基本不等式課例反思

基本不等式第一課時）學(xué)設(shè)計及反人教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書·數(shù)學(xué)（必修5的“基本不等式ab

a2

面把這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計、后反思記錄下來，愿與同行研討。“基本不等式

ab

a2

”是修5的重內(nèi)容，在課封面上就體現(xiàn)出來了。它是在學(xué)完“不等式的性質(zhì)解”及“線性規(guī)劃”的基礎(chǔ)上對不等式的進一步研究在等式的證明和求最值過程中有著廣泛的應(yīng)用最值又是高考的熱點同本節(jié)知識又滲透了數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。本節(jié)課是第一課時，設(shè)計如下學(xué)目：．通過兩個探究實例，在老師的引導(dǎo)下從幾何圖形中獲得兩個基本不等式，了解基不等式的幾何背景，體會數(shù)形結(jié)合的思想；．進一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，自己分析證明法，加深對基本不等式的認(rèn)識，提高邏輯推理論證能力；．結(jié)合課本的探究圖形，進一步探究基本不等式的幾何解釋，強化數(shù)形結(jié)合的思想教重：用數(shù)形結(jié)合的思想理解不等式從同角度探索不等式

ab

a2

的證明過程。教難：基本不等式求最值教過：第一環(huán)

分鐘設(shè)問、設(shè)境（多媒體展示）華羅庚先生的詩：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)無形時少直觀，形少數(shù)時難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。切莫忘，幾何代數(shù)流一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離開場白華羅庚先生有數(shù)學(xué)家的智人的浪漫同學(xué)們請說出華先生的這首詩表達的思想。生形結(jié)合百般好師：今天我們一同來體會如何運用數(shù)形結(jié)合的方法研究問題。設(shè)意：使學(xué)生了解數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想，盡快進入數(shù)學(xué)情景；為本節(jié)課問題

yy2，可能寫出x的探究指明方法，做下鋪墊。給學(xué)生留下疑問要運用數(shù)形結(jié)合研究什么問題呢？如何運用數(shù)形結(jié)合來研究問題呢？發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣學(xué)生對將要出現(xiàn)的探究問題充滿期待。（多媒體展示）第界國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)師第24界際數(shù)學(xué)家大會于2002年北京召開這是大會的會標(biāo)其中的圖案大家見過么？生：見過。這是趙爽弦圖。在初中曾用它證明過勾股定理。師：我們還能在趙爽弦圖中探究出什么信息呢？（多媒體展示）問：同學(xué)們在原來的學(xué)過程中見過這個圖形嗎？問：在此圖中有哪些幾圖形？問3：若我們設(shè)圖中直角三角形的直邊分別為

x

、

，你能用

x

、

表示四個直角三角形的面積和嗎？你能用

x

、

表示大正方形的面積嗎？問：根據(jù)圖形，比較四直角三角形的面積和與大正方形的面積的不等關(guān)系，寫出不等式。設(shè)意：求學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，以學(xué)生初中已經(jīng)接觸過的趙爽弦圖作為導(dǎo)入素材，可使學(xué)生有熟悉的感覺樂探新的知識。以

x

、

表示直角三角形的兩條直角邊，為下面的學(xué)習(xí)掃清障礙。若以教材的安排，以

a

、

b

分別代替

、

，學(xué)生不太容易理解。四個問題的設(shè)置，便于學(xué)生層層深入的研究，使研究方向更明確。第二環(huán)

分）生究嘗解師互：生觀察圖形考問題寫出結(jié)果教巡視了學(xué)生情況適當(dāng)時刻，建議學(xué)生小組內(nèi)部相互交流。學(xué)生在小組內(nèi)部對比結(jié)果、互相交流、達成共識、展示成果。設(shè)計意圖培養(yǎng)學(xué)生獨立動手腦能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識法想解決問題的能力。培養(yǎng)學(xué)生交流合作的能力。通過交流培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題（不全面力培養(yǎng)學(xué)生全面思考問題的意識，以及努力探究的精神。師：請一位同學(xué)展示一下研究成果。預(yù)：的學(xué)生可能會寫出

2222

2xy

。師個角三角形的面積和與正方形的面積有沒有可能相等？相等時形生了怎樣的變化？

x

、

有什么關(guān)系？

生：有可能相等。四個直角三角形的直角頂點會重合。此時y。師：如此一來，我們可以得到如下結(jié)論體展示并板書）對任意實數(shù)

x

，

，我們有

22xy

，當(dāng)且僅當(dāng)

y

時，等號成立。以上結(jié)論我們是在幾何圖形中面積關(guān)系獲得的學(xué)們能否運用代數(shù)的方法對這個結(jié)論進行證明？師互：生觀察結(jié)論內(nèi)容，積極思考，寫出證明過程。教師巡視，及時掌握學(xué)生情況，指出學(xué)生在證明過程中出現(xiàn)的問題，適當(dāng)時刻，選擇學(xué)生板演證明過程。設(shè)意：養(yǎng)學(xué)生獨立思考，解決問題的能力。使學(xué)生體會不等式證明的常用方法。在學(xué)生感受到幾何的直觀性后，進一步感受代數(shù)證明的嚴(yán)謹(jǐn)。預(yù)設(shè)：有的同學(xué)會以要證明的結(jié)論作為條件使用；有的同學(xué)只證x

2y2

2xy

，而忽視了“當(dāng)且僅當(dāng)

y

時，等號成立”的證明；有的同學(xué)會以

22xy

為條件，證明“當(dāng)且僅當(dāng)

y

時，等號成立的同學(xué)會使作差法證明這個結(jié)論。第三環(huán)15

分）生流解規(guī)師互：師對學(xué)生板演的證明過程作出評價注意方法的選擇步的規(guī)范；強調(diào)等號成立的條件。師：同學(xué)們對結(jié)論中的“當(dāng)且僅當(dāng)”如何理解？生：當(dāng)y時并且只有y時等號成立。師：同學(xué)們理解的很到位！師：如果我們使用兩個正數(shù)、b分代替x、2，么，以上結(jié)論我們可以寫成什么形式？師生共同總結(jié)，教師板書：若

0

，

，可得

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，通常記為

，當(dāng)且僅當(dāng)

時，等號成立。師：對這個結(jié)論，我們能否進行證明？師互：學(xué)生觀察結(jié)論內(nèi)容，積極思考，寫出證明過程。教師巡視，及時掌握學(xué)生情況，指出學(xué)生在證明過程中出現(xiàn)的問題，適當(dāng)時刻，選擇學(xué)生板演證明過程。預(yù)：有的同學(xué)面對

不知如何使用完全平方公式；有的同學(xué)會預(yù)習(xí)教材，運用分析法解決問題，需指明分析法的書寫規(guī)則。

師互：師對學(xué)生板演的證明過程作出評價注意方法的選擇步的規(guī)范；進一步強調(diào)等號成立的條件。師：結(jié)論1我們是在趙爽弦圖中發(fā)現(xiàn)的，那么，我們能不能找到結(jié)論）幾何解釋呢？同學(xué)們來看這個問題。（多媒體展示）D是的直徑，點C是AB上任一點，

OC

b

AC=a,BC=b過作直于AB的弦DE，連接A、BD。試以、b表示、的長度并比較兩者大。E師互：生察圖形讀題內(nèi)容積極考寫出結(jié)果思結(jié)果的幾何意義。教師提問并板書：

CD

ab,OD

，由圖可得：CD2

。設(shè)意：論）形到數(shù)，結(jié)論2由數(shù)到形，進一步使學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的思想。師：什么時候等號成立？生：

時，等號成立。師：有什么幾何解釋呢？生：圓內(nèi)半弦不超過半徑。師：以上我們通過代數(shù)證明和幾何解釋兩方面對結(jié)論2進行了驗證，驗證了它的正確性結(jié)（2中的不等式在現(xiàn)實生活與數(shù)學(xué)研方面有廣泛的運用們通常稱之“基本不等式就是我們本節(jié)課課題書課題）設(shè)意：確本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容整個探究過作出最終成果學(xué)生感受成功的喜悅。師：對于一個公式，我們首先要觀察結(jié)構(gòu)、進行記憶。同學(xué)們觀察基本不等式兩側(cè)，你想到了原來學(xué)過的哪些知識？預(yù)：的同學(xué)會回答平均數(shù)；有的同學(xué)可能會回答等比中項、等差中項。

師：

是我們平時求平均數(shù)的方法，我們稱之為算數(shù)平均數(shù)；

我們稱為幾何平均數(shù)?；静坏仁轿覀兛梢越忉尀閹缀纹骄鶖?shù)不大于算術(shù)平均數(shù)。這是它的代數(shù)解釋。第四環(huán)

分）用律解問師基不等式與我們學(xué)習(xí)過的其它公式有所不同們比較熟悉的完全平方公式平方差公式等都是等式的形式基本不等式是以不等式的形式出現(xiàn)的學(xué)們在運用的時候可能有些顧慮。其實，只要滿足基本不等式使用的條件a，要符合它的結(jié)構(gòu)特征們?nèi)梢赃M行套用面?zhèn)兺ㄟ^幾個例題來考慮在運用基本不等式過程中還需要注意哪些問題，（多媒體展示）例、下列各式錯誤的是（）A

b

6a

B

x

x

C、

sinx

x4(0x

D、

x)

(0例、已知、都正數(shù)，求證

2

。師互：生自主解決，通過學(xué)生的交流，得出結(jié)論。設(shè)意：過例題的訓(xùn)練提學(xué)生解絕問題能力加深對基本不等式的理解，明確公式的使用條件，套用方法及等號成立的條件反小、點煉（多媒體展示）⑴本節(jié)課你學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法？⑵本節(jié)課你能感受到哪些數(shù)學(xué)思想？師互：生通過思考，逐一回答。教師進行總結(jié)。設(shè)意：本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容、方法、思想進行總結(jié)，畫龍點睛。布作：必做題化練》第1，2探究：

我們已經(jīng)知道了

、

a2

2的大小關(guān)系，那么它們與的大小關(guān)系如何？先猜猜，再試著證證，想想能否也用幾何圖形對它加以解釋！教學(xué)反：基本不等式這一節(jié)有幾個高考考點，但是對于學(xué)生而言，剛剛接觸，理解的不是很透徹。準(zhǔn)備按照下面的方式來進行：一，第一節(jié)只講基本不等式及其幾何意義。讓學(xué)生通過練習(xí)，充分理解不等式中的一，二定，三相的具體含義和應(yīng)用。并輔以高考題型，是學(xué)生掌握高考動向二第節(jié)再講拼湊和分離這兩種與之前所學(xué)函數(shù)知識有關(guān)的題型現(xiàn)不等式與函數(shù)的關(guān)聯(lián)明函數(shù)在高中數(shù)學(xué)的重要性便回顧函數(shù)中的拼湊和分離這兩種方法。三，第三節(jié)課再“1的換和圖像法。這兩種方法考察學(xué)生對知識的靈活變化以及對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，又比第二節(jié)的知識深一點樣話三節(jié)課知識層層加深，讓學(xué)生體會到知識的關(guān)聯(lián)明各個知點在高考中的具體應(yīng)用初始方法中一課先把所有高考重點全講給學(xué)生使學(xué)生容迷惑不知道本節(jié)課的重點到底是什么而且學(xué)生不易掌握，畢竟容量大的話，練習(xí)量就會相應(yīng)減少。而等到第二節(jié)，第三節(jié)再講時，學(xué)生掌握的不熟練，還得再次復(fù)習(xí)，有“燙剩飯的覺。所以在新課講解方面仔研教材現(xiàn)本節(jié)課主要是讓學(xué)生明白如何用基本不等式求最值如用好基本不等式需要學(xué)生理解六字方針：一正二定三等比抽象的內(nèi)容尤是定的相關(guān)變化較靈活不可能在一節(jié)課解決。因為我把這部分內(nèi)容放到第二節(jié)課。本節(jié)課主要讓學(xué)生掌“正等的義鞏固練習(xí)中設(shè)計了選擇題，讓學(xué)生理解六字方針的內(nèi)涵。還“和定“積定兩面設(shè)計了相關(guān)練習(xí)，讓學(xué)生逐步熟悉基本不等式求最值的方法。教學(xué)中應(yīng)情—問題—研究式學(xué)示數(shù)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動的教學(xué)教師是活動的組織者、指導(dǎo)者作和調(diào)控者學(xué)生是數(shù)學(xué)建構(gòu)活動的主人。教學(xué)設(shè)計不是用傳統(tǒng)的公式+例子練模式設(shè)計是把公式的建立當(dāng)做一種情境計題串為學(xué)習(xí)搭建腳手架，引發(fā)學(xué)生去操作、活動、討論、反思。本節(jié)課通個學(xué)環(huán)節(jié)，強調(diào)過程教學(xué)，在教師的引導(dǎo)下，啟動觀察、分析、感知、歸納、探究等思維活動，從各個層面認(rèn)識基本不等式并解其幾