高層辦公樓電梯問題

高層辦公樓電梯問題摘要隨著社會的發(fā)展，人們對電梯的需求量也在不斷增加，電梯問題也隨之而來。本文著重探討如何合理地調控使用現(xiàn)有電梯，提高電梯的服務效率。針對該寫字樓在上高峰時期出現(xiàn)的人員擁擠，電梯調度供不應求的現(xiàn)象，分別在不同的約束條件下建立了優(yōu)化的電梯調運模型。問題一中，由于電梯數(shù)目固定，為使電梯能盡可能地把各層樓的人流快速送到，減少候梯時間，故只能通過優(yōu)化電梯的調度方案，減少每部電梯運行過程中的?？看螖?shù)來縮短電梯平均往返運行時間，以達到提高電梯運行效率的目的。通過計算機仿真電梯運行情況，我們得到分區(qū)越多，電梯平均往返時間越短，電梯運行越高效。因此對樓層進行分區(qū)，每部電梯分別服務特定樓層，我們將整個樓層分為六個服務區(qū)，每區(qū)分配一部電梯。通過對各區(qū)域電梯平均往返時間的計算，得出每一區(qū)域運送完所有人員所需時間，將各個區(qū)域作為動態(tài)規(guī)劃的各個階段，每個區(qū)域的最高樓層作為各階段的狀態(tài)變量，以時間作為權值，建立動態(tài)規(guī)劃中最短路問題的模型，運用Floyd算法，得出運送完所有人員所需時間最短條件下的最優(yōu)路徑，即得到樓層最優(yōu)分配方案。問題二中，由于電梯分段服務可以縮短電梯運行周期，增加單位時間運送的人數(shù)。所以我們以此為依據(jù)，考慮電梯單次運行時間的限制，及運送人數(shù)的限制，并結合電梯的成本進行數(shù)學規(guī)劃。從而得到所要安裝的電梯的數(shù)量、檔次及每部電梯的服務區(qū)段。關鍵詞：動態(tài)規(guī)劃matlab仿真非線性規(guī)劃Floyd算法一、問題重述每天早上，上班的一段時間內(nèi)，在一棟寫字樓上班的人們隨機地走進大樓，乘電梯到達各層。結果有幾臺電梯在高峰期每一層都停下來上下一兩位乘客，這樣的浪費造成了高峰期嚴重的電梯擁擠，常常碰到再5分鐘就遲到了但等了好長時間電梯還沒來的情況，侯梯的人焦急萬分。所以公司強烈要求設計一個合理有效的電梯調度運行方案。根據(jù)以下已知條件，建立模型解決后邊問題。(1)數(shù)據(jù)樓層人數(shù)樓層人數(shù)樓層人數(shù)樓層人數(shù)1—92361720025205220810139182002620531771127219200271404222122722020028136513013272212072913261811427022207301327191153002320782361626424207表l各樓層辦公人數(shù)(個)一覽表第一層的高度為7.62m，從第二層起相鄰樓層之間的高度均為3.9lm；電梯的最大運行速度是304.8m/min，電梯由速度0線性增加到全速，其加速度為1.22m/s2；電梯的容量為19人.每個乘客上、下電梯的平均時間分別為0.8s和0.5s，開關電梯門的平均時間為3s，其它損失時間(如果考慮的話)為上面3部分時間總和的10%;底樓最大允許等侯時間最好不超過1分鐘；第一問：假如現(xiàn)有6部電梯，請你設計一下電梯調運方案，使得在這段時間內(nèi)電梯能盡可能地把各層樓的人流快速送到，減少候梯時間。第二問：如果大廈管理者想重新安裝改造電梯，除滿足以上運行要求外，還考慮電梯安裝的安裝成本，比如用較少的電梯比更多的電梯花費少，一個速度慢的電梯比一個速度快的電梯花費少，能選用電梯分別有快速，中速，慢速三種，請給管理者寫一個方案，提出一些合理的建議來實現(xiàn)(如需用數(shù)據(jù)分析說明，可設選用電梯的最大速度分別是243.8m/min，304.8m/min，365.8m/min)。二、問題分析2.1問題一的分析我們考察該現(xiàn)象出現(xiàn)的原因有以下兩個方面：一，電梯數(shù)目不足；二電梯調度不科學，沒有被科學有效的利用。由于電梯數(shù)目固定，故需對電梯的運行規(guī)則進行調控。電梯運行效率低下主要是由于電梯運行過程中?？看螖?shù)過多造成的，因此需分析電梯?？看螖?shù)與其運行周期的關系，為此，我們用計算機模擬電梯運行情況。為了減少電梯因?？看螖?shù)過多，反復加速減速過程而造成電梯運行周期過長浪費的時間，我們采取對電梯和樓層分區(qū)控制的方法，將整棟大樓分為若干個電梯服務區(qū)，并設第i個區(qū)域服務的樓層數(shù)為七，分配的電梯數(shù)為七，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，得出電梯往返一次所需的時間廣，然后通過建立動態(tài)規(guī)劃模型得出運送完所有樓層人員所需時間最短的一種分區(qū)方法，這樣就能保證在8：20-9：00時間段內(nèi)電梯能盡可能地把各層樓的人快速送到，即得到了優(yōu)化的電梯調運模型。2.2問題二的分析從問題一的分析中可知將樓層分成連續(xù)的幾段，一部電梯只服務一段樓層就可以縮短電梯的運行周期，增加單位時間內(nèi)的人員運送量?，F(xiàn)在要重新安裝改造電梯，用較少的電梯比較多的電梯花費少，一個速度慢的電梯比一個速度快的電梯花費少。即首先考慮電梯的數(shù)量，數(shù)量越少成本越低，其次考慮電梯的檔次?？紤]到在這座樓中上班人員是在短時間內(nèi)密集的到來，可認為電梯每次都是滿載運行。綜合考慮電梯運行中所使用的時間，及底樓最大允許等侯時間最好不超過1分鐘可以得到一個約束條件。另外電梯在40min中內(nèi)還要把服務段內(nèi)的人全部送到進而可以得到電梯的服務樓層數(shù)。再考慮不同電梯的成本就可以得到這個服務段的電梯使用的檔次情況。用以上方法依次計算就可以得到電梯的使用數(shù)量及每部電梯的檔次。三、模型假設（1）所有電梯滿載，運行過程不發(fā)生故障。（2）電梯的加速度固定，不考慮運行過程中加速度的變動。（3）只有上行人員，認為所有人員只上不下。（4）所有人員均乘電梯上樓，不走樓梯。四、符號約定%:底層高度c:除底層外其它樓層高度a:加速度V:最高速度b0:電梯從底層到第二層停止所需時間b0：電梯從第i層開始運行到第i+1層停止所需時間（i~=1）b:電梯加到最高速度所需時間f:電梯加到最高速度所需高度I:服務區(qū)總數(shù)目i:服務區(qū)序數(shù).:第i個服務區(qū)樓層數(shù)l:服務區(qū)i分配的電梯數(shù)T:服務區(qū)i中電梯運行周期i*:服務區(qū)i分配樓層的最高層P:服務區(qū)i總人數(shù)iTM:服務區(qū)i所有人員運送完畢所需總時間五、模型建立與求解5.1問題一的建模與求解：為了減少電梯因停靠次數(shù)過多，反復加速減速過程而造成電梯運行周期過長浪費的時間，我們采取對電梯和樓層分區(qū)控制的方法，將整棟大樓分為I個電梯服務區(qū)，并設第i個區(qū)域服務的樓層數(shù)為七，分配的電梯數(shù)為七，根據(jù)已知的數(shù)據(jù)，得出電梯往返一次所需的時間T，T是關于七的函數(shù)，然后通過建立動態(tài)規(guī)劃模型得出運送完所有樓層人員所需時間最短的一種分區(qū)方法，這樣就能保證在8：20-9：00時間段內(nèi)電梯能盡可能地把各層樓的人快速送到，即得到了優(yōu)化的電梯調運模型。5.1.1仿真電梯運行狀態(tài)為了更真實的了解電梯的運行狀態(tài)，我們在一定的約束條件下在計算機中仿真電梯的的運行狀態(tài)。仿真條件：電梯在所服務區(qū)域樓層每層均有?？亢雎噪娞蓍_關、乘客上下及其它浪費時間為降低仿真的復雜度，我們以電梯上行最高層為20層時?？?次與?？?次電梯的運行情況進行仿真，通過分析?？看螖?shù)相同時?？奎c的分布集中程度對電梯總上行時間的影響，研究樓層分區(qū)多少對總運行時間的影響。仿真過程通過matlab編程實現(xiàn)（程序見附錄），仿真圖如下：

得到在不同?？看螖?shù)、不同?？繉蛹卸惹闆r下電梯上行花費的時間（S）,數(shù)據(jù)如下表1：?？?次?？?次停靠層分散37.7935.16?？繉虞^集中34.9332.04?？繉油耆?3.5630.75從圖表可知，在以上的假設條件下，停靠層集中時所花費的時間要比分散時少，因此，為減少時間，應該盡可能的使電梯服務區(qū)樓層集中，也即使樓層分區(qū)最多，在本題中，我們將整個樓層分為六個服務區(qū)，每個服務區(qū)一部電梯。5.1.2電梯往返一次所需時間由于本題考慮的是電梯上高峰時期的動態(tài)規(guī)劃，因此可以認為電梯每次都能達到滿載，并且假設電梯在其所服務的每一個樓層均有停靠。對于第i個區(qū)域的電梯，其運行過程可分為三部分，第一階段：從一層上升到服務區(qū)域最底層的時間為\，第二階段：從服務區(qū)域的最底層到最高層所用時間為七，第三階段：從所服務樓層的最高層下降到第一層所用時間為七，另外還有電梯開關時間、乘客上下時間以及其他損失時間七。則電梯往返一次的運行總時間為T-t+t+t+t。i1234通過以上5.1.1的分析，我們得出了這樣的結論：在對樓層進行分區(qū)時，所分區(qū)域越多，運送一定人數(shù)所需時間越少，調控效果越理想。因此，我們這里只需對整個樓層分為六個服務區(qū)（即1=6），每個服務區(qū)分配一部電梯的情況進行考慮，分析在這種情況下怎樣分配每個服務區(qū)的服務層數(shù)才能達到我們的規(guī)劃目的。

當i=1時，即對第一個區(qū)域，記該區(qū)域所分配樓層的最高層為七，分配的電梯數(shù)為1,則：第一階段運行高度為：h1—0運行時間為：t]=0第二階段的運行高度為：h—(s-2)*c+c)運行時間為：t2=(s1—2)*b0+b0第三階段的運行高度為:h=(s-2)*c+c運行時間為：rt—<12攔(*<6)3y*￡+b*2lVm(s1>7)電梯開關、乘客上下及其它浪費時間為：t4=(3*(*—1)+19*(0.8+0.5))*(1+10%)則電梯往返一次所需時間為：T—t+1+1+111234當2^i^6時，即對第二至六個服務區(qū)，區(qū)域所分配樓層的最高層為七,各區(qū)域分配一部電梯，則：第一階段運行高度為：h=(s—1)*ch=(s—1)*c+c01i—1運行時間為：t1m(si—1<5)(si1>6)h=c*(s-s-1)運行時間為：t=b0*(s,-s-1)第三階段運行高度為：h=(s-2)*c+c運行時間為：t=<2*hs^<6)廣[hV*L+b*2(s,27)m電梯開關、乘客上下及其它浪費時間為：t4=(3*s,-s])+19*(0.+0.5))*俎10%)則電梯往返一次所需時間為：T=t+1+1+1i12345.1.2所有人運送完畢所需總時間由于上梯人員多，電梯量相對不足，為使在規(guī)定時段內(nèi)電梯能盡可能地把各層樓的人流快速送到，我們只需滿足當把所有人員運送完畢時，所需時間最短。根據(jù)以上公式及數(shù)據(jù)可以得到各服務區(qū)人員全部運送完畢所需時間TM。對服務區(qū)i，所有人員運送完畢所需時間為：PTM=19T其中p(i=1,2,……6)表示服務區(qū)所服務樓層人員總和，由s,、s,1及原始數(shù)據(jù)得出。5.1.3動態(tài)規(guī)劃模型的建立得到電梯的往返時間后，我們就可以來確定電梯的調運方案。確定了樓層分為6個區(qū)域后，只需從下往上再確定每個服務區(qū)的分區(qū)點，在確定分區(qū)點時，一旦當前一個服務區(qū)確定以后，其后續(xù)服務區(qū)的服務范圍只受當前服務區(qū)范圍決定，而不受當前服務區(qū)之前服務區(qū)的影響。這個特點滿足動態(tài)規(guī)劃方法的最優(yōu)化原理：“一個過程的最優(yōu)策略具有這樣的性質：即無論初始狀態(tài)和初始決策如何，對于先前決策所形成的狀態(tài)而言，其以后的所有決策應構成最優(yōu)策略。”因而我們考慮利用動態(tài)規(guī)劃方法求解分區(qū)點的最優(yōu)位置。從樓梯口開始，從下到上把各個服務區(qū)的服務區(qū)域作為動態(tài)規(guī)劃的各個階段，以各個區(qū)域的服務區(qū)域的最高樓層作為各階段的狀態(tài)，本題中，當把30層樓分為6個區(qū)域時，各個階段所處的狀態(tài)集合分別為：*={2,3,……，25}；s={3,4,,26}；s={4,5,,27}；s={5,6,,28）；s={6,7,,29）；s6=（30}；從前一個階段的某個狀態(tài)出發(fā)選擇當前階段某個狀態(tài)，作為當前區(qū)域的最高樓層的過程作為一個決策或者一個狀態(tài)轉移。為使運送完畢所有人員所需時間最短，我們可以考慮對各服務區(qū)運送完畢所有人員所需時間TM求和，取和最小時的分區(qū)方案為最優(yōu)調控方案。這樣就可近似為動態(tài)規(guī)劃中的求最短路及其距離的問題，如下圖所示：ss2s3s4s5對以上最短路問題，運用弗洛伊德（floyd）算法求解,編寫出matlab程序（見附錄），結果如下表：服務區(qū)i123456服務樓層2-89-1415-1920-2324-2728-305.2規(guī)劃模型的建立與求解：從問題一中可知將樓層分成連續(xù)的幾段，一部電梯只服務一段樓層就可以縮短電梯的運行周期，增加單位時間內(nèi)的人員運送量。而現(xiàn)在要重新安裝改造電梯，用電梯分別有快速，中速，慢速三種，用較少的電梯比較多的電梯花費少，一個速度慢的電梯比一個速度快的電梯花費少。即首先考慮電梯的數(shù)量，數(shù)量越少成本越低，其次考慮電梯的檔次。考慮到在這座樓中上班人員是在短時間內(nèi)密集的到來，可認為電梯每次都是滿載運行。由于電梯是分段服務，現(xiàn)在某最高速度為v的電梯服務一段樓層，d。為這段樓層中的最低層的高度。上班人員上電梯的時間為：f。=190.8這部電梯加速到最高速度所經(jīng)過的高度為:則電梯從底層啟動到首次?？克玫臅r間為:則電梯從底層啟動到首次?？克玫臅r間為:(4)(5)：(d+(n-1)d)a『—0f=an(4)(5)：(d+(n-1)d)a『—0f=an+212：2D+d0+(n-1)d-2DIav0(d0+(n-1)d)<2D(d0+(n-1)d)2D(6)匕=匕=…Fd電梯門開關，及上班人員下電梯所用的時間為:f1=3?(n1)+190.5電梯下行所用的時間為:因為底樓最大允許等侯時間不超過1分鐘，所以:(8)電梯運行的周期為:(8)T=0.1?(ff)+f+f+f+...+f0n+1012n+2這段樓層的人數(shù)總和為P,在40min內(nèi)，這部電梯要把這P個人送到目的地，所要滿足的條件為:40604060T19因為三個檔次的電梯的最高速度分別為V,V,VV>V>V。而123123每部電梯的服務樓層數(shù)的增加就可以減少電梯的安裝數(shù)量。所以使用（1）?（9）式，V取不同的值進行規(guī)劃，每次循環(huán)取n最大的情況下V的最小值，即得到這部電梯的檔次，和所服務的樓層數(shù)。以此計算就可以得到每部電梯的服務段，及電梯的檔次和電梯的總數(shù)量。經(jīng)過計算可得下表2：服務段樓層電梯檔次12~4慢速25~7慢速38~10慢速411~12慢速513~14慢速615~16慢速717~19中速820~22高速923~25高速1026~28中速1129~30中速從結果中可以看出第11服務段的電梯只服務兩層，300多人，為了是電梯更有效的運行，我們對結果進行了優(yōu)化得到了新的結果如下表3：服務段樓層電梯檔次12~4慢速25~7慢速38~10慢速411~12慢速513~14慢速615~16慢速717~19中速820~22高速923~25中速1025~27中速1128~30中速結合以上的分析，在等待時間不超過一分鐘，40分鐘內(nèi)將所有的人運送到他們所要到達的樓層的條件下，我們得到了合理的電梯安裝方案如表1。該方案使用盡可能少的電梯，。但是我們發(fā)現(xiàn)該方案還可以優(yōu)化，即在電梯數(shù)目不變的條件下降低某些電梯的檔次來節(jié)約成本。最終方案如表2六、模型評價及改進優(yōu)點：在問題一中，運用計算機對電梯運行情況進行matlab仿真，得出分區(qū)控制可以縮短電梯運行周期，邏輯嚴謹。建立的動態(tài)規(guī)劃最短路模型，逐階段全面分析，能夠得出最有效的電梯調運方案。在問題二中，結合各方面約束條件逐次進行非線性規(guī)劃，得到了合理的電梯安裝方案，并對此方案進行進一步優(yōu)化，節(jié)約了成本。改進：由于條件限制，在進行電梯運行情況仿真時，我們僅對電梯?？看螖?shù)為5次和6次的情況作了具體分析，可能不夠完善。在動態(tài)規(guī)劃模型求解過程中，但是由于各服務區(qū)狀態(tài)集元素較多，用此方法計算量偏大，有待進一步探索找出一種更為簡便的方法。問題二逐次規(guī)劃運算量較大，若能運用計算機程序統(tǒng)一求解則更為完善。七、參考文獻【1】甘應愛等.運籌學.第三版.北京：清華大學出版社，2005.【2】張圣勤.MATLAB7.0實用教程.北京：機械工業(yè)出版社，2008.【3】孫鳳欣等.乘客等待條件下的電梯優(yōu)化調度模型.寧波工程學院學報.第18卷第二期.2006，6.【4】施益昌等.基于MATLAB動態(tài)規(guī)劃中最短路線的實現(xiàn)程序.電腦學習.第六期.2003，12.【5】黨玉華等.最短路問題的計算機求解.哈爾濱師范大學自然科學學報.第12卷第一期.1996，11.【6】馬瀟等.電梯規(guī)劃的動態(tài)模型.計算機工程與運用.2004八、附錄附錄“““““““““““““““““““““““““““““““““““******************ZU**6**1*****************t1=0:0.01:4.16;v1=1.22*t1;t2=4.16:0.01:4.59;v2=5.08;t3=4.59:0.01:8.75;v3=5.08-1.22*(t3-4.59);t4=8.75:0.01:10.54;v4=1.22.*(t4-8.75);v4=1.22.*(t4-8.75);t5=10.54:0.01:12.33;v5=1.22.*1.79-(t5-10.54).*1.22;t6=12.33:0.01:14.86;v6=(t6-12.33).*1.22;t7=14.86:0.01:17.39;v7=max(v6)-(t7-14.86).*1.22;t8=17.39:0.01:21.39;v8=(t8-17.39).*1.22;t9=21.39:0.01:25.39;v9=max(v8)-(t9-21.39).*1.22;t10=25.39:0.01:28.49;v10=(t10-25.39).*1.22;t11=28.49:0.01:31.59;v11=max(v10)-(t11-28.49).*1.22;t12=31.59:0.01:34.69;v12=(t12-31.59).*1.22;t13=34.69:0.01:37.79;v13=max(v12)-(t13-34.69).*1.22;Plot(t1,v1,'r',t2,v2,'r',t3,v3,'r',t4,v4,'r',t5,v5,'r',t6,v6,'r',t7,v7,'r',t8,v8,'r',t9,v9,'r',t10,v10,'r',t11,v11,'r',t12,v12,'r',t13,v13,'r')“““““““““““““““““““““““““““““““““““““““““““““““********************20**5**1***************************t1=0:0.01:3.56;v1=t1.*1.22;t2=3.56:0.01:7.12;v2=max(v1)-(t2-3.56).*1.22;t3=7.12:0.01:11.28;v3=(t3-7.12).*1.22;t4=11.28:0.01:11.74;v4=5.08;t5=11.74:0.01:15.90;v5=5.08-(t5-11.74).*1.22;t6=15.90:0.01:19.00;v6=(t6-15.90).*1.22;t7=19.00:0.01:22.10;v7=max(v6)-(t7-19.00).*1.22;t8=22.10:0.01:26.10;v8=(t8-22.10).*1.22;t9=26.10:0.01:30.10;v9=max(v8)-(t9-26.10).*1.22;t10=30.10:0.01:32.63;v10=(t10-30.10).*1.22;t11=32.63:0.01:35.16;v11=max(v10)-(t11-32.63).*1.22;Plot(t1,v1,'r',t2,v2,'r',t3,v3,'r',t4,v4,'r',t5,v5,'r',t6,v6,'r',t7,v7,'r',t8,v8,'r',t9,v9,'r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