20192020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章不等式32基本不等式與最大(小)值鞏固提升訓(xùn)練(含解析)北師大版

3.2基本不等式與最大（?。┲礫A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)x＞0，則y＝3－3－1的最大值是()xxA．3B．3－22C．3－23D．－1分析：選C.＝3－3－1113，＝3－3x＋≤3－23·＝3－2yxxxxx13當(dāng)且僅當(dāng)3x＝x，即x＝3時(shí)取等號(hào)．2．函數(shù)y＝log2x＋1＋5(x>1)的最小值為( )x－1A．－3B．3C．4D．－4分析：選B.由于x＋1＋5x－11(x－1)＋x－1＋61≥2（x－1）·x－1＋6＝8.所以log2x＋1＋5≥3，所以ymin＝3.x－11當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝x－1，即x＝2時(shí)，等號(hào)建立．3．已知＞0，＞0，且x＋＝8，則(1＋)(1＋)的最大值為( )xyyxyA．16B．25C．9D．36分析：選B.(1＋x)(1（1＋x）＋（1＋y）2＋y)≤22＋（x＋y）22＋821＋x＝1＋y即x＝y(tǒng)＝4時(shí)，(1＋x)(1＋y)＝2＝2＝25，所以當(dāng)且僅當(dāng)取最大值25，應(yīng)選B.4．已知x＞1，y＞1且xy＝16，則logx·logy()22A．有最大值2B．等于4C．有最小值3D．有最大值4分析：選D.由于x＞1，y＞1，所以log2x＞0，log2y＞0.log2x＋log2y2所以log2x·log2y≤222＝log（xy）＝4，2當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)取等號(hào)．應(yīng)選D.95．已知函數(shù)y＝x－4＋x＋1(x>－1)，當(dāng)x＝a時(shí)，y獲得最小值b，則a＋b＝( )A．－3B．2C．3D．8分析：選C.y9＝(x＋1)＋9x>－1，所以x＋1>0，所以＝x－4＋－5，由于x＋1x＋199y≥2（x＋1）·x＋1－5＝2×3－5＝1.當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝x＋1，即x＝2時(shí)，等號(hào)建立，即a＝2，b＝1，所以a＋b＝3.116．已知x，y>0且x＋y＝1，則p＝x＋x＋y＋y的最小值為________．1分析：x＋x＋y＋yx＋yx＋y＝x＋x＋y＋yx3＋x＋y≥3＋2＝5，當(dāng)且僅當(dāng)

1x＝y(tǒng)＝2時(shí)等號(hào)建立．答案：57．周長(zhǎng)為2＋1的直角三角形面積的最大值為________．分析：設(shè)直角三角形的兩條直角邊邊長(zhǎng)分別為a、b，則2＋1＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2，解得1＝＝21S的最≤，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”，所以直角三角形面積≤，即abab2ab2S41大值為4.1答案：4xy8．若直線a＋b＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1，2)，則2a＋b的最小值為________．分析：由于直線

xy12a＋b＝1(a>0，b>0)過點(diǎn)(1，2)，所以a＋b＝1，由于

a>0，b>0，所以

2a＋b＝(2a＋b)(

12b4aa＋b)＝4＋a＋b≥4＋2

b4aa·b＝8，當(dāng)且僅當(dāng)

b4aa＝b，即

a＝2，b＝4

時(shí)等號(hào)建立，所以2a＋b的最小值為8.答案：89．求以下函數(shù)的最小值．2設(shè)x，y都是正數(shù)，且x＋y＝3，求2x＋y的最小值；x＋5）（x＋2）(2)設(shè)x＞－1，求＝的最小值．yx＋1解：(1)2x＋3（2x＋y）y＝3112(2x＋y)＝3x＋y1y4x18＝3x＋y＋4≥3(24＋4)＝3.y4x22當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)建立，即y＝4x.所以y＝2.x1224又由于＋＝3，得x＝，y＝.xy33248所以當(dāng)x＝3，y＝3時(shí)，2x＋y獲得最小值為3.由于x＞－1，所以x＋1＞0.設(shè)x＋1＝t＞0，則x＝t－1，（t＋4）（t＋1）t2＋5t＋4于是有y＝t＝t44＝t＋t＋5≥2t·t＋5＝9，4當(dāng)且僅當(dāng)t＝t，即t＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)x＝1.所以當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝（x＋5）（x＋2）x＋1獲得最小值為9.桑基魚塘是廣東省珠江三角洲一種獨(dú)具地方特點(diǎn)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)形式，某研究單位打算開發(fā)一個(gè)桑基魚塘項(xiàng)目，該項(xiàng)目準(zhǔn)備購買一塊1800平方米的矩形地塊，中間挖成三個(gè)矩形池塘養(yǎng)魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(暗影部分所示)栽種桑樹，魚塘四周的基圍寬均為2米，如下圖，池塘所占面積為S平方米，此中a∶b＝1∶2.試用x，y表示S；若要使S最大，則x，y的值各為多少？解：(1)由題可得，xy＝1800，b＝2a，則y＝a＋b＋6＝3a＋6，＝(x－4)＋(x－6)＝(3x－16)a＝(3x－16)y－6＝1832－6x－16(x＞6，＞6，xy＝1Sab33yy800)．1616(2)法一：S＝1832－6x－3y≤1832－26x×3y＝1832－480＝1352，16當(dāng)且僅當(dāng)6x＝3y，xy＝1800，即x＝40，y＝45時(shí)，S獲得最大值1352.161800法二：S＝1832－6x－3×x＝1832－6x＋9600≤1832－26x×9600xx1832－480＝1352，600當(dāng)且僅當(dāng)6x＝x，即x＝40時(shí)取等號(hào)，S獲得最大值．此時(shí)y＝1800＝45.x[B能力提高]11．已知>0，2112＋≥9恒建立，則實(shí)數(shù)的最大值為( )>0，＋＝，若不等式abab6abmmA．8B．7C．6D．51分析：選C.由已知，可得6a＋b＝1，所以2＋＝621a＋)＝＋·(2ababb62a2b≥6×(5＋4)＝54，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝2b時(shí)等號(hào)建立，5＋＋abab所以9m≤54，即m≤6，應(yīng)選C.a4＋4b4＋112．若a，b∈R，ab>0，則ab的最小值為________．4＋44＋134313431分析：ab＝b＋a＋ab，由基本不等式得，b＋a＋ab≥233＝1同時(shí)建即刻等號(hào)建立．≥4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝4b，4baabab答案：413．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．求xy的最小值；求x＋y的最小值．解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)，x＞0，得y＞0，3xy＝x＋y＋1.由于x＞0，y＞0，所以3xy＝x＋y＋1≥2xy＋1，所以3xy－2xy－1≥0，即3(xy)2－2xy－1≥0.所以(3xy＋1)(xy－1)≥0.所以xy≥1，所以xy≥1.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)，等號(hào)建立．所以xy的最小值為1.(2)由于x＞0，y＞0，所以x＋y＋1＝3xy≤3·x＋y2，2

34311b×a＋ab＝4ab＋ab2所以3(x＋y)－4(x＋y)－4≥0，所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時(shí)取等號(hào)．所以x＋y的最小值為2.14．(選做題)如下圖，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求B點(diǎn)在AM上，D點(diǎn)在AN上，且對(duì)角線MN過點(diǎn)C，已知AB＝2米，AD＝1米．(1)要使矩形AMPN的面積大于9平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？當(dāng)DN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最??？并求出最小值．解：(1)設(shè)DN的長(zhǎng)為x(x>0)米，則|AN|＝(x＋1)米，|DN||DC|由于||＝||，ANAM所以|AM|2（x＋1）＝x，所以S矩形AMPN·|AM|＝2（x＋1）2.＝|AN|x2（x＋1）2由S矩形AMPN>9，得x>9，又x>0，所以2x2－5x＋2>0