專題：基本不等式常見題型歸納(學(xué)生版)

專題：基本不等式常見題型歸納(學(xué)生版)第第頁專題：基本不等式基本不等式求最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號．三個不等式關(guān)系：（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．（2）a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．（3）a，b∈R，eq\f(a2＋b2,2)≤(eq\f(a＋b,2))2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．上述三個不等關(guān)系揭示了a2＋b2，ab，a＋b三者間的不等關(guān)系．其中，基本不等式及其變形：a，b∈R＋，a＋b≥2eq\r(ab)(或ab≤(eq\f(a＋b,2))2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，所以當(dāng)和為定值時，可求積的最值；當(dāng)積為定值是，可求和的最值．【題型一】利用拼湊法構(gòu)造不等關(guān)系【典例1】已知且，則的最小值為.4.已知正數(shù)，滿足，則的最小值為【題型二】含條件的最值求法【典例4】已知正數(shù)滿足，則的最小值為練習(xí)1．已知正數(shù)滿足，則的最小值為.2.已知正數(shù)滿足，則的最小值為．3．已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，如下圖所示，則的最小值為.4．己知a，b為正數(shù)，且直線與直線互相平行，則2a+3b的最小值為________．5.常數(shù)a，b和正變量x，y滿足ab＝16，eq\f(a,x)＋eq\f(2b,y)＝eq\f(1,2).若x＋2y的最小值為64，則ab＝________.6.已知正實數(shù)滿足，則的最大值為．【題型三】代入消元法【典例5】（蘇州市2016屆高三調(diào)研測試·14）已知，，則的最小值為．練習(xí)1．設(shè)實數(shù)x，y滿足x2＋2xy－1＝0，則x2＋y2的最小值是．2．已知正實數(shù)x，y滿足，則x+y的最小值為．3．已知正實數(shù)滿足，則的最小值為．4.若，且，則使得取得最小值的實數(shù)=。5.設(shè)實數(shù)x、y滿足x＋2xy－1＝0，則x＋y的取值范圍是_________6.已知，且，，求的最大值為______【題型四】換元法【典例6】已知函數(shù)f(x)＝ax2＋x－b(a，b均為正數(shù))，不等式f(x)＞0的解集記為P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若對于任意正數(shù)t，P∩Q≠，則eq\F(1,a)－eq\F(1,b)的最大值是．2．已知正數(shù)a，b，c滿足b+c≥a，則+的最小值為．練習(xí)1．若實數(shù)x，y滿足2x2＋xy－y2＝1，則的最大值為．2．設(shè)是正實數(shù),且,則的最小值是____.3..若實數(shù)x，y滿足2x2＋xy－y2＝1，則eq\f(x－2y,5x2－2xy＋2y2)的最大值為．eq\f(\r(2),4)4．若實數(shù)滿足，當(dāng)取得最大值時，的值為.【題型五】判別式法【典例7】已知正實數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為．練習(xí)1.若正實數(shù)滿足，則的最大值為．2.設(shè)，，則的最大值為________變式1．在平面直角坐標系中，設(shè)點，，，，若不等式對任意實數(shù)都成立，則實數(shù)的最大值是．【方法技巧】不等式恒成立常用的方法有判別式法、分離參數(shù)法、換主元法．判別式法：將所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應(yīng)用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立2）對恒成立分離變量法：若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值。一般地有：1）恒成立2）恒成立確定主元法：如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。2．設(shè)二次函數(shù)（為常數(shù)）的導(dǎo)函數(shù)為．對任意，不等式恒成立，則的最大值為．【題型六】分離參數(shù)法【典例8】已知x＞0，y＞0，若不等式x3+y3≥kxy（x+y）恒成立，則實數(shù)k的最大值為_______．練