人教A版高中數(shù)學選修2-3全冊同步課時練習

人教A版高中數(shù)學選修2-3全冊同步課時練習

1.1計數(shù)原理

第一課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

分層設(shè)計助學助記認知更深刻

________________填一填________________

一、分類加法計數(shù)原理

1.分類加法計數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不同的方

法，在第2類方案中有〃種不同的方法，那么完成這件事共有％=以土小種不同的方法.

2.分類加法計數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有如

種不同的方法，在第2類方案中有他種不同的方法，……在第”類方案中有恤種不同的方

法，那么完成這件事共有N=嗎+"2+…+，％種不同的方法.

二'分步乘法計數(shù)原理

1.分步乘法計數(shù)原理：完成一件事需要兩個步驟，做第1步有，〃種不同的方法，做第

2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.

2.分步乘法計數(shù)原理的推廣：完成一件事需要分成"個步驟，做第I步有叫種不同的

方法，做第2步有晚種不同的方法，……做第〃步有，斯種不同的方法，那么完成這件事共

有年=,邊乂加2乂…X”,種不同的方法.

三、分率加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別

1.分類加法計數(shù)原理針對的是“今堡”問題，其中各種方法相互獨立,用其中任何一

種方法都可以做完這件事.

2.分步乘法計數(shù)原理針對的是“幺龍”問題，各個步驟中的方法相互依存,只有各個

步驟都完成才算做完這件事.

________________判一判________________

判斷（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

1.在分類加法計數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同.（X）

2.在分類加法計數(shù)原理中，每類方案中的方法都能完成這件事.（J）

3.在分步乘法計數(shù)原理中，每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的.（J）

4.在分步乘法計數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個單獨的步驟都能完成

這件事.（X）

________________想一想________________

1.兩個計數(shù)原理主要解決什么問題？

提示：兩個計數(shù)原理主要解決完成一件事情的方法數(shù)問題.

2.在實際問題中如何判斷到底是用分類加法計數(shù)原理還是用分步乘法計數(shù)原理？

提示：關(guān)鍵在于看這種方法是能完成這件事還是完成這件事的一步，能獨立完成這件事

用分類加法計數(shù)原理，只能完成一步用分步乘法計數(shù)原理.

3.從甲地到乙地有3班汽車，兩班火車，則從甲地到乙地有多少種不同方法？

提示：從甲地到乙地，可以選擇乘坐汽車和火車兩類辦法，應(yīng)用分類加法計數(shù)原理，汽

車有3種，火車有2種，共有3+2=5種方法.

4.從甲地到乙地先乘火車，后乘汽車，火車有2趟，汽車有3班，從甲到乙有多少種

到達方法？

提示：完成從甲地到乙地這件事，分兩步，坐火車再坐汽車，分步完成，應(yīng)用分步乘法

計數(shù)原理，共有2X3=6種方法.

思考感悟：

________________練一練________________

1.某一數(shù)學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有7位同學只會用綜合法證明，有

5位同學只會用分析法證明，現(xiàn)任選1名同學證明這個問題，不同的選法種數(shù)為.

解析：由分類加法計數(shù)原理可得，有7+5=12種不同的選法.

答案：12

2.一個科技小組有3名男同學，5名女同學，從中任選1名同學參加學科競賽，不同

的選派方法共有種.

解析：任選1名同學參加學科競賽，有兩類方案：

第一類，從男同學中選取1名參加學科競賽，有3種不同的選法；

第二類，從女同學中選取1名參加學科競爭，有5種不同的選法.

由分類加法計數(shù)原理得，不同的選派方法共有3+5=8（種）.

答案：8

3.在平面直角坐標系內(nèi)，若點P（x,y）的橫、縱坐標均在｛0,1,2,3｝內(nèi)取值，則不同的點

P有個.

解析：確定點P的坐標分兩步，即分布確定點尸的橫坐標與縱坐標.

第一步，確定橫坐標，從0,1,2,3四個數(shù)字中選一個，有4種方法；

第二步，確定縱坐標，從0,1,2,3四個數(shù)字中選一個，也有4種方法.

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，所有不同的點尸的個數(shù)為4X4=16.

答案：16

4.人們習慣把最后一位是6的多位數(shù)叫作“吉祥數(shù)”，則無重復數(shù)字的四位吉祥數(shù)（首

位不能是零）共有個.

解析：第一步，確定千位，除去。和6,有8種不同的選法；第二步，確定百位，除去

6和千位數(shù)字外，有8種不同的選法；第三步，確定十位，除去6和千位、百位上的數(shù)字外，

有7種不同的選法.故共有8X8X7=448個不同的“吉祥數(shù)”.

答案：448

二測

知識點一分類加法計數(shù)原理

1.一件工作可以用2種方法完成，有3人會用第1種方法完成，另外5人會用第2種方

法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是（）

A.8B.15

C.16D.30

解析：運用分類加法計數(shù)原理可得，不同選法的種數(shù)是5+3=8.

答案：A

2.在一寶寶面前擺著4件學習用品，3件生活用品，4件娛樂用品，若他只抓其中的一

件物品，則他抓的結(jié)果有種.

解析：抓物品的不同結(jié)果分三類，由分類加法計數(shù)原理，得共有4+3+4=11（種）.

答案：11

知識點二分步乘法計數(shù)原理

3.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3條不同顏色的長褲，如果選一條長褲與一件上衣配成一

套，那么不同的配法種數(shù)為（）

A.7B.12

C.64D.81

解析：要完成配套需分兩步：第1步，選上衣，從4件上衣中任選一件，有4種不同選

法；第2步，選長褲，從3條長褲中任選一條，有3種不同選法.故共有4X3=12（種）不同

的配法.

答案：B

4.某乒乓球隊里有男隊員6人，女隊員5人，從中選取男、女隊員各一人組成混合雙

打隊，不同的組隊總數(shù)有（）

A.11種B.30種

C.56種D.6$種

解析：先選1男有6種方法，再選1女有5種方法，故共有6X5=30種不同的組隊方

法.故選B項.

答案：B

知識點三兩個原理的綜合應(yīng)用

5.某校學生會由高一年級5人，高二年級6人，高三年級4人組成.若要選出不同年級

的兩人參加市里組織的活動，有多少種不同的選法？

解析：分三類：（1）選出的是高一、高二學生，有5X6=30（種）選法；（2）選出的是高一、

高三學生，有5X4=20（種）選法；（3）選出的是高二、高三學生，有6X4=24（種）選法.由分

類加法計數(shù)原理，可得共有N=30+20+24=74（種）不同的選法.

6.現(xiàn)有高一四個班的學生34人，其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10

人，他們自愿組成數(shù)學課外小組.

（1）選其中一人為負責人，有多少種不同的選法？

（2）每班選一名組長，有多少種不同的選法？

（3）推選兩人做中心發(fā)言，這兩人需來自不同的班級，有多少種不同的選法？

解析：（1）分四類：第一類，從一班學生中選1人，有7種選法；第二類，從二班學生

中選1人，有8種選法；第三類，從三班學生中選1人，有9種選法；第四類，從四班學生

中選1人，有10種選法.

所以，共有不同的選法N=7+8+9+10=34（種）.

（2）分四步：第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學生中選一人任組長.

所以，共有不同的選法N=7X8X9X10=5040（種）.

（3）分六類，每類又分兩步：從一、二班學生中各選1人，有7X8種不同的選法；從一、

三班學生中各選1人，有7X9種不同的選法；從一、四班學生中各選1人，有7義10種不

同的選法；從二、三班學生中各選I人，有8X9種不同的選法；從二、四班學生中各選1

人，有8X10種不同的選法；從三、四班學生中各選1人，有9X10種不同的選法.

所以，共有不同的選法N=7X8+7X9+7X10+8X9+8X10+9X10=431（種）.

7.某單位職工義務(wù)獻血，在體驗合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7

人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.

（1）從中任選1人去獻血，有多少種不同的選法？

（2）從四種血型的人中各選1人去獻血，有多少種不同的選法？

解析：從O型血的人中選1人有28種不同的選法；

從A型血的人中選1人有7種不同的選法；

從B型血的人中選1人有9種不同的選法；

從AB型血的人中選1人有3種不同的選法.

（1）任選1人去獻血，即無論選哪種血型的哪一個人，"任選I人去獻血”這件事情都

可以完成，所以用分類加法計數(shù)原理，有28+7+9+3=47種不同的選法.

（2）要從四種血型的人中各選1人，即從每種血型的人中各選出1人后，“各選1人去

獻血”這件事情才完成，所以用分步乘法計數(shù)原理，有28X7X9X3=5292種不同的選法.

課時測評難易適中應(yīng)考更高效

__________基礎(chǔ)達標__________

一、選擇題

1.一樓到二樓有4個通道，二樓到三樓有2個通道，則從一樓到三樓的不同走法有（）

A.2種B.4種

C.6種D.8種

解析：根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，從一樓到三樓的不同走法有4X2=8（種）.故選D項.

答案：D

2.甲、乙兩個班級分別有29名、30名學生，從兩個班中選一名學生，則（）

A.有29種不同的選法

B.有30種不同的選法

C.有59種不同的選法

D.有29X30種不同的選法

解析：從兩個班中選一名學生，可以從甲班中選，也可以從乙班中選,分兩類，利用分

類加法計數(shù)原理得不同的選法有29+30=59（種）.

答案：C

3.已知x￡{1,2,3,4},yd{5,6,7,8},則孫可表示不同值的個數(shù)為（)

A.16B.4

C.8D.15

解析：完成孫這件事分兩步走，第一步：從集合{1,2,3,4}中選一個數(shù),共有4種選法;

第二步：從集合{5,6,7,8}中選一個數(shù)，共有4種選法，共有4X4=16種選法.其中3X8=4X6,

所以.可表示的不同值的個數(shù)為15.

答案：D

4.現(xiàn)有6名同學去聽同時進行的5個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個

講座，不同選法的種數(shù)是（）

A.56B.65

5X6X5X4X3X2_

C.2D.6X5X4X3X2

解析：每位同學都有5種選擇，則6名同學共有56種不同的選法，故選A項.

答案：A

5.已知集合朋={1,-2,3}.N={-4,5,6,—7},從兩個集合中各取一個元素作為點

的坐標，可得直角坐標系中第一、二象限不同點的個數(shù)是（）

A.18B.16

C.14D.10

解析：分兩類：第一類M中取橫坐標，N中取縱坐標，共有3X2=6（個）第一、二象限

的點；第二類〃中取縱坐標，N中取橫坐標，共有2X4=8（個）第一、二象限的點.綜上可

知，共有6+8=14（個）不同的點.

答案：C

6.從集合{1,2,3,…，10}中任意選出3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等比數(shù)列，這樣的

等比數(shù)列的個數(shù)為（）

A.3B.4

C.6D.8

解析：以1為首項的等比數(shù)列為1,2,4；1,3,9.以2為首項的等比數(shù)列為2,4,8.以4為首項

的等比數(shù)列為4,6,9.把這4個數(shù)列的順序顛倒，又得到4個數(shù)列，所以所求的數(shù)列共有2X（2

+1+1）=8（個）.

答案：D

7.十字路口來往的車輛，如果不允許回頭，則不同的行車路線有（）

A.24種B.16種

C.12種D.10種

4

13

2

解析：完成該任務(wù)可分為四類，從每一個方向的入口進入都可作為一類，如圖，從第1

個入口進入時，有3種行車路線；同理，從第2個，第3個，第4個入口進入時，都分別有

3種行車路線，由分類加法計數(shù)原理可得共有3+3+3+3=12種不同的行車路線，故選C

項.

答案：C

二、填空題

8.從正方體的6個面中選取3個面，其中有2個面不相鄰的選法共有種.

解析：有2個面不相鄰即有一組對面，所以3個面中有2個面不相鄰的選法有3X4=

12（種）.

答案：12

9.甲有3本不同的書，乙去借閱，并且至少借1本，則不同借法的種數(shù)為.（用

數(shù)字作答）

解析：由題意知可分為三類：第一類，借一本，共有3種方法；第二類，借兩本，共有

3種方法；第三類，借三本，共有1種方法.所以不同借法的種數(shù)為3+3+1=7.

答案：7

10.直線方程Ar+By=0,若從0,1,2,3,5,7這6個數(shù)字中每次取兩個不同的數(shù)作為A,

B的值，則可表示條不同的直線.

解析：若A或B中有一個為零時，有2條；當時，有5X4=20條，則共有20

+2=22（條），即所求的不同的直線共有22條.

答案：22

11.星合戶="1},Q=[y,],2},其中x,yC{l,2,…，9}且P。，把滿足上述條件的

一對有序整數(shù)（x,y）作為一個點，這樣的點的個數(shù)是.

解析:當x=2時，y可取34,5,6,7,8,9,共有7個點.當x=y時，y可取3,4,5,6,7,8,9,

共有7個點.所以這樣的點的個數(shù)為7+7=14.

答案：14

12.將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的

標號與所填的數(shù)字均不同的填法有種.

解析：由題意知本題是一個分類計數(shù)問題，

第一格填2,則第二格有A；,第三、四格自動對號入座，不用排列；

第一格填3,則第三格有A；,第二、四格自動對號入座，不用排列；

第一格填4,則第四格有A；,第二、三格自動對號入座，不用排列；

根據(jù)分類計數(shù)原理知共有3A；=9.

答案：9

三、解答題

13.某節(jié)目中準備了兩個信箱，其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信，甲信

箱中有30封，乙信箱中有20封，現(xiàn)由主持人抽獎確定幸運觀眾，若先確定一名幸運之星，

再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴，有多少種不同的結(jié)果？

解析：抽獎過程分三步完成，考慮到幸運之星可分別出現(xiàn)在兩個信箱中，故可分兩種情

形考慮，分兩大類：

(1)幸運之星在甲箱中抽，先定幸運之星，再在兩箱中各定一名幸運伙伴有30X29X20

=17400種結(jié)果.

(2)幸運之星在乙箱中抽，同理有20X19X30=11400種結(jié)果.

因此共有不同結(jié)果17400+11400=28800種.

14.用1,2,3,4四個數(shù)字組成可有重復數(shù)字的三位數(shù)，這些數(shù)從小到大構(gòu)成數(shù)列｛斯｝.

(1)這個數(shù)列共有多少項？

(2)若斯=341,求〃的值.

解析：(1)由題意，知這個數(shù)列的項數(shù)就是由123,4四個數(shù)字組成的可有重復數(shù)字的三

位數(shù)的個數(shù).

由于每個數(shù)位上的數(shù)都有4種取法，

由分步乘法計數(shù)原理，得滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)為4X4X4=64,

即數(shù)列｛斯｝共有64項.

(2)比341小的數(shù)分為兩類：

第一類，百位上的數(shù)是1或2,有2X4X4=32個三位數(shù)；

第二類，百位上的數(shù)是3,十位上的數(shù)可以是1,2,3中的任一個，個位上的數(shù)可以是123,4

中的任一個，有3X4=12個三位數(shù)，

所以比341小的三位數(shù)的個數(shù)為32+12=44,

因此341是這個數(shù)列的第45項，即“=45.

15.某出版社的7名工人中,有3人只會排版，2人只會印刷，還有2人既會排版又會印

刷，現(xiàn)從7人中安排2人排版，2人印刷，有幾種不同的安排方法？

解析：首先分類的標準要正確，可以選擇“只會排版”“只會印刷"''既會排版又會印

刷”中的一個作為分類的標準.下面選擇“既會排版又會印刷”作為分類的標準，按照被選

出的人數(shù)，可將問題分為三類：

第一類：2人全不被選出，即從只會排版的3人中選2人，有3種選法；只會印刷的2

人全被選出，有1種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有3X1=3種選法.

第二類：2人中被選出一人，有2種選法.若此人去排版，則再從會排版的3人中選1

人，有3種選法，只會印刷的2人全被選出，有1種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有2X3X1

=6種選法；若此人去印刷，則再從會印刷的2人中選1人，有2種選法，從會排版的3人

中選2人，有3種選法，由分步乘法計數(shù)原理知共有2X3X2=12種選法.再由分類加法計

數(shù)原理知共有6+12=18種選法.

第三類：2人全被選出，同理共有16種選法.

所以共有3+18+16=37種選法.

16.某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分；平一場得1分；負一場得0分.一

球隊打完15場，積分33分.若不考慮順序，問該隊勝、負、平的情況共有多少種.

解析：總積分的來源分為勝、平、負3類，可以考慮用分類加法計數(shù)原理.設(shè)該隊勝x

場，平y(tǒng)場,則負(15—x—y)場,其中x,yGN,由題意,得3x+y=33,又因為y=33—3x》0,

所以xWll且x+yW15,所以有如下三種情況：

尸x=l。l，,或Ix尸=130,,或1x=9,

尸6.

故該隊勝、負、平的情況共有3種.

第二課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用

II)分層設(shè)計助學助記認知更深刻

________________填一填________________

1.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別和聯(lián)系

(1)聯(lián)系：分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方

法種數(shù)的問題.

(2)區(qū)別：分類加法計數(shù)原理針對的是分類問題，其中各種方法相互獨立,用其中任何

一種方法都可以做完這件事.分步乘法計數(shù)原理針對的是分步問題，各個步驟中的方法相互

依存,只有各個步驟都完成之后才算做完這件事.

2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題的標準

(1)分類要做到不重不漏,分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理

求和，得到總數(shù).

(2)分步要做到步驟完整,步與步之間要相互獨立,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每

一步的方法數(shù)相乘得到總數(shù).

________________判一判________________

判斷(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

1.一個科技小組中有4名女同學，5名男同學，從中任選一名同學參加學科競賽，共

有不同的選派方法9種.(J)

2.一個科技小組中有4名女同學，5名男同學若從中選任一名女同學和一名男同學參

加學科競賽，共有不同的選派方法20種.(J)

3.某校高一年級共8個班，高二年級共6個班，從中選一個班級擔任星期一早晨升旗

任務(wù)，安排方法共有14對I(V)

4.在一次運動會上有四項比賽，冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況

共有43種.(X)

5.3個不同的小球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放一個小球，共有種.(X)

6.有三只口袋裝有小球，一只裝有5個白色小球，一只裝有6個黑色小球，一只裝有

7個紅色小球，若每次從中取兩個不同顏色的小球，共有36種不同的取法.(X)

7.由123,4組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為24.(J)

________________想一想________________

1.有紅、黃、藍旗各3面，每次升1面、2面、3面在某一旗桿上縱向排列，表示不同

的信號，順序不同也表示不同的信號，共可以組成多少種不同的信號？某同學解答如下：

每次升1面旗可組成3種不同的信號；

每次升2面旗可組成3X2=6種不同的信號；

每次升3面旗可組成3X2X1=6種不同的信號，

根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，共有不同信號3+6+6=15利I他解答的對么，問題出在哪

里？

提示：每次升起2面或3面旗時，顏色可以相同.

每次升I面旗可組成3種不同的信號；

每次升2面旗可組成3X3=9種不同的信號；

每次升3面旗可組成3X3X3=27種不同的信號；

根據(jù)分類加法計數(shù)原理得，共可組成：3+9+27=39種不同的信號.

審題時要細致，把題意弄清楚.本題中沒有規(guī)定升起旗子的顏色不同，故既要考慮升起

旗子的面數(shù)，又要考慮其顏色，不可偏廢遺漏.

2.甲、乙、丙、丁4名同學爭奪數(shù)學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍，且每門

學科只有1名冠軍產(chǎn)生，則不同的冠軍獲得情況有34還是43種？

提示：要完成的“一件事”是“爭奪3門學科知識競賽的冠軍，且每門學科只有1名冠

軍產(chǎn)生”.可先舉例說出其中的一種情況，如數(shù)學、物理、化學3門學科知識競賽的冠軍分

別是甲、甲、丙，可見研究的對象是“3門學科”，只有3門學科各產(chǎn)生1名冠軍，才完成

了這件事，而4名同學不一定每人都能獲得冠軍，故完成這件事分三步.

第1步，產(chǎn)生第1個學科冠軍，它一定被其中1名同學獲得，有4種不同的獲得情況;

第2步，產(chǎn)生第2個學科冠軍，因為奪得第1個學科冠軍的同學還可以去爭奪第2個學

科的冠軍，所以第2個學科冠軍也是由4名同學去爭奪，有4種不同的獲得情況；

第3步，同理，產(chǎn)生第3個學科冠軍，也有4種不同的獲得情況.

由分步乘法計數(shù)原理知，共有4X4X4=43=64種不同的冠軍獲得情況.

此類問題是一類元素允許重復選取的計數(shù)問題，可以用分步乘法計數(shù)原理來解決，關(guān)鍵

是明確要完成的一件事是什么.也就是說，用分步乘法計數(shù)原理求解元素可重復選取的問題

時，哪類元素必須“用完”就以哪類元素作為分步的依據(jù).

思考感悟：

________________練一練

1.31+a2）Si+/，2）S+，2+。3）完全展開后的項數(shù)為（）

A.9B.12

C.18D.24

解析：由分步乘法計數(shù)原理得，完全展開后的項數(shù)為2X2X3=12.

答案：B

2.某年級要從3名男生，2名女生中選派3人參加某次社區(qū)服務(wù)，如果要求至少有1

名女生，那么不同的選派方案有（）

A.6種B.7種

C.8種D.9種

解析：可按女生人數(shù)分類：若選派一名女生，有2X3=6種；若選派2名女生，則有3

種.由分類加法計數(shù)原理，共有9種不同的選派方法.

答案：D

3.小張正在玩“QQ農(nóng)場”游戲，他計劃從倉庫里的玉米、土豆、茄子、辣椒、胡蘿

卜這5種種子中選出4種分別種植在四塊不同的空地上（一塊空地只能種植一種作物），若小

張已決定在第一塊空地上種茄子或辣椒，則不同的種植方案共有種.

解析：當?shù)谝粔K地種茄子時，有4義3義2=24種不同的種法；當?shù)谝粔K地種辣椒時，有

4X3X2=24種不同的種法，故共有48種不同的種植方案.

答案：48

4.如圖所示，從點A沿圓或三角形的邊運動到點C,則不同的走法有種.

解析：由A直接到C有2種不同的走法，由A經(jīng)點B到C有2義2=4種不同的走法.因

此由分類加法計數(shù)原理共有2+4=6種不同走法.

答案：6

二測戀用呈改加點句「川絳更靖港

知識點一選取與分配問題

1.某外語組有9人，每人至少會英語和日語中的一門，其中7人會英語，3人會日語，

從中選出會英語和日語的各一人，有多少種不同的選法？

解析：由題意9人中既會英語又會日語的“多面手”有1人.則可分三類：

第一類：“多面手”去參加英語時，選出只會日語的一人即可，有2種選法；

第二類：“多面手”去參加日語時，選出只會英語的一人即可，有6種選法；

第三類：“多面手”既不參加英語又不參加日語，則需從只會日語和只會英語中各選一

人，有2X6=12種方法.

故共有2+6+12=20種選法.

2.有4位老師在同一年級的4個班級中各教一個班的數(shù)學，在數(shù)學考試時，要求每位

老師均不在本班監(jiān)考，則安排監(jiān)考的方法種數(shù)是()

A.11B.10

C.9D.8

解析：法一：設(shè)四個班級分別是A,B,C,D,它們的老師分別是a,b,c,cl,并設(shè)a

監(jiān)考的是8,則剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級，共有3種不同的方法；同理當a

監(jiān)考C,。時，剩下的三個老師分別監(jiān)考剩下的三個班級也各有3種不同的方法.這樣，由

分類加法計數(shù)原理知共有3+3+3=9種不同的安排方法.

法二：讓a先選，可從8,C,。中選一個，即有3種選法.若選的是8,則6從剩下

的3個班級中任選一個，也有3種選法，剩下的兩個老師都只有一種選法，根據(jù)分步乘法計

數(shù)原理知，共有3X3X1X1=9種不同安排方法.

答案：C

知識點二組數(shù)問題

3.從1,3,579這5個數(shù)中，每次取出2個不同的數(shù)分別記為a,b,共可得到1g。一電6

的不同值的個數(shù)是()

A.9B.10

C.18D.20

解析：1g“一lgIgf有多少個不同值，只要看與不同值的個數(shù)即可.分兩步分別

取出a,b；第1步，從5個數(shù)中取出1個數(shù)作為a,有5種取法；第2步，從剩下的4個數(shù)

中取出1個數(shù)作為從有4種取法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5X4=20(種)取法.由于

1339

]=$,j=],故Iga—1g方的不同值的個數(shù)為20—2=18.

答案：C

4.用0,1,2,3,4五個數(shù)字，

(1)可以排出多少個三位數(shù)字的電話號碼？

(2)可以排成多少個三位數(shù)？

(3)可以排成多少個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù)？

解析：(1)三位數(shù)字的電話號碼，首位可以是0,數(shù)字也可以重復，每個位置都有5種排

法，共有5X5X5=53=125種.

(2)三位數(shù)的首位不能為0,但可以有重復數(shù)字，首先考慮首位的排法，除0外共有4種

方法，第二、三位可以排0,因此，共有4X5X5=100種.

(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù)，末位數(shù)字可取0,2,4,因此，可以分兩類，一類是末位數(shù)字是

0,則有4X3=12種排法；一類是末位數(shù)字不是0,則末位有2種排法，即2或4,再排首

位，因0不能在首位，所以有3種排法，十位有3種排法，因此有2X3X3=18種排法.因

而有12+18=30種排法，即可以排成30個能被2整除的無重復數(shù)字的三位數(shù).

知識點三涂色問題

5.如圖，用4種不同的顏色涂圖中的矩形A,B,C,D,要求相鄰的矩形涂色不同，則

不同的涂法有（）

C

A.72種B.48種

C.24種D.12種

解析：法一：先分兩類.一是四種顏色都用，這時A有4種涂法，8有3種涂法，C有

兩種涂法，。有一種涂法，共有4X3X2X1=24（種）涂法；二是用三種顏色，這時A,B,C

的涂法有4X3X2=24（種），。只要不與C同色即可，故。有兩種涂法.故不同的涂法共有

24+24X2=72（種）.故選A.

法二：分步先給A涂4種方法，再給B涂3種，再給C涂2種，最后涂。有3種方法，

完成4步，完成涂色共有4X3X2X3=72種，故選A項.

答案：A

6.如圖所示，一環(huán)形花壇分成A,B,C,￡＞四塊，現(xiàn)有四種不同的花供選種，要求在

每塊里種一種花，且相鄰的兩塊種不同的花，則不同的種法種數(shù)為（）

A.96B.84

C.60D.48

解析：依次種A,B,C,。4塊，當C與A種同一種花時，有4X3X1X3=36種種法；

當C與A所種的花不同時，有4X3X2X2=48種種法.由分類加法計數(shù)原理知，不同的種

法種數(shù)為36+48=84.

答案：B

知識點四計數(shù)原理在幾何中的應(yīng)用

7.從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60。的共有（）

A.24對B.30對

C.48對D.60對

解析：如圖，在上底面中選囪。，四個側(cè)面中的面對角線都與它成60。，共8對，同樣

ACi對應(yīng)的也有8對，下底面也有16對，共有32對；左右側(cè)面與前后側(cè)面中共有16對.所

以全部共有48對.

答案：C

8.已知集合〃={-3,-2,-1,0,1,2},a,b^M,P（a,6）表示平面上的點.

（1）尸可表示平面上多少個不同的點？

（2）P可表示平面上多少個第二象限內(nèi)的點？

⑶P可表示多少個不在直線y—x上的點？

解析：（1）確定一點坐標分兩步，先確定橫坐標有6種方法，再確定縱坐標有6種方法，

所以共有6X6=36種不同坐標.

（2）確定a有3種，確定人有兩種，根據(jù)分步計數(shù)原理，第二象限內(nèi)點的個數(shù)是3X2=

6.

（3）點P（mb）在直線y=x上的充要條件是。因此。和b必須在集合M中取同一元素，

共有6種取法，即在直線y=x上的點有6個.結(jié)合（1）可得不在直線＞=x上的點共有36—6

=30（個）.

三測|僮時測評難易適中應(yīng)考更高效

__________基礎(chǔ)達標__________

一、選擇題

1.由數(shù)字0,123,4可組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是（）

A.60B.48

C.24D.10

解析：分3步.第一步：首位數(shù)有4種不同的選法；

第二步：十位數(shù)字有4種不同的選法；

第三步：個位數(shù)字有3種不同的選法.

由分步乘法計數(shù)原理知可以組成無重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)是4X4X3=48.故選B項.

答案：B

%冬

La-CZH

—I1------0----

2.如圖所示，電路中有4個電阻和一個電流表，若沒有電流通過電流表，其原因僅因

電阻斷路的可能性共有（）

A.9種B.10種

C.11種D.12種

解析：分兩類：第1類，品斷路時，若R斷路，Ri，&有4種可能，若心不斷路，則

尺,R至少有一個斷路，有3種可能，故&斷路時有7種可能.

第2類，凡不斷路時，以必斷路，此時，&,R3共有4種可能，則共有4+7=11種可

能.故選C項.

答案：C

3.（“1+42+43+“4＞31+匕2＞（。1+。2+。3）展開后共有不同的項數(shù)為（）

A.9B.12

C.18D.24

解析：由分步乘法計數(shù)原理得共有不同的項數(shù)為4X2X3=24.故選D項.

答案：D

4.我們把各位數(shù)之和為6的四位數(shù)稱為“六合數(shù)”（如2013是“六合數(shù)”），則“六合

數(shù)”中首位為2的“六合數(shù)”共有（）

A.18個B.15個

C.12個D.9個

解析：依題意知，這個四位數(shù)的百位數(shù)、十位數(shù)、個位數(shù)之和為4.由4,0,0組成3個數(shù)，

分別為400,040,004；由3,1,0組成6個數(shù)，分別為310,301,130,103,013,031；由2,2,0組成3

個數(shù)，分別為220,202,022；由2,1,1組成3個數(shù)，分別為211,121,112,共計3+6+3+3=

15個.

答案：B

5.由數(shù)字1,2,3,4組成的三位數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增（如“134”）或嚴格遞減（如

“421”）順序排列的數(shù)的個數(shù)是（）

A.4B.8

C.16D.24

解析：由題意分析知，嚴格遞增的三位數(shù)只要從4個數(shù)中任取3個，共有4種取法；同

理嚴格遞減的三位數(shù)也有4個，所以符合條件的數(shù)的個數(shù)為4+4=8.

答案：B

6.五名護士上班前將外衣放在護士站，下班后回護士站取外衣，由于燈光暗淡，只有

兩人拿到了自己的外衣，另外三人拿到別人外衣的情況有（）

A.60種B.40種

C.20種D.10種

解析：設(shè)五名護士分別為A,B,C,D,E.其中兩人拿到自己的外衣，可能是AB,AC,

AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10種情況，假設(shè)A,8兩人拿到自己的外衣，則

C,D,E三人不能拿到自己的外衣，所以只有C取￡>,。取E,E取C或C取E,。取C,

E取。兩種情況.所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，應(yīng)有10X2=20種情況.

答案：C

7.從6名志愿者中選4人分別從事翻譯、導游、導購、保潔四項不同的工作，若其中

甲、乙兩名志愿者不能從事翻譯工作，則選派方案共有（）

A.280種B.240種

C.180種D.96種

解析：由于甲、乙不能從事翻譯工作，因此翻譯工作從余下的4名志愿者中選1人，有

4種選法.后面三項工作的選法有5X4X3種，因此共有4X5X4X3=240（種），故選B項.

答案：B

二、填空題

8.從集合｛0,1,2,3,5,7,11｝中任取3個不同元素分別作為直線方程Ar+By+C=0中的A,

B,C,所得直線經(jīng)過坐標原點的有條.

解析：因為過原點的直線常數(shù)項為0,所以C=0,從集合中的6個非零元素中任取一

個作為系數(shù)A,有6種方法，再從其余的5個元素中任取一個作為系數(shù)B,有5種方法，由

分步乘法計數(shù)原理得，適合條件的直線共有IX6X5=30（條）.

答案：30

9.甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項志愿者活動，要求每人

參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面.不同的安排方法共有

種.

解析：分三類：若甲在周一，則乙丙有4X3=12種排法；

若甲在周二，則乙丙有3X2=6種排法；

若甲在周三，則乙丙有2X1=2種排法.

所以不同的安排方法共有12+6+2=20種.

答案：20

10.從2,3,456,7,8,9這8個數(shù)中任取2個不同的數(shù)分別作為一個對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)，

則可以組成個不同的對數(shù)值.

解析：從8個數(shù)中選兩個數(shù)字，且這兩個數(shù)字不相同的方法數(shù)有8X7=56種，又log24

=log39,log42=log93,Iog23=log4%Iog32=log94重復了4次，要減去4,...共有不同的對

數(shù)值56-4=52個.

答案：52

II.平面內(nèi)有7個點，其中有5個點在一條直線上，此外無三點共線，經(jīng)過這7個點可

連成不同直線的條數(shù)是.

解析：設(shè)5個點所在直線為/,直線外兩點為A,8.解決本題可分三類：

第一類，確定直線的兩點都在直線/上時，確定的直線為/,只有這1條直線；

第二類，確定直線的兩點中一點在/上，另一點不在/上時，可以分兩步完成選這兩個

點的任務(wù)，第一步從共線的5點中選一個點，有5種選法，第二步，從A、8中選一個點，

有2種選法，故共有5X2=10（條）直線；

第三類，確定直線的兩點均不在/上，則只能是A、B兩點，故能確定1條直線.

由分類加法計數(shù)原理，共可確定1+10+1=12（條）直線.

答案：12

12.在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A,8兩種作物，每種作物種植一

壟，為有利于作物生長，要求A,B兩種作物的間隔不小于6壟，則種植48的不同方法

有種.（用數(shù)字作答）

解析：按從左往右把各壟田地依次列為1,2,3,…，10.分兩步：

第一步，先選壟,有1,8；1,9；1,10；2,9；2,10；3,10,共6種選法；

第二步，種植A,B兩種作物，有2種選法.

因此，由分步乘法計數(shù)原理，

不同的選壟種植方法有6X2=12（種）.

答案：12

三、解答題

13.用6種不同的顏色給圖中的4個格子涂色，每個格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個

格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，不同的涂色方法共有多少種（用數(shù)字作答）.

解析：不妨將圖中的4個格子依次編號為①②③④，當①③同色時，有6X5X1X5=

150種方法；當①③異色時，有6X5X4X4=480種方法.所以共有150+480=630種方法.

14.用0,123,4,5可以組成多少個無重復數(shù)字且比2000大的四位偶數(shù)？

解析：分類末位分別為0,2,4,

末位為0的數(shù)字有4X4X3=48

末位為2的數(shù)字有3X4X3=36

末位為4的數(shù)字有3X4X3=36

由加法原理共有48+36+36=120,...比2000大的四位偶數(shù)有120個.

__________能力提升__________

15.已知集合A=｛m，a2,的，a4],集合8=｛囪，岳｝,其中即織i=1,2,3,4,）=1,2）

均為實數(shù).

（1）從集合4到集合B能構(gòu)成多少個不同的映射？

（2）從集合B到集合A能構(gòu)成多少個不同的映射？

解析：（1）依據(jù)映射的定義知從集合A到集合B的映射是指集合A中的元素在集合B中

都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，因此集合A中的每一個元素〃。=1,2,3,4）與集合B中元素的

對應(yīng)方法都有2種，所以根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，構(gòu)成的映射有2X2X2X2=24=

16（個）.

（2）集合B的每一個元素與與集合4中元素的對應(yīng)方法都有4種.故構(gòu)成B-A的映射

有4X4=42=16（個）.

16.某人有4種顏色的燈泡（每種顏