如何使用修正值（用最接近的值），以使誤差最小即可，其余部分學生在例9的基礎匕可以

獨立完成.

解：0.4509=cos63°12'

值增0.0003角度減1'

0.4512=cos63°11'

二銳角B=63°11'

為了對例題加以鞏固，教師在此應設計練習題，教材P.15中2、3.

2.已知下列正弦值或余弦值，求銳角A或B：

(l)sinA=0.7083,sinB=0.9371,

sinA=0.3526,sinB=0.5688；

(2)cosA=0.8290,cosB=0.7611,

cosA=0.2996,cosB=0.9931.

此題是配合例題而設置的，要求學生能快速準確得到答案.

(1)45°6',69°34',20°39',34°40'；

(2)34°0',40°26',72°34',6°44'.

3.查表求sin57°與cos33°,所得的值有什么關系？

此題是讓學生通過查表進一步印證關系式sinA=cos(90°-A),cosA=0.8387,sin57

°=cos33°,或sin57°=cos(90°-57°),cos33°=sin(90°-33°).

(四)、總結、擴展

本節(jié)課我們重點學習了已知一個銳角的正弦值或余弦值，可用“正弦和余弦表”查出

這個銳角的大小，這也是本課難點，同學們要會依據正弦值和余弦值隨角度變化規(guī)律(角度

變化范圍0°?90°)查“正弦和余弦表”.

四、布置作業(yè)

教材復習題I例A組3、4,要求學生只查正、余弦。

五、板書設計

14.1正弦和余弦（五）

例8例9例10

——

—

正弦和余弦（六）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

歸納綜合第一大節(jié)的內容，使之系統(tǒng)化、網絡化，并使學生綜合運用這些知識，解決

簡單問題.

（二）能力訓練點

培養(yǎng)學生分析、比較、綜合、概括邏輯思維能力；培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能

力；使學生逐步形成用數(shù)學的意識.

（三）德育滲透點

滲透數(shù)學知識來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點；培養(yǎng)學生的學習興趣及良好的

學習習慣.

二、教學重點、難點和疑點

1.重點：歸納總結前面的知識，并運用它們解決有關問題.

2.難點：歸納總結前面的知識，并運用它們解決有關問題.

3.疑點：學生在用“正弦和余弦表”時，往往在修正值的加減上混淆不清.

三、教學步驟

（一）明確目標

A

圖6-5

1.結合圖6-5,請學生回憶，什么是NA的正弦，余弦？教師板

書6nA=2,co?A=—.

cc

2.互余兩角的正弦、余弦值之間具有什么關系？

答：sinA=cos（900-A）,cosA=sin（90°-A）.

教師板書.

3.特殊角0°、30。、45°、60°、90°的正弦值余弦值各是多少？

答.atiO*=0.?n30*=；.sn45*an60*=~^~*

訕91r=h

coO*=1,cos30*=4，co*45*=cMO*=：,

222

cw90*=0.

4.在0°?90°之間，銳角的正弦值、余弦值怎樣隨角度的變化而變化？

答：在0°?90°之間，銳角的正弦值隨角度的增加（或減?。┒黾樱ɑ驕p?。?；銳角的

余弦值隨角度的增加（或減小）而減?。ɑ蛟黾樱?

本節(jié)課我們將運用以上知識解決有關問題.

（二）重點、難點的學習與目標完成過程

1.本章引言中提到這樣?個問題：修建某揚水站時，要沿著斜坡鋪設水管.假設水管

AB長為105.2米，/A=30°6',求坡高BC（保留四位有效數(shù)字）,現(xiàn)在，這個問題我們能

否解決呢？

這里出示引言中的問題，不僅調動學生的積極性，激發(fā)學習動機，同時體現(xiàn)了教學的

完整性，首尾照應.

C

圖6-6

對學生來說，此題比較容易解答.教師可以清成績較好的學生口答，

教師板書.在RtAABC中，￡必=某，

AB

.\BC=AB-sinA

=105.2?sin3006'

=105.2X0.5015

-52.76（米）.

這一例題不僅起到鞏固銳角三角函數(shù)

概念的作用，同時為下一節(jié)“解直角三角形”做了鋪墊.同時向學生滲透了數(shù)學知識

來源

于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀點，培養(yǎng)學生用數(shù)學的意識.

2.為了過渡到第二大節(jié)“解直角三角形”，教材還安排了例1,它既是對概念的鞏固、

應用，又為解直角三角形作了鋪墊.出示投影片

例11如圖6-7,在Rt^ABC中，已知AC=35,AB=45,求NA（精確到1°）.

分析：本題已知直角三角形的斜邊長，直角邊長，所以根據直角三角形中銳角的余弦

定義，先求出cosA,進而查表求得/A.

教師可請一名中等學生板書，其他學生在本上完成.

空AC35

%=—=—^O.TTTS,

查表得/A~39°,

3.教材為例題配置了兩個練習題，因此在完成例題后，請學生做鞏固練習

在AABC中，NA、NB、NC所對的邊分別為a、b、c.

(1)已知a=32,/B=50°,求c(保留兩位有效數(shù)字).

⑵已知c=20,b=14,求NA(精確到1°).

學生在做這兩個小題時，可能有幾種不同解法，如(1),應選擇c=

其姐便，(2)鹿8認=色聚簡便.通過t的使學生學會選ft恰

cosBc

當?shù)娜呛瘮?shù)關系式解題，培養(yǎng)學生的計算能力.

4.本課安排在第一大節(jié)最后一課，因此本課還有對整個第一大節(jié)進行歸納、總結的任

務.由于在課前復習中已經將幾個知識點--■復習，因此這里主要配備小題對概念加以鞏固

和應用.

(1)判斷題：

i對于任意銳角a,都有0<sinaVI和0<cosa<1

()

ii對于任意銳角ai,a2,如果a〈a2,那么cosaVcosa2()

iii如果sinaVsina2,那么銳角a1〈銳角a21()

iv如果cosa〈cosa2,那么銳角a>銳角a

2()

這道題是為鞏固正弦、余弦的概念而配備的，可引導學生用圖形來判斷，也可用“正

弦和余弦表”來判斷.對于假命題，應請學生舉出反例.

(2)回答下列問題

isin200+sin40°是否等于sin60°；

iicoslO°+cos20°是否等于cos30°.

可引導學生查表得答案.這兩個小題對學生來說極易出錯，因為學生對函數(shù)sinA、cosA

理解得并不深，而且由于數(shù)與式的四則運算造成的負遷移，使學生易混淆.

(3)在Rt^ABC中，下列式子中不一定成立的是

A.sinA=sinB

B.cosA=sinB

C.sinA=cosB

D.sin（A+B）=sinC

這一小題是為復習任意銳角的正弦值與余弦值的關系而設計的.通過比較幾個等式，

加深學生對余角余函數(shù)概念理解.

教師可請學生口答答案并說明原因.

）女咪/裊為稅角，且,那么

?81A=g[1

A.0°<ZA<30°

B.30°VNAW45°

C.45VNAW60。

D.60°<ZA<90°

對于初學三角函數(shù)的學生來說，解答此題是個難點，教師應給學生充足時間討論，這

對培養(yǎng)學生分析問題、解決問題能力很有好處，如果學生沒有思路，教師可適當點撥；要想

探索NA在哪個范圍，首先觀察

其余弦值cWLETS圍內？答，進一步引導學生得出

2ZA

范圍，答案選D.

（三）總結與擴展

請學生總結：我們研究了正弦、余弦的概念及余角余函數(shù)關系，會用“正弦和余弦表”

查任一銳角的正弦、余弦值，并會用這些知識解決有關問題.

四、布置作業(yè)

1.看教材培養(yǎng)學生看書習慣.

2.教材習題14.1A組.

對學有余力的學生可選作B組第1題.

五、板書設計

14.1正弦和余弦（六）

一、正余弦概念及有關二、例解例11

知識引例------------

正切和余切（一）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

使學生了解正切、余切的概念，能夠正確地用tanA、cotA表示直角三角形（其中一個銳角為

NA）中兩邊的比，了解tanA與cotA成倒數(shù)關系，熟記30°、45°>60°角的各個三角函

數(shù)值，會計算含有這三個特殊銳角的三角函數(shù)值的式子，會山一個特殊銳角的三角函數(shù)值說

出這個角的度數(shù)，了解一個銳角的正切（余切）值與它的余角的余切（正切）值之間的關系.

（二）能力訓練點

逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、綜合、概括等邏輯思維能力.

（三）德育滲透點

培養(yǎng)學生獨立思考、勇于創(chuàng)新的精神.

二、教學重點、難點

1.重點：了解正切、余切的概念，熟記特殊角的正切值和余切值.

2.難點：了解正切和余切的概念.

三、教學步驟

（一）明確目標

1.什么是銳角/A的正弦、余弦？（結合圖6-8回答）.

E

圖6-8

2.填表

法度a

0°30°45°0°90°

函數(shù)

sina

cosa

3.互為余角的正弦值、余弦值有何關系？

4.當角度在0°?90°變化時，銳角的正弦值、余弦值有何變化規(guī)律？

5.我們已經掌握一個銳角的正弦（余弦）是指直角三角形中該銳角的對邊（鄰邊）與斜邊的比

值.那么直角三角形中，兩直角邊的比值與銳角的關系如何呢？在銳角三角函數(shù)中，除正、

余弦外，還有其它一些三角函數(shù)，本節(jié)課我們學習正切和余切.

（二）整體感知.

正切、余切的概念，也是本章的重點和關鍵，是全章知識的基礎，對學生今后的學習或工作

都十分重要.教材在繼第節(jié)正弦和余弦后，又以同樣的順序安排第二節(jié)正切余切.像這樣,

把概念、計算和應用分成兩塊，每塊自成一個整體小循環(huán)，第二循環(huán)又包含了第一循環(huán)的內

容，可以有效地克服難點，同時也使學生通過對比，便于掌握銳角三角函數(shù)的有關知識.

（三）重點、難點的學習與目標完成

1.引入正切、余切概念

①①本節(jié)課我們研究兩直角邊的比值與銳角的關系，因此同學們首先應思考：當銳角固定時,

兩直角邊的比值是否也固定？

因為學生在研究過正弦、余弦概念之后，已經接觸過這類問題，所以大部分學生能口述證明,

并進?步猜測”兩直角邊的比值一定是正切和余切

圖6-10

②給出正切、余切概念如圖6-10,在RtAABC中，把NA的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，

記作tanA.

乙4的對邊

即tanA=的鄰邊

并把NA的鄰邊與對邊的比叫做/A的余切，記作cotA,

乙4的鄰邊

即cotA=乙4的對邊

2.tanA與cotA的關系

,1

tanA=-------

請學生觀察tanA與cotA的表達式，得結論cotA(或

cotA---------,tanA?cotA=1

tanA)

這個關系式既重要又易于掌握，必須讓學生深刻理解，并與tanA=cot(90°-A)區(qū)別開.

3.銳角三角函數(shù)

.“a*bah

sinA=—,cosA=—,tanAt=—,cotAA=一,

由上圖，ccba把銳角A的正

弦、余弦、正切、余切都叫做/A的銳角三角函數(shù).

銳角三角函數(shù)概念的給出，使學生茅塞頓開，初步理解本節(jié)題目.

問：銳角三角函數(shù)能否為負數(shù)？

學生回答這個問題很容易.

4.特殊角的三角函數(shù).

①教師出示幻燈片

三角函數(shù)/0°/30°/45°/60°/90°

三角函數(shù)30°45°60°90°

0°

sinA0J_1

72V3

2

V2

cosA1j_0

V3

也2

TV

tanA

cotA

請同學推算30°、45°、60°角的正切、余切值.(如圖

A

(1)

烏

-

tan30=tanA3

_L

v6ic1

-

tan45°=tanAAC1

AC

=C-

tan60°=tanB8-

C

AC

-一-

cot30°=cotA8A

B

AB1

cot450=cotA=Bc1-

Be

cot60°=cotB-花-_L-V3I

V3

通過學生計算完成表格的過程，不僅復習鞏固了正切、余切概念，而且使

學生熟記特殊角的正切值與余切值，同時滲透了數(shù)形結合的數(shù)學思想.

0°,90°正切值與余切值可引導學生查“正切和余切表”，學生完全能獨立

查出.

5.根據互為余角的正弦值與余弦值的關系，結合圖形，引導學生發(fā)現(xiàn)互

為余角的正切值與余切值的關系.

結論:任意銳角的正切值等于它的余角的余切值，任意銳角的余切值等于它的余角的正切值.

即tanA=cot(90°-A),cotA=tan(90°-A).

練習：1)請學生回答tan45°與cot45°的值各是多少？tan60°與cot30°?tan30°與

cot60°呢？學生口答之后，還可以為程度較高的學生設置問題：tan60°與cot60°有何關

系？為什么？tan300與cot30°呢？

2）把下列正切或余切改寫成余角的余切或正切：

(l)tan52°；(2)tan36°20z；(3)tan75°17'；

(4)cotl9°；(5)cot24°48'；(6)cotl5°23'.

6.例題

例1求下列各式的值：

(l)2sin300+3tan300+cot45°；

(2)cos245°+tan60°?cos30°.

解：(l)2sin30°+3tan30°+cot45°

173

=2X-+3X—+1

23

=2+VSs

(2)cos245°+tan60°,cos30°

=亭+⑶等

13

——+一

22

=2.

練習：求下列各式的值：

(l)sin300-3tan30°+2cos300+cot90°；

(2)2cos30°+tan60°-6cot60°；

(3)5cot30°-2cos60°+2sin60°+tan0°；

⑷cos245°+sin245°;

sin600—cot450

⑸tan600-2tan45°

學生的計算能力可能不很強，尤其是分式，二次根式的運算，因此這里應查缺補漏，以培養(yǎng)

學生運算能力.

(四)總結擴展

請學生小結：本節(jié)課了解了正切、余切的概念及tanA與cotA關系.知道特殊角的正切余切

值及互為余角的正切值與余切值的關系.本課用到了數(shù)形結合的數(shù)學思想.

tanA=-----即tanA=cotA(90°-A),可擴展為tanA=------------

結合cotAtan(90°-A)

四、布置作業(yè)

1.看教材，培養(yǎng)學生看書習慣.

2.教材P.102中習題14.2A組2、3、5、6.

五、板書設計

14.2正切和余切（一）

一、概念三、銳角三角函數(shù)五、互為余角的正切

與余

切值關系

二、tanA與cotA關系四、特殊角的正切與余六、例題

—切值（幻燈片）

—

正切和余切（二）

一、素質教育目標

（一）知識教學點

使學生學會查“正切和余切表”.

（二）能力訓練點

逐步培養(yǎng)學生觀察、比較、分析、概括等邏輯思維能力.

（三）德育滲透點

培養(yǎng)學生良好的學習習慣.

二、教學重點、難點和疑點

1.重點：使學生會查“正切和余切表”.

2.難點：使學生會查“正切和余切表

3.疑點：在使用余切表中的修正值時，如果角度增加，相應的余切值要減少一些；如果角

度減小，相應的余切值要增加一些.這里取加還是取減，學生極易出錯.

三、教學步驟

B

A上----------------------Dc