高考數(shù)學(xué)得分技巧整理

高考數(shù)學(xué)得分技巧整理（完整版）

目錄

高考數(shù)學(xué)得分技巧整理（完整版）......................................1

第1講選擇題的解題方法與技巧..................................3

一、題型特點概述...........................................3

二、解題方法例析...........................................3

三、知能提升演練..........................................15

第2講填空題的解題方法與技巧.................................21

一、題型特點概述..........................................21

二、解題方法例析..........................................22

三、知能提升演練..........................................32

第3講解答題答題模板.........................................38

模板1三角函數(shù)的單調(diào)性及求值問題........................38

模板2解析幾何中的探索性問題.............................39

模板3由數(shù)列的前〃項和與與通項％的關(guān)系求通項當(dāng).........41

模板4函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題......................42

第4講考前急訓(xùn)：答題規(guī)范.....................................45

一、概念'符號應(yīng)用要規(guī)范..................................45

二'結(jié)論表示要規(guī)范........................................46

三、書寫格式要規(guī)范........................................48

四'幾何作圖要規(guī)范........................................49

五、解題步驟要規(guī)范51

第1講選擇題的解題方法與技巧

一、題型特點概述

選擇題是高考數(shù)學(xué)試卷的三大題型之一.選擇題的分數(shù)一般占全卷的

40%左右，高考數(shù)學(xué)選擇題的基本特點是：

（1）絕大部分數(shù)學(xué)選擇題屬于低中檔題，且一般按由易到難的順序排列，

主要的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法能通過它得到充分的體現(xiàn)和應(yīng)用，并且因為它還有相

對難度（如思維層次、解題方法的優(yōu)劣選擇，解題速度的快慢等），所以選擇題已

成為具有較好區(qū)分度的基本題型之一.

（2）選擇題具有概括性強、知識覆蓋面廣、小巧靈活及有一定的綜合性和

深度等特點，且每一題幾乎都有兩種或兩種

以上的解法，能有效地檢測學(xué)生的思維層次及觀察、分析、判斷和推理能力.

目前高考數(shù)學(xué)選擇題采用的是一元選擇題（即有且只有一個正確答案），

由選擇題的結(jié)構(gòu)特點，決定了解選擇題除常規(guī)方法外還有一些特殊的方法.解選

擇題的基本原則是：“小題不能大做”，要充分利用題目中（包括題干和選項）提

供的各種信息，排除干擾，利用矛盾，作出正確的判斷.

數(shù)學(xué)選擇題的求解，一般有兩條思路：一是從題干出發(fā)考慮，探求結(jié)果；

二是從題干和選擇支聯(lián)合考慮或從選擇支出發(fā)探求是否滿足題干條件.

解答數(shù)學(xué)選擇題的主要方法包括直接對照法、概念辨析法、圖象分析法、

特例檢驗法、排除法、逆向思維法等，這些方法既是數(shù)學(xué)思維的具體體現(xiàn)，也是

解題的有效手段.

二、解題方法例析

題型一直接對照法

直接對照型選擇題是直接從題設(shè)條件出發(fā)，利用已知條件、相關(guān)概念、性質(zhì)、

公式、公理、定理、法則等基礎(chǔ)知識，通過嚴謹推理、準確運算、合理驗證，從

而直接得出正確結(jié)論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，從而確定正確

的選擇支?這類選擇題往往是由計算題、應(yīng)用題或證明題改編而來，其基本求解

策略是由因?qū)Ч?，直接求?

例1設(shè)定義在R上的函數(shù)式x)滿足7U)7(x+2)=13,若＜1)=

2,則加9)等于

()

132

A.13B.2C.gD.E

思維啟迪先求AM的周期.

131313

解析,.7口+2)=而，.?JU+4)=人｛+2)=五=兀?).

於)

_1313

...函數(shù)兀X)為周期函數(shù),且T=4././(99)=A4X24+3)=f(3)=^jy=y.

探究提高直接法是解選擇題的最基本方法，運用直接法時，要注意充分挖掘題

設(shè)條件的特點，利用有關(guān)性質(zhì)和已有的結(jié)論，迅速得到所需結(jié)論.如本題通過分

析條件得到4M是周期為4的函數(shù)，利用周期性是快速解答此題的關(guān)鍵.

變式訓(xùn)練1函數(shù)段)對于任意實數(shù)x滿足條件於+2)=*,

若川)=-5,則用⑸)的值為)

11

A.5B.-5C-D.

55

解析由/'(X+2)="Y，得/'(x+4)=」一=f(x)，所以f(x)是以4為周

f(x)f(x+2)

期的函數(shù)，所以f(5)=AD=-5,從而AA5))=A-5)=A-1)=--------

A-1+2)

__L__J_

=7(17=-5-

22

例2設(shè)雙曲線￡-方=1的一條漸近線與拋物線)，=f+l只有

一個公共點，則雙曲線的離心率為()

A.^B.5C.2

D.A/5

思維啟迪

b

求雙曲線的一條漸近線的斜率即一的值，盡而求離心率.

解析設(shè)雙曲線的漸近線方程為尸"，這條直線與拋物線尸*+1相切，聯(lián)

y=kxb

立，整理得*—Ax+1=0,則/=必一4=0,解得4=±2,即一=2,

y=*+1a

探究提高關(guān)于直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，通常是聯(lián)立方程解方程組.本

題即是利用漸近線與拋物線相切，求出漸近線斜率.

22

變式訓(xùn)練2已知雙曲線C：，-%=l(a>0,3>0),以C的右

焦點為圓心且與C的漸近線相切的圓的半徑是()

A.aB.bC.-\j~ab

D.、l乎+按

*yb

解析工一￡=1的其中一條漸近線方程為：尸—一x,即bx+ay=0,而焦點

乎Ba

IZJXA/^+ZJ2!

坐標為(GO),根據(jù)點到直線的距離d=-產(chǎn)__=匕.故選B.

題型二概念辨析法

概念辨析是從題設(shè)條件出發(fā)，通過對數(shù)學(xué)概念的辨析，進行少量運算或推理,

直接選擇出正確結(jié)論的方法.這類題目常涉及一些似是而非、很容易混淆的概念

或性質(zhì)，這需要考生在平時注意辨析有關(guān)概念，準確區(qū)分相應(yīng)概念的內(nèi)涵與外延,

同時在審題時要多加小心，準確審題以保證正確選擇.一般說來，這類題目運算

量小，側(cè)重判斷，下筆容易，但稍不留意則易誤入命題者設(shè)置的“陷阱”.

例3已知非零向量”=(汨，yi),b=(x2,小)，給出下列條

件，①a=kb(keR)；②修也+弘刃=0；③(a+3與//(2a-

b)；@a-b=\a\\b\；⑤/^+冽飛2卬必處

其中能夠使得的個數(shù)是(

)

A.1B.2C.3D.4

解析顯然①是正確的，這是共線向量的基本定理；②是錯誤的，這是兩個向量

垂直的條件；③是正確的，因為由(a+36)〃(2a—功，可得(a+3a)=/(2a—b),

1/I+31

當(dāng)月草寸，整理得a=——b,故a//b,當(dāng)人三寸也可得到a//b-,④是正確

22A—\2

的，若設(shè)兩個向量的夾角為9,則由a-b=\a/lt\cQS0,可知cos1,從而0

=0,所以⑤是正確的，由"修+戒至力以，可得(xi%—至yi)2W0,

從而xi/一地/1=0,于是a〃b

探究提高平行向量(共線向量)是一個非常重要和有用的概念，應(yīng)熟練掌握共線

向量的定義以及判斷方法，同時要將共線向量與向量中的其他知識(例如向量的

數(shù)量積、向量的模以及夾角等)有機地聯(lián)系起來，能夠從不同的角度來理解共線

向量.

變式訓(xùn)練3關(guān)于平面向量a,b,c,有下列三個命題：

①若a-b=a-c,貝(JZ?=c.

②若6(—(1,k),b—(-2,6),a〃b,則A=-3.

③非零向量a和人滿足|a|=\b\=\a-b\,貝Ua與a+。的夾角為

60°.

則假命題為

()

A.①②B.①③C.②③D.①②③

B

解析①a-b=a,cQaQ-c)=0,a與方一c可以垂直，而不一定有〃=c,故①為

假命題.

②.,.1X6=-2Z..?.攵=一3.故②為真命題.

③由平行四邊形法則知圍成一菱形且一角為60。，a+b為其對角線上的向量，a

與a+小夾角為30。，故③為假命題.

題型三數(shù)形結(jié)合法

“數(shù)”與“形”是數(shù)學(xué)這座高樓大廈的兩塊最重要的基

石，二者在內(nèi)容上互相聯(lián)系、在方法上互相滲透、在一定

條件下可以互相轉(zhuǎn)化，而數(shù)形結(jié)合法正是在這一學(xué)科特點

的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的.在解答選擇題的過程中，可以先根

據(jù)題意，做出草圖，然后參照圖形的做法、形狀、位置、

性質(zhì)，綜合圖象的特征，得出結(jié)論.

例4（2009?海南）用min{a,Z?,c}表示a,b,c三個數(shù)中的最

小值.設(shè)段）=min{2*,x+2,107}（九20）,則於）的最大

值為

（）

A.4B.5C.6D.7

C

思維啟迪

畫出函數(shù)4M的圖象，觀察最高點，求出縱坐標即可.本題運用圖象來求值，

直觀、易懂.

解析由題意知函數(shù)是三個函數(shù)％=2，，及=x+2,總=10—x中的較小者，

作出三個函數(shù)在同一個坐標系之下的圖象（如圖中實線部分為的圖象）可知

44,6）為函數(shù)AM圖象的最高點.

8={（X,y）l.y=3'},則ACB的子集的個數(shù)是（）

A.4B.3C.2D.1

A

解析集合力中的元素是橢圓9+《=1上的點，集合&中的元素是函數(shù)尸3,

41b

的圖象上的點.由數(shù)形結(jié)合，可知/ns中有2個元素，因此/ng的子集的個

數(shù)為4.

例5函數(shù)於）=1-|2x-1|,則方程段）2=1的實根的個數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

C

思維啟迪

rn

若直接求解方程顯然不可能，考慮到方程可轉(zhuǎn)化為4M=]X，而函數(shù)尸AM

價

和尸5X的圖象又都可以畫出，故可以利用數(shù)形結(jié)合的方法，通過兩個函數(shù)圖

象交點的個數(shù)確定相應(yīng)方程的根的個數(shù)

rn

解析方程?。?=1可化為AM=&在同一坐標系下分別回出函數(shù)尸AM

和y=金'的圖象，如圖所示.可以發(fā)現(xiàn)其圖象有兩個交點,因此方程《力=金*

\/\/

探究提高一般地，研究一些非常規(guī)方程的根的個數(shù)以及根的范圍問題，要多考

慮利用數(shù)形結(jié)合法方程AM=o的根就是函數(shù)尸AM圖象與x軸的交點橫坐標,

方程回=如）的根就是函數(shù)尸例和尸圖象的交點橫坐標利用數(shù)形結(jié)合

法解決方程根的問題的前提是涉及的函數(shù)的圖象是我們熟知的或容易畫出的，如

果一開始給出的方程中涉及的函數(shù)的圖象不容易畫出，可以先對方程進行適當(dāng)?shù)?/p>

變形，使得等號兩邊的函數(shù)的圖象容易畫出時再進行求解.

變式訓(xùn)練5函數(shù)），=|log』x|的定義域為[a,b],值域為。2],

2

則區(qū)間[a,切的長度。-a的最小值是（）

3

A.2B-C.3

2

3

D

1

解析作出函數(shù)尸|iog-M的圖象，如圖所示，由y=o解得戶1；由尸2,解

得或L].所以區(qū)間⑷切的長度的最小值為

A41-r-.

----L_2^-----------1-------?

Ol14x

4

題型四特例檢驗法

特例檢驗（也稱特例法或特殊值法）是用特殊值（或特殊圖形、特殊位置）代替

題設(shè)普遍條件，得出特殊結(jié)論，再對各個選項進行檢驗，從而做出正確的選擇.常

用的特例有特殊數(shù)值、特殊數(shù)列、特殊函數(shù)、特殊圖形、特殊角、特殊位置等.特

例檢驗是解答選擇題的最佳方法之一，適用于解答“對某一集合的所有元素、某

種關(guān)系恒成立”，這樣以全稱判斷形式出現(xiàn)的題目，其原理是“結(jié)論若在某種特

殊情況下不真，則它在一般情況下也不真”，利用“小題小做”或“小題巧做”

的解題策略.

例6已知A、8、C、。是拋物線丁=口上的點，尸是拋物線

的焦點，且必+FB+FC+FD=O,+\FB\+\FC\+

|心|的值為

D.16

解析取特殊位置，AB,CD為拋物線的通徑,

顯然必+FB+FC+FD=O,

則|E4|+|F+|%|+|股=4夕=16,故選D.

探究提高本題直接求解較難，利用特殊位置法，則簡便易行.利用特殊檢驗法

的關(guān)鍵是所選特例要符合條件.

變式訓(xùn)練6已知P、。是橢圓3/+5：/=1上滿足/尸。。=90。的兩個動點，則

1+1等干

'OP1詼7奪丁)

834

A.34B.8C.一D.-----

15225

B

11

解析取兩特殊點。）、Q。,）即兩個端點，則'^+工豆=3+5=

5

8.故選B.

例7數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列的充要條件是（）

A.a"+]=a”q（q為常數(shù)）B.足+1=a”-a”+2W0

C.a“=a"-'（q為常數(shù)）D.a?+、=a”,a〃+2

B

解析考查特殊數(shù)列0,0,…，0,

不是等比數(shù)列，但此數(shù)列顯然適合A,C,D項.

故選B.

探究提高判斷一個數(shù)列是否為等比數(shù)列的基本方法是定義法，也就是看'一?是

否為常數(shù)，但應(yīng)注意檢驗一個數(shù)列為等比數(shù)列的必要條件是否成立.

變式訓(xùn)練7已知等差數(shù)列｛知｝的前〃項和為S“，若管

）

A.2B.3C.4D.8

解析方法一（特殊值檢驗法）

取〃=1，得詈=*...m產(chǎn)=亨=4,

Cl\1Cl\1

于是，當(dāng)e時，蔡=衿a*=4.

o,idia\

方法二（特殊式檢驗法）

儆_4，LI_2_2〃-1

取ct=2〃-1'1

a”2/1—12-n—1n

1+(4/7-1)

----------2/7

32n2

S〃-1+(2/7-1)

-n

2

方法三（直接求解法）

,a2n471—1a2,—an2n

田斯―2〃_1'付an~2n-i

Bnnd2n.”(2〃-1)

即Z=2〃—］，-2-'

S2?2n2⑶+如

于是，

SfJ“I+斯Cl\~\~Cln

dd

-+-(4/7-1)

=2'T~d=4.

-+-(2/7-1)

C

題型五篩選法

數(shù)學(xué)選擇題的解題本質(zhì)就是去偽存真，舍棄不符合題目要求的選項，找到符

合題意的正確結(jié)論.篩選法（又叫排除法）就是通過觀察分析或推理運算各項提

供的信息或通過特例，對于錯誤的選項，逐一剔除，從而獲得正確的結(jié)論.

例8方程辦2+2%+1=0至少有一個負根的充要條件是（）

A.0<〃WlB.a<\

C.D.或*0

解析當(dāng)。=0時，x=一/故排除A、D.

當(dāng)a=1時，x=-1,排除B.

故選C.

探究提高選擇具有代表性的值對選項進行排除是解決本題的關(guān)鍵.對“至少有

一個負根”的充要條件取值進行驗證要比直接運算方便、易行.不但縮短時間，

同時提局）解題效率.

變式訓(xùn)練8已知函數(shù)=加/+（加.3）x+1的圖象與x軸的交點至少有一個在

原點右側(cè)，則實數(shù)加的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,1]

C.（-8,1）D.（-8,1]

解析令m=o,由於）=0得工=翹合，排除A、B.

令6=1,由外）=0得：%=1適合，排除C.

題型六估算法

由于選擇題提供了唯一正確的選擇支，解答又無需過

程.因此，有些題目，不必進行準確的計算，只需對其數(shù)值

特點和取值界限作出適當(dāng)?shù)墓烙?，便能作出正確的判斷，

這就是估算法.估算法往往可以減少運算量，但是加強了

思維的層次.

卜W0

例9若A為不等式組＜y^0表示的平面區(qū)域，則當(dāng)。從-2連續(xù)變化到1

J-啟2

時，動直線x+y=a掃過A中的那部分區(qū)域的面積為

（）

37

A'B.1C'D.2

解析如圖知區(qū)域的面積是△048去掉一個小直角三角形.陰影部分面積比1

1

大，比SAO^=-X2X2=2小，故選C項.

探究提高“估算法”的關(guān)鍵是應(yīng)該確定結(jié)果所在的大致范圍，否則“估算”就

沒有意義.本題的關(guān)鍵在所求值應(yīng)該比△力。8的面積小且大于其面積的一半.

變式訓(xùn)練9已知過球面上A、3、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，

且A8=8。=04=2,則球面面積是（）

16864

A.5nB.~nC.4nD.gn

0

2A/3

解析：球的半徑N不小于△/IBS的外接圓半徑七寸，則S球=4TT詔'4TT/2

16

=—7T>5TT,故選D.

O

規(guī)律方法總結(jié)

1.解選擇題的基本方法有直接法、排除法、特例法、驗證法和數(shù)形結(jié)合法.但

大部分選擇題的解法是直接法，在解選擇題時要根據(jù)題干和選擇支兩方面的特點

靈活運用上述一種或幾種方法''巧解"，在“小題小做”、“小題巧做”上做文

章，切忌盲目地采用直接法.

2.由于選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強，稍不留心就會誤

入“陷阱”，應(yīng)該從正反兩個方向肯定、否定、篩選、驗證，既謹慎選擇，又大

膽跳躍.

3作為平時訓(xùn)練解完一道題后還應(yīng)考慮一下能不能用其他方法進行“巧算”，

并注意及時總結(jié)，這樣才能有效地提高解選擇題的能力.

三、知能提升演練

1.已知集合4={1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12),貝IJAA([N3)等于

A.{1,5,7}B.{3,5,7}

C.{1,3.9}D.{1,2,3}

解析由于3W[N3,所以3弘0([出，排除B、C、D,故選A.

2.已知向量a,b不共線，c=ka+b(kGR)=如果c〃d,那么

()

A.k=l且c與d同向8.k=1且c與1反向

c.攵=-1且c與a同向D.4=-1且c與a反向

解析當(dāng)片=1時，c=a+6,不存在實數(shù)人使得a=m.所以C與d不共線，

與c〃d矛盾排除A、B；當(dāng)仁一1時，c=—a+6=—(a—/?)=—d,所以c//d,

且c與d反向.故應(yīng)選D.

3.已知函數(shù)^=12!!5在內(nèi)是減函數(shù)，則()

A.0<①B.-lW(w<0

C.D.慶-1

B

解析可用排除法，???當(dāng)時正切函數(shù)在其定義域內(nèi)各長度為一個周期的連

續(xù)區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，排除A、C,又當(dāng)|0>1時正切函數(shù)的最小正周期長度小

(、

TTTT

于TT,???尸tanGX在一-內(nèi)不連續(xù)，在這個區(qū)間內(nèi)不是減函數(shù)，這樣排除

D,故選B.

4.已知函數(shù)於)=2mx2-2(4-m)x+1,g(x)=mx,若對于任一實數(shù)x，火x)與g(x)

的值至少有一個為正數(shù)，則實數(shù)〃?的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(-~,0)

解析當(dāng)機=1時，凡r)=2x2—6x+l,g(x)=x,由/(x)與g(x)的圖象知，"2=1滿

足題設(shè)條件，故排除C、D.當(dāng)m=2時，X^)=4X2-4X+1,

g(x)=2x,由其圖象知，ZZF2滿足題設(shè)條件，故排除A.因此，選項B正確.

5.已知向量。夕=(2,0),向量。。=(2,2),向量力=

(^2cosa,^2sina),則向量04與向量。。的夾角的

取值范圍是

兀

A.[0,4]

TT5TT

D?[也石]

解析..?[d|=WN，，/的軌跡是。C,半徑為.

_TT-*fTTITTTTT

由圖可知NCO8=不設(shè)向量04與向量。比勺夾角為8,則:一柒二十二，故

44646

選D.

C

答案D

6.設(shè)函數(shù)>=段)在(-8,+8)內(nèi)有定義，對于給定的正數(shù)

於)，於)WK,

K,定義函數(shù)加x)=取函數(shù)/W=2-w,

K，Ar)>K.

當(dāng)K=5寸，函數(shù)次㈤的單調(diào)遞增區(qū)間為()

A.(-8,0)B.(0,+°°)

C.(-8,-1)D.(1,+8)

11

解析函數(shù)何=2/=(金州，作圖/(MWK=3=xW(-8,一i]u[1,+8),故在

(―8,—1)上是單調(diào)遞增的，選C項.

7.設(shè)x,yWR,用2y是1+x和1-x的等比中項，則動點(x,y)的軌跡為除去

龍軸上點的()

A,一條直線B.一個圓

C.雙曲線的一支D.一個橢圓

解析(2切2=(1-A)(1+M(斤0)得*+4必=1(斤0).

8.設(shè)A、8是非空數(shù)集，定義A*B={x|九GAUB且xGACB},已知集合4={乂)>

=2x-x2),B={y|y=2、，x〉0},則A*B等于

()

A.[0,l]U(2,+0°)B/0,l)U(2,+8)

C.(-oo,1]D.[0,2]

解析A=R,B=(1,+8),故/*8=(_8,1],故選c.

9(2010.福建)若點。和點F(-2,0)分別為雙曲線/-丁=1(6〉0)的中心和左焦點，

->->

點P為雙曲線右支上的任意一點，則。PEP的取值范圍為()

A.[3-2小，+8)B.[3+25，+8)

77

C.,+°°)D.,+oo)

B

?2

???雙曲線方程為方一丁=1.設(shè)P(x,y)(xN小)，

-?―>

OP,FP=(x,y)?(％+2,y)

f4

—x2+2x+y2=x2+2x+^—1=gf+2x—1(12^/5).

令g(x)=+2x-1廁g(x)在，+8)上單調(diào)遞增.g(x)m=g(F

0111

=3+2小.：.茄?菊取值范圍為［3+2*，+8).

10.已知等差數(shù)列｛斯｝滿足m+“2+…+?！?1=0,則有()

A.0+Oioi>0B.。2+4102<0

C.e+為9=0D.關(guān)1=51

解析取滿足題意的特殊數(shù)列％=0,則為+為9=0,故選C.

11.在等差數(shù)列｛知｝中，若。2+。4+。6+。8+。10=80,貝|Ja-1-的值為

A.4B.6C.8D.10

解析令等差數(shù)列仿“｝為常數(shù)列a,,=16.顯然a.；氏=16-8=8.故選C.

12.若,則下列不等式：①a+b<ab；②冰>|加；

③嘰。；盹+》2中，正確的不等式是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

13.(2010?全國)如圖，質(zhì)點尸在半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為

頌也,-^2),角速度為1,那么點尸到x軸距離d關(guān)于時間/的函數(shù)圖象大

CD

解析觀察并聯(lián)想P運動軌跡與d的關(guān)系，

當(dāng)，=0時，d=也，排除A、D；當(dāng)開始運動時d遞減，排除B.

C

X2

14.若函數(shù)/U)=工77+4。的最小值等于3,則實數(shù)。的值等于

33

-BC-或

A.44D.不存在這樣的a

解析方法一直接對照法

名甲=/,則tw[（）/）.

若則於）=|La|+4a=5a—r不存在最小值；

若0，＜1,則兀r）=|f-a|+4a,當(dāng)f=a時取得最小值4a,于是4a=3,得a=[

符合題意；

若a＜0,於）=|/—3+4a=t+3a,當(dāng)f=0時取得最小值3a,于是3a=3,得a=

1不符合題意.

3

綜上可知，a=-

4

方法二試驗法

*

若a=1,則--1+4＞4,顯然函數(shù)的最小值不是3,故排除選項B、

*+1

3*3*3廠

C；若a=l，+3，這時只要令；77―7=°，即杵±弋3,函

4*+14*+14V

數(shù)可取得最小值3,因此A項正確，D項錯誤.

A

tn-34-21n兀a

15.已知sin0=----,cosd-------（5＜。＜兀）,貝tan]等于

m+5m+542

（）

m-3m-3]

A.----B.|----1C.Q

9-m9-in'

D.5

D

解析由于受條件sin28+cos28=1的制約，故m為一確定的值,于是sin0,

9TTTT0TT

C0S°的值應(yīng)與“的值無關(guān),進而,￡的值與°無關(guān),又產(chǎn)?，

0

??.tan^>1,故選D項.

16.已知函數(shù)y=AM,的導(dǎo)函數(shù)的圖象如下圖，那么y=AM,y=p（A）

解析從導(dǎo)函數(shù)的圖象可知兩個函數(shù)在府處斜率相同，可以排除B項，再者導(dǎo)

函數(shù)的函數(shù)值反映的是原函數(shù)增加的快慢，可明顯看出尸大M的導(dǎo)函數(shù)是減函

數(shù)，所以原函數(shù)應(yīng)該增加的越來越慢，排除A、C兩項，最后只有D項，可以

驗證尸導(dǎo)函數(shù)是增函數(shù)，增加越來越快.

答案D

第2講填空題的解題方法與技巧

一、題型特點概述

填空題是高考試卷中的三大題型之一，和選擇題一樣，屬于客觀性試題.它只要

求寫出結(jié)果而不需要寫出解答過程.在整個高考試卷中，填空題的難度一般為中

等.不同省份的試卷所占分值的比重有所不同.

1.填空題的類型

填空題主要考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能以及分析問題和解決問題的能力，具

有小巧靈活、結(jié)構(gòu)簡單、概念性強、運算量不大、不需要寫出求解過程而只需要

寫出結(jié)論等特點.從填寫內(nèi)容看，主要有兩類：一類是定量填寫，一類是定性填

寫.

2.填空題的特征

填空題不要求寫出計算或推理過程，只需要將結(jié)論直接寫出的“求解題”.填空

題與選擇題也有質(zhì)的區(qū)別：第一，表現(xiàn)為填空題沒有備選項，因此，解答時有不

受誘誤干擾之好處，但也有缺乏提示之不足；第二，填空題的結(jié)構(gòu)往往是在一個

正確的命題或斷言中，抽出其中的一些內(nèi)容（既可以是條件，也可以是結(jié)論），

留下空位，讓考生獨立填上，考查方法比較靈活.

從歷年高考成績看，填空題得分率一直不很高，因為填空題的結(jié)果必須是數(shù)值準

確、形式規(guī)范、表達式最簡，稍有毛病，便是零分.因此，解填空題要求在“快

速、準確”上下功夫，由于填空題不需要寫出具體的推理、計算過程，因此要想

“快速”解答填空題，則千萬不可“小題大做”，而要達到“準確”，則必須合

理靈活地運用恰當(dāng)?shù)姆椒?，在“巧”字上下功?

3.解填空題的基本原則

解填空題的基本原則是“小題不能大做”，基本策略是“巧做”.解填空題的

常用方法有：直接法、數(shù)形結(jié)合法、特殊化法、等價轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、合情推理

法等.

二、解題方法例析

題型一直接法

直接法就是從題設(shè)條件出發(fā)，運用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識，

通過變形、推理、計算等，得出正確結(jié)論，使用此法時，要善于透過現(xiàn)象看本質(zhì)，

自覺地、有意識地采用靈活、簡捷的解法.

例1在等差數(shù)列｛%｝中，0=-3,11的=5。8-13，則數(shù)列｛斯｝的前〃項和S”的最

小值為.

思維啟迪

計算出基本量d,找到轉(zhuǎn)折項即可.

解析設(shè)公差為乩則11（一3+4c/）=5（—3+7J）—13,

???數(shù)列｛斯｝為遞增數(shù)列.

令tz”WO,—3+(〃—1)-Q^0,點，

V/zEN*.

2Q

，前6項均為負值，二S〃的最小值為56=-y.

29

答案-7

探究提高本題運用直接法，直接利用等差數(shù)列的通項公式判斷出數(shù)列的項的符

號，進而確定前幾項的和最小，最后利用等差數(shù)列的求和公式求得最小值.

變式訓(xùn)練1設(shè)工是等差數(shù)列｛為｝的前〃項和，已知。2=3,%=11,貝|JS7=

49

的虻士、土?7(0+田)

解析方法-S7=---2---

752+%)7X(3+11)-

=1—=-2-=49.

故填49.

方法二由《-,可得《

［期=勾+51=11〔4=2,

。7=1+6*2=13.

73+。)7X(1+。)-

??37224y.

故填49.

題型二特殊值法

特殊值法在考試中應(yīng)用起來比較方便，它的實施過程是從特殊到一般，優(yōu)點

是簡便易行.當(dāng)暗示答案是一個“定值”時，就可以取一個特殊數(shù)值、特殊位置、

特殊圖形、特殊關(guān)系、特殊數(shù)列或特殊函數(shù)值來將字母具體化，把一般形式變?yōu)?/p>

特殊形式.當(dāng)題目的條件是從一般性的角度給出時，特例法尤其有效.

例2已知△A8C的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且滿足

(sinA-sinC)(a+c)

=sinA-sin8,貝llC=.

b

思維啟迪題目中給出了△&8C的邊和角滿足的一個關(guān)系式，由此關(guān)系式來確

定角C的大小，因此可考慮一些特殊的三角形是否滿足關(guān)系式，如：等邊三角

形、直角三角形等，若滿足，則可求出此時角C的大小.

解析容易發(fā)現(xiàn)當(dāng)△ABC是一個等邊三角形時，滿足(s】nA-s,C)(a+c)=sinA

一sin8,而此時C=60。,故角C的大小為60。.

答案60°

探究提高特殊值法的理論依據(jù)是：若對所有值都成立，那么對特殊值也成立，

我們就可以利用填空題不需要過程只需要結(jié)果這一“弱點”，“以偏概全”來求

值.在解決一些與三角形、四邊形等平面圖形有關(guān)的填空題時，可根據(jù)題意，選

擇其中的特殊圖形(如正三角形、正方形)等解決問題.此題還可用直接法求解如

下：

由--------務(wù)-----------=smA—sinB可得

(a—@(a+c)

;=a—b,整理得，a2—即#+〃一由余弦定理，

b

字大按一&1

得cosC=F^=￡,所以占6。。.

變式訓(xùn)練2在△A8C中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,如果a、b、c

cosA+cosC

成等差數(shù)列，則

1+cosAcosC

4

5

AR_、、_L_e-八i-4cosA+cosC

解析萬法一取特殊值a=3,b=4,c=5,則cosA=g,cos

4

5,

TT1cos/+cosC4

方法二取特殊角力=8=0=9cos…f+c°sxW

A

N

/OC

M

->

例3如圖所示，在AABC中,AO是BC邊上的中線，K為AO上一點，且。4=

—>—>—>—>

2AK,過點K的直線分別交直線A3、AC于不同的兩點M、N,若AB=〃?AM,AC

->

=nAN,貝（Jm+n=.

思維啟迪

題目中過點力,的直線是任意的，因此〃和〃的值是變化的，但從題意看加+〃的

值是一個定值，故可取一條特殊的直線進行求解.

—>—>

解析當(dāng)過點K的直線與BC平行時MV就是AABC的一條中位線（；0A=2AK,

—>—>—>—>

，K是A。的中點）.這時由于有=,AC=〃AN,因此機=〃=2,故加+〃

=4.

答案4

探究提高本題在解答中，充分考慮了“直線雖然任意，但加+〃的值卻是定值”

這一信息，通過取直線的一個特殊位置得到了問題的解,顯得非常簡單,在求解這

類填空題時，就要善于捕捉這樣的有效信息，幫助我們解決問題.

—>—>—>

變式訓(xùn)練3設(shè)。是△ABC內(nèi)部一點，且OA+0C=-208,則△AOB與△AOC

的面積之比為.

—>—>—>

解析采用特殊位置，可令△A8C為正三角形，則根據(jù)。4+0C=-2。3可知，

。是△ABC的中心，貝!]OA=OB=OC,所以△AOB四△AOC,

即△408與△4OC的面積之比為1.

題型三圖象分析法（數(shù)形結(jié)合法）

依據(jù)特殊數(shù)量關(guān)系所對應(yīng)的圖形位置、特征，利用圖形直觀性求解的填空題,

稱為圖象分析型填空題，這類問題的幾何意義一般較為明顯.由于填空題不要求

寫出解答過程，因而有些問題可以借助于圖形，然后參照圖形的形狀、位置、性

質(zhì)，綜合圖象的特征，進行直觀地分析，加上簡單的運算，一般就可以得出正確

的答案.事實上許多問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)與形的結(jié)合，利用數(shù)形結(jié)合法解題既

淺顯易懂，又能節(jié)省時間.利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題能很好地考查考生對基

礎(chǔ)知識的掌握程度及靈活處理問題的能力，此類問題為近年來高考考查的熱點內(nèi)

容

例4已知方程（x2-2x+⑼（父-2x+”）=0的四個根組成一個首項為;的等差數(shù)

列，則依-川的值等于.

思維啟迪

1

2

考慮到原方程的四個根，其實是拋物線尸*—2x+m與尸*—2x+〃和x軸

四個交點的橫坐標，所以可以利用圖象進行求解.

解析如圖所示，易知拋物線y=x2—2x+m與y=x1—2x+n有相同的對稱軸x

=1,它們與x軸的四個交點依次為A、B、C、D.

I7

因為/=不則知=不

35

又=所以初=不%C=4-

17351

探究提高本題是數(shù)列問題，但由于和方程的根有關(guān)系，故可借助數(shù)形結(jié)合的方

法進行求解，因此在解題時，我們要認真分析題目特點，充分挖掘其中的有用信

息，尋求最簡捷的解法.

變式訓(xùn)練4已知定義在R上的奇函數(shù)兀v）滿足./（X-4）=-次幻,且在區(qū)間。2］上是

增函數(shù)，若方程次X）=〃Z（〃?>0）,在區(qū)間［-8,8］上有四個不同的根修，》2,*3,工4,

貝|JX］+M+X3+X4=.

-8