第四講運(yùn)動方程的積分算法

演示文稿第四講運(yùn)動方程的積分算法當(dāng)前1頁，總共29頁。第四講運(yùn)動方程的積分算法ppt課件當(dāng)前2頁，總共29頁。積分運(yùn)動方程的注意點(diǎn)何為一個好的運(yùn)動方程積分算法？但這并不是很貼切，因?yàn)榛ㄔ诜e分運(yùn)動方程上的時間分率（相對于計(jì)算相互作用來說）很小，至少對原子或簡單分子體系是這樣。計(jì)算速度？？準(zhǔn)確度對較大的時間步長來說更重要，因?yàn)樗苁褂玫臅r間步長越長，單位時間內(nèi)力的計(jì)算量越少。因此，這意味著采用允許用長時間步長的成熟算法是有利的。（然而，保證準(zhǔn)確度，不允許發(fā)散）準(zhǔn)確度？？當(dāng)前3頁，總共29頁。積分運(yùn)動方程的注意點(diǎn)要想獲得允許使用長時間步的算法，必須將信息存儲在粒子坐標(biāo)的較高階導(dǎo)數(shù)中。結(jié)果是這需要更多的內(nèi)存。對于一個通常的模擬來說，這并不是一個嚴(yán)重的缺點(diǎn)。因?yàn)槌翘幚砗艽蟮捏w系，存儲這些導(dǎo)數(shù)所需的內(nèi)存與即便是在一個通常的工作站上所能獲取的總量相比來說仍是很小。節(jié)省內(nèi)存？？能量守恒是一個重要的判據(jù)，但實(shí)際上需要區(qū)分兩種能量守恒，即短時間的和長時間的。復(fù)雜的高階算法通常在短時間內(nèi)（如在幾個時間步內(nèi)）有很好的能量守恒性，然而該方法通常會有所不期望的特征，即時間較長時總能量漂移。（不一定最好）能量守恒？？當(dāng)前4頁，總共29頁。積分運(yùn)動方程的注意點(diǎn)最好有一個算法能同時在短時間和長時間準(zhǔn)確地預(yù)測所有粒子的軌跡。不存在MD模擬所研究的所有體系，體系的軌跡穿過相空間（即對于用由所有粒子坐標(biāo)和動量所跨過的6N維空間）時敏感地依賴于初始條件。這意味著兩個初始靠得很近的軌跡隨時間的演繹將會顯著分開。李雅普諾夫不穩(wěn)定性MD獲得的軌跡在某種意義上與真實(shí)的軌跡相接近。MD的目標(biāo)并不是精確地預(yù)測一個已知初始條件的體系軌跡將會發(fā)生什么（衛(wèi)星軌道預(yù)測）。而對統(tǒng)計(jì)預(yù)測感興趣。在MD中，統(tǒng)計(jì)預(yù)測是足夠精確的。當(dāng)前5頁，總共29頁。標(biāo)準(zhǔn)Verlet算法Verlet提出的Verlet算法在分子動力學(xué)中應(yīng)用最為廣泛。由Taylor公式展開有：位移+當(dāng)前6頁，總共29頁。標(biāo)準(zhǔn)Verlet算法由Taylor公式展開有：速度在典型分子動力學(xué)模擬中，只有原子的初始位置和初始速度是給定的，而在verlet算法中，計(jì)算下一步的原子的位置需要前兩步的信息。那么如何采用verlet算法計(jì)算第二個時間步的原子位置呢？不出現(xiàn)在算法中。-當(dāng)前7頁，總共29頁。解決方法一是，在第二個時間步中，把該步力看成常量，且使用普通運(yùn)動學(xué)方程:標(biāo)準(zhǔn)Verlet算法解決方法二是當(dāng)前8頁，總共29頁。流程標(biāo)準(zhǔn)Verlet算法當(dāng)前9頁，總共29頁。標(biāo)準(zhǔn)Verlet算法加速度項(xiàng)當(dāng)前10頁，總共29頁。Leap-frog算法對標(biāo)準(zhǔn)Verlet算法進(jìn)行改進(jìn)而得到的蛙跳算法(Leapfrogmethods)。相比標(biāo)準(zhǔn)Verlet算法，它有兩個優(yōu)點(diǎn)。一、包含顯式速度項(xiàng)。二、計(jì)算量稍小。缺點(diǎn)原子的位置與速度計(jì)算不同步，這就意味著在確定位置時，不能同時計(jì)算體系的動能，給模擬過程帶來不便。當(dāng)前11頁，總共29頁。Leap-frog算法當(dāng)前12頁，總共29頁。速度Verlet算法當(dāng)前13頁，總共29頁。速度Verlet算法Velocity-Verlet算法不僅可以獲得相同精度的原子位置和速度量，給出了顯式的速度項(xiàng)，而且在每步積分中只需要存儲一個時刻的狀態(tài)變量，模擬穩(wěn)定性好，允許采用較大的時間步長，計(jì)算量適中，因而在分子動力學(xué)方程的積分算法中得到了最廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前14頁，總共29頁。Gear預(yù)測校正法預(yù)測校正法是分子動力學(xué)模擬中的常用算法之一，其基本思想是Taylor展開，這種算法包含三個部分。第一步，利用泰勒展開預(yù)測下一時刻的位置及其一階、二階、三階導(dǎo)數(shù)：式中v、a、b、c分別是位置矢量r的一階、二階、三階和四階導(dǎo)數(shù)。當(dāng)前15頁，總共29頁。Gear預(yù)測校正法第二步根據(jù)新的原子位子rp，計(jì)算受力以及修正加速度ac(t+t)。定義預(yù)測誤差第三步根據(jù)加速度的預(yù)測誤差對各預(yù)測量進(jìn)行修正：當(dāng)前16頁，總共29頁。預(yù)測－校正法允許的時間步長比其它算法長兩倍以上每個積分步內(nèi)要計(jì)算兩次體系勢能，以得到原子間相互作用力。該算法的穩(wěn)定差，能量波動較大，較verlet算法占用更多的內(nèi)存。Gear預(yù)測校正法當(dāng)前17頁，總共29頁。時間步長Toolong-errorsresultfromapproximationsJustright-errorsacceptable,maximumspeedTooshort-computationneedlesslyslow當(dāng)前18頁，總共29頁。時間步長過長的時間步時間步長過大，原子的作用力急劇改變。誤差逐漸累計(jì)，導(dǎo)致結(jié)果發(fā)散.兩個Argon(氬)原子在兩個不同時間步長dts的模擬。圖中畫出的是計(jì)算模擬值與理論值的差。當(dāng)前19頁，總共29頁。RMS(ReservoirModelingSystem保守系統(tǒng)的模擬)EnergydeviationCircles:VerletSquares:Gear4thorderTriangles:Gear5thorderDiamonds:Gear6thorder(log/logscale)誤差與時間步長的關(guān)系當(dāng)前20頁，總共29頁。時間步長時間步長與研究對象、系統(tǒng)溫度、所采用的數(shù)值積分算法及勢能函數(shù)有關(guān)。不存在一個通用的時間步長值。一般情況下，體系的溫度越低，允許采用的時間步長越大；而模擬較高溫度時必須采取較小的時間步長。一般認(rèn)為，時間步長應(yīng)小于原子振動周期的十分之一，而通常原子振動周期的數(shù)量級為0.1皮秒(10-12s)，即時間步長應(yīng)選擇在飛秒級(10-15s)。當(dāng)前21頁，總共29頁。宏觀物理量的計(jì)算分子動力學(xué)計(jì)算最終得到的是系統(tǒng)各個時刻的相空間軌道(thephase-spacetrajectory)，包括任意時刻所有原子的坐標(biāo)和速度，這些都是微觀原子層次的物理量。一般來說，在探討其力學(xué)行為時，我們需要研究一些宏觀力學(xué)概念的物理量，比如溫度、能量、壓強(qiáng)、應(yīng)力狀態(tài)等，這就需要我們對分子動力學(xué)計(jì)算出來的粒子數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。統(tǒng)計(jì)力學(xué)是連接微觀層次的物理量和宏觀概念物理量的橋梁，利用統(tǒng)計(jì)力學(xué)原理我們可以從系統(tǒng)中單個粒子的運(yùn)動學(xué)狀態(tài)得到整個粒子系統(tǒng)的一些性質(zhì)。當(dāng)前22頁，總共29頁。系統(tǒng)的物理性質(zhì)是系統(tǒng)中粒子坐標(biāo)和速度的函數(shù)，對于任意一個時刻宏觀概念物理量A，定義為宏觀物理量的計(jì)算統(tǒng)計(jì)平均當(dāng)前23頁，總共29頁。勢能部分可以按勢函數(shù)計(jì)算，對于不同的原子勢函數(shù)表達(dá)式有不同的計(jì)算公式。動能計(jì)算公式為宏觀物理量的計(jì)算能量溫度溫度T直接與粒子動能相關(guān)，即著名的均勻分布公式，每個自由度賦予kBT/2的能量,N個粒子的總自由度為3N，故動能為計(jì)算不同熱力學(xué)狀態(tài)的總能E和溫度，可以得到內(nèi)能一溫度曲線E(T)。這對于監(jiān)測相變的發(fā)生非常有用，相變發(fā)生時，該曲線會有跳躍。當(dāng)前24頁，總共29頁。應(yīng)變是表示物體變形大小的測度，可以有不同的定義方式。應(yīng)變是一個相對量，反映了物體相對初始構(gòu)型的變形程度。應(yīng)變又是純幾何量，與空間尺度變化無關(guān)。因此宏觀、納觀尺度下應(yīng)變可以采用相同的定義方式原子應(yīng)變當(dāng)前25頁，總共29頁。原子應(yīng)力宏觀應(yīng)力反映了單位面積上作用力的大小，是關(guān)于面積的強(qiáng)度量。

原子應(yīng)力離散原子系統(tǒng)的原子應(yīng)力是關(guān)于體積的強(qiáng)度量。實(shí)際上，原子應(yīng)力只是形式地沿用了應(yīng)力的概念，具有與宏觀應(yīng)力完全不同的特征。原子應(yīng)力表明一個原子與周圍原子相互作用的強(qiáng)弱程度當(dāng)前26頁，總共29頁。原子應(yīng)力動量勢能二階對稱算子Hamilton自由能可以看出原子應(yīng)力具有“能量密度”的量綱。包括了原子動量流和原子間作用力的貢獻(xiàn)。是原子的一種力學(xué)“活性能”，反應(yīng)了原子產(chǎn)生