全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題理科數(shù)學(xué)(天津)卷

2004年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（天津）卷數(shù)學(xué)(理工農(nóng)醫(yī)類)本試卷分第一卷（選擇題）和第二卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘第一卷（選擇題共60分）注意事項(xiàng)：答第一卷前，考生務(wù)勢(shì)必自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)、科目涂寫在答題卡上2.每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需變動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其余答案標(biāo)號(hào)答在試卷上的無(wú)效參照公式：假如事件A、B互斥，那么P(AB)P(A)P(B)假如事件A、B互相獨(dú)立，那么P(AB)P(A)P(B)柱體（棱柱、圓柱）的體積公式V柱體Sh此中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高一.選擇題：本大題共12小題，每題5分，共60分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是切合題目要求的1.i是虛數(shù)單位，(1i)(2i)=（）i3A.1i1i13i13iB.C.D.2.x12的解集為（）不等式xA.[1,0)B.[1,)C.(,1]D.(,1](0,)3.若平面向量b與向量a(1,2)的夾角是180，且b35，則b＝（）A.(3,6)B.(3,6)C.(6,3)D.(6,3)4.設(shè)P是雙曲線x2y21上一點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y0,F1、F2a29分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若|PF1|3，則|PF2|（）A.1或5B.6C.7D.95.若函數(shù)f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a=（）A.2B.2C.1D.142426.如圖，在棱長(zhǎng)為

2的正方體

ABCD

A1B1C1D1中，O

是底面

ABCD

的中心，

E、F分別是

CC1、AD

的中點(diǎn)，那么異面直線

OE

和FD1所成的角的余弦值等于

（）A.

105

B.

1554

2C.

D.5

37.若P(2,1)為圓(x1)2y225的弦AB的中點(diǎn)，則直線AB的方程是（）A.xy30B.2xy30C.xy10D.2xy508.已知數(shù)列{an}，那么“對(duì)隨意的nN*，點(diǎn)Pn(n,an)都在直線y2x1上”是“{an}為等差數(shù)列”的（）A.必需而不充分條件B.充分而不用要條件C.充要條件D.既不充分也不用要條件9.函數(shù)y2sin(2x)(x[0,])為增函數(shù)的區(qū)間是（）67]A.[0,]B.[,31212C.[,5]D.[5,]36610.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA13分別過(guò)BC、A1D1的兩個(gè)平行截面將長(zhǎng)方體分紅三部分，其體積分別記為V1VAEA1DFD1，V2VEBE1A1FCF1D1，V3VB1E1BC1F1C若V1:V2:V31:4:1，則截面A1EFD1的面積為（）A.410B.83C.413D.1611.函數(shù)y3x21（1x0）的反函數(shù)是（）A.y1log3x(x1)B.y1log3x(x1)1313C.y1log3x1)D.y1x1)x(log3x(3312.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是，且當(dāng)x[0,]時(shí)，f(x)sinx，則f(5（）)的值為231133A.B.C.D.2222第二卷（非選擇題共90分）注意事項(xiàng)：用鋼筆或圓珠筆挺接答在試卷上答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目填寫清楚二.填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分把答案填在題中橫線上13.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不一樣型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)目之比挨次為2:3:5，現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個(gè)容量為n的樣本，樣本中A種型號(hào)產(chǎn)品有16件那么此樣本的容量n=14.假如過(guò)兩點(diǎn)A(a,0)和B(0,a)的直線與拋物線yx22x3沒(méi)有交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是15.若(12x)2004a0a1xa2x2...a2004x2004(xR)，則(a0a1)(a0a2)(a0a3)...(a0a2004)（用數(shù)字作答）從1，3，5，7中任取2個(gè)數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，構(gòu)成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，此中能被5整除的四位數(shù)共有個(gè)（用數(shù)字作答）.解答題：本大題共6小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟17.（本小題滿分12分）已知tan()1，（1）求tan的值；（2）求sin2acos2的值421cos2（本小題滿分12分）從4名男生和2名女生中任選3人參加演講競(jìng)賽，設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中女生的人數(shù)1）求的散布列；2）求的數(shù)學(xué)希望；（3）求“所選3人中女生人數(shù)1”的概率（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F1）證明PA//平面EDB；2）證明PB⊥平面EFD；3）求二面角C—PB—D的大?。ū拘☆}滿分12分）已知函數(shù)f(x)ax3bx23x在x1處獲得極值（1）議論f(1)和f(1)是函數(shù)f(x)的極大值仍是極小值；（2）過(guò)點(diǎn)A(0,16)作曲線yf(x)的切線，求此切線方程（本小題滿分12分）已知定義在

R上的函數(shù)

f(x)

和數(shù)列

{an}

知足以下條件：a1

a,

an

f(an1)(n

2,

3,

4,

...),

a2

a1，f(an)

f(an1)

k(an

an1)(n

2,

3,

4,

...)，此中

a為常數(shù)，

k為非零常數(shù)（1）令

bn

an

1

an

(n

N*)

，證明數(shù)列

{bn}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)|k|1時(shí)，求limann（本小題滿分14分）橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為22，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（c0）的準(zhǔn)線l與x軸訂交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓訂交于P、Q兩點(diǎn)（1）求橢圓的方程及離心率；uuuruuur（2）若OPOQ0，求直線PQ的方程；3uuuruuur1PlMAQ（），過(guò)點(diǎn)且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓訂交于另一點(diǎn)，（）設(shè)APuuuuruuur證明FMFQ參照解答一.選擇題：此題考察基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每題5分，滿分60分1D2A3A4C5A6B7A8B9C10C11D12D二.填空題：此題考察基本知識(shí)和基本運(yùn)算，每題4分，滿分16分13.8014.(,1315.200416.300)4.解答題：本小題考察兩角和正切線，倍角的正弦、余弦公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考察基本運(yùn)算能力，滿分12分tantan1tan（1）解：tan()441tantan1tan1，有1tan41由tan()421tan2解得tan13（2）解法一：sin2cos22sincoscos21cos212cos212sincos11152costan2326解法二：由（1），tan1，得sin1cos1313∴sin2cos21cos2cos299∴cos29104于是cos22cos21，5sin22sincos2cos2335代入得sin2cos23955101cos2146518.本小題考察失散型隨機(jī)變量散布列和數(shù)學(xué)希望等觀點(diǎn)，考察運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題的能力滿分12分（1）解：可能取的值為0，1，2P(k)C2kC43k,k0,1,2C63所以，的散布列為012P131555（2）解：由（1），的數(shù)學(xué)希望為E0113211555（3）解：由（1），“所選3人中女生人數(shù)1”的概率為P(1)P(0)P(41)5本小題考察直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考察空間想象能力和推理論證能力，滿分12分方法一：（1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO∵底面ABCD是正方形，∴點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)在PAC中，EO是中位線，∴PA//EO而EO平面EDB且PA平面EDB，所以，PA//平面EDB（2）證明：∵PD⊥底面ABCD且DC底面ABCD，∴PDDC∵PD=DC，可知PDC是等腰直角三角形，而DE是斜邊PC的中線，∴DEPC①相同由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC而DE平面PDC，∴BCDE②由①和②推得DE平面PBC而PB平面PBC，∴DEPB又EFPB且DEIEFE，所以PB⊥平面EFD（3）解：由（2）知，PBDF，故EFD是二面角C—PB—D的平面角由（2）知，DEEF,PDDB設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則PDDCa,BD2aPBPD2BD23a，PCPD2DC22a12DEPCa22在RtPDB中，DFPDBDa2a6aPB3a3DE2a3在Rt2EFDEFD中，sinEFD，∴DF6a233所以，二面角C—PB—D的大小為3方法二：如下圖成立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)DCa（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EGaa依題意得A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,,)∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a,a,0)且22uuuruuura)PA(a,0,a),EG(a,0,22uuuruuurPA2EG，這表示PA//EG而EG平面EDB且PA平面EDB，∴PA//平面EDBuuuruuura,a)，故（2）證明；依題意得B(a,a,0)，PB(a,a,a)又DE(0,22uuuruuura2a2PBDE002PBDE由已知EFPB，且EFIDEE，所以PB平面EFDuuuruuur（3）解：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，PFPB，則(x0,y0,z0a)(a,a,a)進(jìn)而x0a,y0a,z0(1)a所以u(píng)uuraaa,(11)a)FE(x0,y0,z0)()a,(2222由條件EFuuuruuur0，即PB知，F(xiàn)EPBa2(1)a2(1)a20，解得1223∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(a,a,2a)，且uuur333a,a,uuura,a,2a)FE(a)，F(xiàn)D(366333uuuruuura2a22a20∴PBFD333即PBFD，故EFD是二面角C—PB—D的平面角uuuruuur2222aaaa∵FEFD，且91896uuur222uuur222aaaaa4a6a，|FE|6a，|FD|9363669993uuuruuurFEFD∴cosEFDuuuruuur|FE||FD|

a2166a26a63EFD3所以，二面角C—PB—D的大小為3本小題考察函數(shù)和函數(shù)極值的觀點(diǎn)，考察運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)和求曲線切線的方法，以及剖析和解決問(wèn)題的能力滿分12分（1）解：f(x)3ax22bx3，依題意，f(1)f(1)0，即3a2b30,3a2b30.解得a1,b0∴f(x)x33x,f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1,x1若x(,1)(1,)，則f(x)0，故f(x)在(,1)上是增函數(shù)，f(x)在(1,)上是增函數(shù)若x(1,1)，則f(x)0，故f(x)在(1,1)上是減函數(shù)所以，f(1)2是極大值；f(1)2是極小值（2）解：曲線方程為yx33x，點(diǎn)A(0,16)不在曲線上設(shè)切點(diǎn)為M(x0,y0)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)知足yx33x000因f(x)3(x21)，故切線的方程為yy03(x21)(xx)0000注意到點(diǎn)A（0，16）在切線上，有16(x33x0)3(x21)(0x0)00化簡(jiǎn)得x038，解得x02所以，切點(diǎn)為M(2,2)，切線方程為9xy160本小題主要考察函數(shù)、數(shù)列、等比數(shù)列和極限等觀點(diǎn)，考察靈巧應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)剖析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，滿分12分（1）證明：由b1a2a10，可得b2a3a2f(a2)f(a1)k(a2a1)0由數(shù)學(xué)概括法可證bnan1an0(nN*)由題設(shè)條件，當(dāng)n2時(shí)bnan1anf(an)f(an1)k(anan1)kbn1anan1anan1anan1所以，數(shù)列{bn}是一個(gè)公比為k的等比數(shù)列（2）解：由（1）知，bnkn1b1kn1(a2a1)(nn*)當(dāng)k1時(shí)，b1b2...bn1(a2a1)1kn1(n2)1k當(dāng)k1時(shí)，b1b2...bn1(n1)(a2a1)(n2)而b1b2...bn1(a2a1)(a3a2)...(anan1)ana1(n2)所以，當(dāng)k1時(shí)ana1(a2a1)1kn1(n2)1k上式對(duì)n1也成立所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為kn1ana(f(a)a)(nN*)1k當(dāng)k1時(shí)ana1(n1)(a2a1)(n2)上式對(duì)n1也成立，所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為ana(n1)(f(a)a)(nN*)，（2）解：當(dāng)|k|1時(shí)kn1limanlim[a(f(a)a)]nn1kf(a)aak本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計(jì)算，曲線和方程的關(guān)系等分析幾何的基本思想方法和綜合解題能力滿分14分x2y2（1）解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為21(a2)a2a2c22,由已知得a2c2(c).c解得a6,c2所以橢圓的方程為x2y2661，離心率e23（2）解：由（1）可得A（3，0）設(shè)直線PQ的方程為yk(x3)由方程組x2y262

1,yk(x3)得(3k21)x218k2x27k260依題意12(23k2)0，得6k633設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2)，則x1x218k23k2，①1x1x227k26②3k21由直線PQ的方程得y1k(x13),y2k(x23)于是y