向量方法(一)證明平行與垂直

向量方法(一)證明平行與垂直1?判斷正誤(在括號內(nèi)打打7”或“x”)直線的方向向量是唯一確定的.()若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行.()若兩平面的法向量平行，則兩平面平行或重合.()若空間向量a平行于平面弘則a所在直線與平面a平行.()2?已知平面a,B的法向量分別為?1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4)，貝肚 )A.a〃“ B.a丄〃C.a,B相交但不垂直 D.以上均不對3.若直線l的方向向量為a=(1,0,2),平面a的法向量為n=(-2,0,-4)，貝％ )A.l〃aA.l〃aB.l丄aC.laD.l與a相交4.已知A(14.已知A(1,A.(-1,1,C(-￥，1)33，B.(1,-1,1)(返邊-^3I3，3，-3,D.0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),則下列向量是平面ABC法向量的是( )5?所圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心,中點，N是A1B1的中點，則直線ON,AM的位置關(guān)系是 .最新考綱1.理解直線的方向向量及平面的法向量；2.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系；3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡單定理知識梳理直線的方向向量和平面的法向量直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l平行或重合，則稱此向量a為直線l的方向向量.平面的法向量：直線l丄a,取直線l的方向向量a,則向量a叫做平面a的法向量.2?空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示直線l1，12的方向向量分別為11〃-n1#n2^n1=An2"1，nl1±l2叫丄n2B]?n2=0直線l的方向向量為n,平面al〃an丄mF?m=0的法向量為ml丄an〃mun=Am平面a,B的法向量分別為n,a〃Bn〃md=Amma丄Bn丄mF?m=0例題精講考點一利用空間向量證明平行問題【例1】如圖，在四面體A—BCD中，AD丄平面BCD,BC丄CD,AD=2,BD=2遠,M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ=3QC.證明：PQ〃平面BCD. 廠-11規(guī)律方法(1)恰當建立坐標系，準確表示各點與相關(guān)向量的坐標，是運用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵(2)證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個向量共面，或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行，然后說明直線在平面外即可.這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運算.B【訓(xùn)練1】如圖所示，平面PAD丄平面ABCD，ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點.求證：PB〃平面EFG.

B考點二利用空間向量證明垂直問題【例2】如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=AC,D為BC的中點，PO丄平面ABC，垂足O落在線段AD上.已知BC=8，PO=4,AO=3,OD=2.(1)證明：APIBC；⑵若點M是線段AP上一點，且AM=3.試證明平面AMC丄平面BMC.規(guī)律方法(1)利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標系，準確寫出相關(guān)點的坐標，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.(2)用向量證明垂直的方法線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎尽居?xùn)練2】如圖，在四棱錐A—EFCB中，△AEF為等邊三角形，平面AEF丄平面EFCB，EF//BC,BC=4,EF=2a，ZEBC=ZFCB=60°，O為EF的中點.求證：AO丄BE；求二面角F—AE—B的余弦值；⑶若BE丄平面AOC,求a的值.考點三利用空間向量解決探索性問題【例3】如圖，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都等于2,ZABC和ZAJC均為60°,平面AA&C丄平面ABCD.求證：BD丄AA1；在直線CC1上是否存在點P,使BP〃平面DA1C1?若存在，求出點P的位置；若不存在，請說明理由.規(guī)律方法向量法解決與垂直、平行有關(guān)的探索性問題(1)根據(jù)題目的已知條件進行綜合分析和觀察猜想，找出點或線的位置，并用向量表示出來，然后再加以證明，得出結(jié)論.(2)假設(shè)所求的點或參數(shù)存在，并用相關(guān)參數(shù)表示相關(guān)點，根據(jù)線、面滿足的垂直、平行關(guān)系，構(gòu)建方程(組)求解，若能求出參數(shù)的值且符合該限定的范圍，則存在，否則不存在.【訓(xùn)練3】在四棱錐P—ABCD中，PD丄底面ABCD,底面ABCD為正方形，PD=DC,E,F分別是AB,PB的中點.求證：EF丄CD；在平面PAD內(nèi)是否存在一點G,使GF丄平面PCB?若存在，求出點G坐標；若不存在，試說明理由.Yaeb［思想方法］1?用向量法解決立體幾何問題，是空間向量的一個具體應(yīng)用，體現(xiàn)了向量的工具性，這種方法可把復(fù)雜的推理證明、輔助線的作法轉(zhuǎn)化為空間向量的運算，降低了空間想象演繹推理的難度，體現(xiàn)了由，形”轉(zhuǎn)“數(shù)”的轉(zhuǎn)化思想.用向量知識證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷；另一種是用向量的坐標表示幾何量，共分三步：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量(或坐標)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關(guān)系；(3)根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題.［易錯防范］1.用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何中的定理.如要證明線面平行，只需要證明平面外的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，