2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

2022年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.下列復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的是A．

B．

C．

D．參考答案：C2.設(shè)點(diǎn)是平面區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)，則的最小值為

（

）（A）

（B）1

（Ｃ）

（D）5參考答案：B3.（5分）已知雙曲線方程為=1，過其右焦點(diǎn)F的直線（斜率存在）交雙曲線于P、Q兩點(diǎn)，PQ的垂直平分線交x軸于點(diǎn)M，則的值為（）A．B．C．D．參考答案：B【考點(diǎn)】：雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】：計(jì)算題．【分析】：依題意，不妨設(shè)過其右焦點(diǎn)F的直線的斜率為1，利用雙曲線的第二定義可求得可求得|PQ|，繼而可求得PQ的垂直平分線方程，令x=0可求得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，從而使問題解決．【解答】：解：∵雙曲線的方程為﹣=1，∴其右焦點(diǎn)F（5，0），不妨設(shè)過其右焦點(diǎn)F的直線的斜率為1，依題意，直線PQ的方程為：y=x﹣5．由得：7x2+90x﹣369=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1，x2為方程7x2+90x﹣369=0的兩根，∴x1+x2=﹣，y1+y2=（x1﹣5）+（x2﹣5）=x1+x2﹣10=﹣，∴線段PQ的中點(diǎn)N（﹣，﹣），∴PQ的垂直平分線方程為y+=﹣（x+），令y=0得：x=﹣．又右焦點(diǎn)F（5，0），∴|MF|=5+=．①設(shè)點(diǎn)P在其準(zhǔn)線上的射影為P′，點(diǎn)Q在其準(zhǔn)線上的射影為Q′，∵雙曲線的一條漸近線為y=x，其斜率k=，直線PQ的方程為：y=x﹣5，其斜率k′=1，∵k′＜k，∴直線PQ與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)一個(gè)在左支上，另一個(gè)在右支上，不妨設(shè)點(diǎn)P在左支，點(diǎn)Q在右支，則由雙曲線的第二定義得：==e==，∴|PF|=x1﹣×=x1﹣3，同理可得|QF|=3﹣x2；∴|PQ|=|QF|﹣|PF|=3﹣x2﹣（x1﹣3）=6﹣（x1+x2）=6﹣×（﹣）=．②∴==．故選B．【點(diǎn)評】：本題考查雙曲線的第二定義的應(yīng)用，考查直線與圓錐曲線的相交問題，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用與直線方程的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題．4.設(shè)是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的

（

）A．外心

B.內(nèi)心

C.重心

D.垂心

參考答案：C略5.平面向量與的夾角為60°，則（A）

（B）

（C）4

（D）12參考答案：B6.設(shè)函數(shù)，則()（A）在單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線對稱（B）在單調(diào)遞增，其圖象關(guān)于直線對稱（C）在單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線對稱（D）在單調(diào)遞減，其圖象關(guān)于直線對稱參考答案：D7.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）等于

（

）

A．4+3i

B．4－3i

C．－4+3i

D．－4－3i參考答案：D8.已知函數(shù)若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A

B

C

D參考答案：A略9.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

（▲

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B10.定義在R上的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（-1，1），若方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的值為．A．

B．

C．1

D．－1參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.的最大值為

.參考答案：12.（文科）若，則的值為

；參考答案：13.平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD，BD⊥CD，將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，若四面體A′﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積_____.參考答案：【分析】根據(jù)BD⊥CD，BA⊥AC，BC的中點(diǎn)就是球心，求出球的半徑，即可得到球的表面積.【詳解】因?yàn)槠矫鍭′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，所以CD⊥平面ABD，∴CD⊥BA，又BA⊥AD，∴BA⊥面ADC，所以BA⊥AC，所以△BCD和△ABC都是直角三角形，由題意，四面體A﹣BCD頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，所以BC的中點(diǎn)就是球心，所以BC，球的半徑為：所以球的表面積為：3π.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查面面垂直的性質(zhì)定理和球的外接問題，還考查空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.14.已知，則=

。參考答案：415.《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無字證明為（

）A. B.C. D.參考答案：D令，可得圓的半徑，又，則，再根據(jù)題圖知，即．故本題答案選D．16.設(shè)，若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：17.若函數(shù)是周期為4的奇函數(shù)，且在上的解析式為，則．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù),若,且的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值；

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.參考答案：解析：(Ⅰ)∵,∴

①∴,又的圖象在點(diǎn)

處的切線方程為,即,

②

③

聯(lián)立方程①②③,解得.

(Ⅱ).

令,得.遞增極大遞減極小遞增

故的單調(diào)增區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為.19.（本小題滿分10分）某中學(xué)有4位學(xué)生申請A，B，C三所大學(xué)的自主招生．若每位學(xué)生只能申請其中一所大學(xué)，且申請其中任何一所大學(xué)是等可能的．（1）求恰有2人申請A大學(xué)的概率；（2）求被申請大學(xué)的個(gè)數(shù)X的概率分布列與數(shù)學(xué)期望E(X)．參考答案：20.如圖，直三棱柱ABC一A1B1C1中，AB＝，AC＝3，BC＝，D是ACl的中點(diǎn)，E.是側(cè)棱BB1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

(I）當(dāng)E是BB1的中點(diǎn)時(shí)，證明:DE／／平面A1B1C1

（2）在棱BB1上是否存在點(diǎn)E使平面AC1E⊥平面AC1C？若存在，求出的值，若不存在，說明理由參考答案：（l）見解析；（2）見解析

【知識(shí)點(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定．G10G11解析：（1）證明：取A1C1中點(diǎn)F，連接DF，DE，B1F∵D是AC1的中點(diǎn)，E是BB1的中點(diǎn)．∴DF∥AA1，B1E∥AA1，DF=AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，所以DE∥B1F，DE=B1F…（2分）又B1F?平面A1B1C1，所以DE∥平面A1B1C1…（4分）（2）解：分別在兩底面內(nèi)作BO⊥AC于O，B1O1⊥A1C1于O1，連接OO1，則OO1∥AA1，以O(shè)為原點(diǎn)，OB為x軸，OC為y軸，OO1為z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=t，BE=h，則λ=，A（0，﹣1，0），C1（0，，t），E（（1，0，h）．平面A1ACC1的法向量為=（1，0，0）…（7分）設(shè)平面AC1E的法向量為=（x，y，z）∵=（1，1，h），=（0，，h）∴由可得…（9分）取z=1得y=，x=∴…（11分）由題知，∴=0∴，∴λ==所以在BB1上存在點(diǎn)E，當(dāng)時(shí)，二面角E﹣AC1﹣C是直二面角．…（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）取A1C1中點(diǎn)F，連接DF，DE，B1F，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得線線平行，利用線面平行的判定，可得DE∥平面A1B1C1；（2）建立直角坐標(biāo)系，求出平面A1ACC1的法向量、平面AC1E的法向量，利用數(shù)量積為0建立方程，即可求得結(jié)論．21.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）過點(diǎn)A（﹣，），離心率為，點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別為其左右焦點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若y2=4x上存在兩個(gè)點(diǎn)M，N，橢圓上有兩個(gè)點(diǎn)P，Q滿足，M，N，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，P，Q，F(xiàn)2三點(diǎn)共線，且PQ⊥MN．求四邊形PMQN面積的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足橢圓方程及a，b，c的關(guān)系，解方程，即可得到橢圓方程；（2）討論直線MN的斜率不存在，求得弦長，求得四邊形的面積；當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）聯(lián)立拋物線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長公式，以及四邊形的面積公式，計(jì)算即可得到最小值．【解答】解：（1）由題意得：，a2﹣b2=c2，得b=c，因?yàn)闄E圓過點(diǎn)A（﹣，），則+=1，解得c=1，所以a2=2，所以橢圓C方程為．（2）當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，直線PQ的斜率為0，易得，．當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：y=k（x﹣1）（k≠0）與y2=4x聯(lián)立得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，令M（x1，y1），N（x2，y2），則，x1x2=1，|MN|=?．即有，∵PQ⊥MN，∴直線PQ的方程為：y=﹣（x﹣1），將直線與橢圓聯(lián)立得，（k2+2）x2﹣4x+2﹣2k2=0，令P（x3，y3），Q（x4，y4），x3+x4=，x3x4=，由弦長公式|PQ|=?，代入計(jì)算可得，∴四邊形PMQN的面積S=|MN|?|PQ|=，令1+k2=t，（t＞1），上式=，所以．最小值為．22.四面體D﹣ABC，中，AB=BC，在側(cè)面DAC中，中線AN⊥中線DM，且DB⊥AN．（1）求證：平面ACD⊥平面ABC；（2）若AN=4，DM=3，BD=5，求四面體D﹣ABC的體積．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【專題】計(jì)算題；證明題．【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，得AN⊥平面BDM，所以AN⊥BM．而等腰△ABC中AC⊥BM，所以BM⊥平面ACD，最后根據(jù)面面垂直判定定理，得平面ABC⊥平面ACD；（2）根據(jù)四邊形ADNM中，對角線AN、DM互相垂直，得出SADNM=S△CAD=6，得S△CAD=8．用勾股定理算出BM的長，最后根據(jù)BM⊥平面ACD，結(jié)合錐體體積公式，可算出四面體D﹣ABC的體積．【解答】解：（1）∵AN⊥DM，AN⊥DB且DB∩DM=D，∴AN⊥平面BDM，∵BM?平面BDM，∴AN⊥BM又∵△ABC中，AB=BC且M為AC中點(diǎn)，∴AC⊥BM∵AN、AC是平面ACN內(nèi)的相交直線，∴BM⊥平面ACD，∵BM?平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD（2）連接MN，∵