第四節(jié)冪級(jí)數(shù)

第四節(jié)冪級(jí)數(shù)第一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日（1）（2）對(duì)于每一個(gè)確定的代入（1）式得若（2）收斂，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的收斂點(diǎn)，若（2）發(fā)散，則稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（1）的發(fā)散點(diǎn)，所有收斂點(diǎn)的全體稱為（1）的收斂域，記為散點(diǎn)的全體稱為（1）的發(fā)散域，記為所有發(fā)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，其和記為第二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日（1）所有收斂點(diǎn)的全體稱為（1）的收斂域，記為散點(diǎn)的全體稱為（1）的發(fā)散域，記為所有發(fā)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)都收斂，其和記為即稱s(x)為（1）的和函數(shù)，和函數(shù)的定義域即為I。兩個(gè)基本問(wèn)題：（1）如何確定（1）的收斂域？（2）如何在收斂域上求（1）的和函數(shù)？第三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日二、冪級(jí)數(shù)及收斂性（1）當(dāng)（2）在變量代換的冪級(jí)數(shù)，時(shí)，上述冪級(jí)數(shù)成為下，（1）就化為（2）了形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)稱為第四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日（2）對(duì)于冪級(jí)數(shù)（2），（1）如何確定它的收斂域

I；（2）在收斂域內(nèi)，如何求它的和函數(shù)

s(x)。主要有兩個(gè)問(wèn)題:第五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日考察冪級(jí)數(shù)這是公比為x的幾何級(jí)數(shù)，（1）當(dāng)|x|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，（2）當(dāng)|x|1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散，（1）所以（1）的收斂域?yàn)椋?）的發(fā)散域?yàn)樵谑諗坑騼?nèi)，（1）的和函數(shù)為即（1）的收斂域是一個(gè)以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間。第六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日又例：解：將該冪級(jí)數(shù)看成參數(shù)為x的任意項(xiàng)常數(shù)級(jí)數(shù)，并用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判別法進(jìn)行判別。結(jié)論：當(dāng)|x|<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)|x|>1時(shí)發(fā)散當(dāng)x=–1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)x=1時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散。特點(diǎn)：除去端點(diǎn)–1外，收斂域I是以原點(diǎn)為中心的對(duì)稱區(qū)間。收斂域?yàn)槭諗坑虻纳鲜鎏攸c(diǎn)對(duì)一般的冪級(jí)數(shù)也成立的。第七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日定理1（阿貝爾定理）：如果級(jí)數(shù)時(shí)收斂，時(shí)，反之，如果級(jí)數(shù)當(dāng)則當(dāng)冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散，時(shí)，則當(dāng)冪級(jí)數(shù)發(fā)散。定理1的幾何解釋：（1）冪級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)都集中在以原點(diǎn)為中心的左右兩側(cè)。（2）第八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日推論：如果級(jí)數(shù)使得（1）當(dāng)|x|<R時(shí)，不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則必有一個(gè)確定的正數(shù)R

絕對(duì)收斂，（2）當(dāng)|x|>R時(shí)，發(fā)散，（3）當(dāng)x=

R時(shí)，可能收斂，也可能發(fā)散第九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日稱上述R為收斂區(qū)間的收斂半徑，為收斂區(qū)間+收斂的端點(diǎn)規(guī)定：僅在x=0處收斂，則（2）若在整個(gè)數(shù)軸上收斂，則=收斂域（1）若問(wèn)題：如何求的收斂半徑？第十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日定理2：考慮冪級(jí)數(shù)如果其中，是級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則第十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日求冪級(jí)數(shù)（1）利用極限（2）判定冪級(jí)數(shù)在端點(diǎn)確定收斂半徑R

處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區(qū)間加收斂的端點(diǎn)。及收斂區(qū)間第十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例1：當(dāng)x=–1時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，交錯(cuò)級(jí)數(shù)且收斂，所以，所求收斂域?yàn)椋喊l(fā)散解：第十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例2：求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：第十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例3：求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：t=–1，交錯(cuò)級(jí)數(shù)且收斂，t=1，調(diào)和級(jí)數(shù)且發(fā)散第十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例4：求冪級(jí)數(shù)的收斂域解：當(dāng)x=2時(shí)，原級(jí)數(shù)成為發(fā)散，故×理由：原級(jí)數(shù)中缺少偶數(shù)次冪的項(xiàng)：所以R=2，實(shí)際上第十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解：因原級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)級(jí)數(shù)，定理2不能直接應(yīng)用。此時(shí)要用任意常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別法來(lái)求例4：求冪級(jí)數(shù)的收斂域當(dāng)即當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂時(shí)，時(shí)，發(fā)散，時(shí)，第十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解：例4：求冪級(jí)數(shù)的收斂域當(dāng)即當(dāng)即時(shí)，級(jí)數(shù)收斂時(shí)，時(shí)，發(fā)散，時(shí)，當(dāng)發(fā)散所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)闀r(shí)，原級(jí)數(shù)成為第十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解：例5：求冪級(jí)數(shù)的收斂域冪級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng)，所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)樵?jí)數(shù)成為也可先作變量替換：可按例4的方法處理這是關(guān)于t的冪級(jí)數(shù)，且沒(méi)有缺項(xiàng)可直接用定理2求收斂半徑和收斂域：第十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算及性質(zhì)（一）冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算收斂半徑收斂半徑（1）加法第二十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日（2）乘法收斂半徑收斂半徑第二十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日（3）除法收斂半徑收斂半徑其中系數(shù)可通過(guò)下面等式來(lái)確定相除后的冪級(jí)數(shù)，其收斂區(qū)間可能比原級(jí)數(shù)小的多。第二十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日（二）冪級(jí)數(shù)性質(zhì)性質(zhì)1：如果兩個(gè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑分別為則有且收斂半徑R滿足：第二十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)2：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂域I上連續(xù)；例如：收斂域?yàn)椋汗势浜秃瘮?shù)s(x)在上連續(xù)第二十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)3：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)積分后所得級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂域I上可積，并有逐項(xiàng)積分公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。第二十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：級(jí)數(shù)成為發(fā)散所以收斂域?yàn)槔?：求的收斂域及和函數(shù)，的和。設(shè)冪級(jí)數(shù)在I上的和函數(shù)為s(x),則第二十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例1：求并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。第二十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例1：求并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。第二十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例1：求并求常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：的收斂域及和函數(shù)，的和。第二十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)4：冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，并有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式其收斂半徑與原級(jí)數(shù)相同。第三十頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例2：求的和函數(shù)解：必須先求出收斂域：設(shè)在收斂域I上，和函數(shù)為s(x),則第三十一頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例2：求的和函數(shù)解：必須先求出收斂域：設(shè)在收斂域I上，和函數(shù)為s(x),則第三十二頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日解：必須先求出收斂域：設(shè)在收斂域I上，和函數(shù)為s(x),則例3：求的和函數(shù)，并求的和第三十三頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例3：求的和函數(shù)，解：必須先求出收斂域：并求的和第三十四頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例3：求的和函數(shù)，解：必須先求出收斂域：并求的和取第三十五頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日習(xí)題114:1(1,2,8),3(1,3)

第十一章第四節(jié):作業(yè)第三十六頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例5：求的收斂區(qū)間及和函數(shù)解：（1）先求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間I

當(dāng)x=1時(shí)，一般項(xiàng)不趨于0，級(jí)數(shù)發(fā)散，第三十七頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)每一個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為（2）在收斂區(qū)間內(nèi)求級(jí)數(shù)的和函數(shù)例5：求的收斂區(qū)間及和函數(shù)解：（1）第三十八頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日例5：求的收斂區(qū)間及和函數(shù)解：（1）先求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間I

當(dāng)x=1時(shí)，一般項(xiàng)不趨于0，級(jí)數(shù)發(fā)散，第三十九頁(yè)，共四十二頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)每一個(gè)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和為（2）在收斂區(qū)間內(nèi)求