創(chuàng)新方案高考數(shù)學復習精編（人教新課標）55數(shù)列的綜合應用doc高中數(shù)學

/第五章第五節(jié)數(shù)列的綜合應用題組一等差、等比數(shù)列的綜合問題1.已知a，b，c成等比數(shù)列，a，m，b和b，n，c分別成兩個等差數(shù)列，那么eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)等于()A．4B．3C．2D．1解析：由題意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，那么eq\f(a,m)＋eq\f(c,n)＝eq\f(an＋cm,mn)＝eq\f(a·\f(b＋c,2)＋c·\f(a＋b,2),\f(a＋b,2)·\f(b＋c,2))＝eq\f(ab＋ac＋ac＋bc,\f(ab＋ac＋b2＋bc,2))＝2.答案：C2．數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，且a6＝b7，那么有()A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9與b4＋b10的大小不確定解析：∵a3＋a9≥2eq\r(a3a9)＝2eq\r(a\o\al(2,6))＝2a6＝2b7＝b4＋b10，當且僅當a3＝a9時，不等式取等號．答案：B3．(文)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足a2＝3，S6＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)假設數(shù)列{bn}是等比數(shù)列且滿足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.設數(shù)列{an·bn}的前n項和為Tn，求Tn.解：(1)∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，又∵a1＝a2－d＝1，∴an＝2n－1.(2)由等比數(shù)列{bn}滿足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，得eq\f(b4＋b5,b1＋b2)＝q3＝8，∴q＝2，∵b1＋b2＝3，∴b1＋b1q＝3，∴b1＝1，bn＝2n－1，∴an·bn＝(2n－1)·2n－1.∴Tn＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－3)·2n－2＋(2n－1)·2n－1，那么2Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n，兩式相減得(1－2)Tn＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n－2＋2·2n－1－(2n－1)·2n，即－Tn＝1＋2(21＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)·2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)·2n＝(3－2n)·2n－3，∴Tn＝(2n－3)·2n＋3.(理)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，數(shù)列{an＋Sn}是公差為2的等差數(shù)列．(1)求a2，a3；(2)證明：數(shù)列{an－2}為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.解：(1)∵數(shù)列{an＋Sn}是公差為2的等差數(shù)列，∴(an＋1＋Sn＋1)－(an＋Sn)＝2，即an＋1＝eq\f(an＋2,2).∵a1＝1，∴a2＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(7,4).(2)證明：由題意得a1－2＝－1，又∵eq\f(an＋1－2,an－2)＝eq\f(\f(an＋2,2)－2,an－2)＝eq\f(1,2)，∴{an－2}是首項為－1，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列．(3)由(2)得an－2＝－(eq\f(1,2))n－1，∴nan＝2n－n·(eq\f(1,2))n－1，∴Tn＝(2－1)＋(4－2·eq\f(1,2))＋[6－3·(eq\f(1,2))2]＋…＋[2n－n·(eq\f(1,2))n－1]，＝(2＋4＋6＋…＋2n)－[1＋2·eq\f(1,2)＋3·(eq\f(1,2))2＋…＋n·(eq\f(1,2))n－1]，設An＝1＋2·eq\f(1,2)＋3·(eq\f(1,2))2＋…＋n·(eq\f(1,2))n－1，①∴eq\f(1,2)An＝eq\f(1,2)＋2·(eq\f(1,2))2＋3·(eq\f(1,2))3＋…＋n·(eq\f(1,2))n，②①－②得eq\f(1,2)An＝1＋eq\f(1,2)＋(eq\f(1,2))2＋…＋(eq\f(1,2))n－1－n·(eq\f(1,2))n，∴eq\f(1,2)An＝eq\f(1－(\f(1,2))n,1－\f(1,2))－n·(eq\f(1,2))n，∴An＝4－(n＋2)·(eq\f(1,2))n－1，∴Tn＝eq\f(n(2＋2n),2)＋(n＋2)·(eq\f(1,2))n－1－4＝(n＋2)·(eq\f(1,2))n－1＋n(n＋1)－4.題組二以等差數(shù)列為模型的實際問題4.氣象學院用3.2萬元買了一臺天文觀測儀，已知這臺觀測儀從啟用的第一天起連續(xù)使用，第n天的維修保養(yǎng)費為eq\f(n＋49,10)元(n∈N＋)，使用它直至報廢最合算(所謂報廢最合算是指使用的這臺儀器的平均耗資最少)為止，一共使用了()A．600天B．800天C．1000天D．1200天解析：由第n天的維修保養(yǎng)費為eq\f(n＋49,10)元(n∈N＋)，可以得出觀測儀的整個耗資費用，由平均費用最少而求得最小值成立時相應n的值．設一共使用了n天，那么使用n天的平均耗資為eq\f(3.2×104＋\f((5＋\f(n＋49,10))n,2),n)＝eq\f(3.2×104,n)＋eq\f(n,20)＋4.95，當且僅當eq\f(3.2×104,n)＝eq\f(n,20)時，取得最小值，此時n＝800.答案：B5．(2023·邯鄲模擬)假設數(shù)列{an}滿足eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝d(n∈N*，d為常數(shù))，那么稱數(shù)列{an}為調和數(shù)列．已知數(shù)列{eq\f(1,xn)}為調和數(shù)列，且x1＋x2＋…＋x20＝200，那么x5＋x16＝________.解析：由題意，假設{an}為調和數(shù)列，那么{eq\f(1,an)}為等差數(shù)列，所以{eq\f(1,xn)}為調和數(shù)列，那么可得數(shù)列{xn}為等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質可知，x5＋x16＝x1＋x20＝x2＋x19＝…＝eq\f(200,10)＝20.答案：206．數(shù)列{an}中，a1＝6，且an－an－1＝eq\f(an－1,n)＋n＋1(n∈N*，n≥2)，那么這個數(shù)列的通項an＝________.解析：由已知等式得nan＝(n＋1)an－1＋n(n＋1)(n∈N*，n≥2)，那么eq\f(an,n＋1)－eq\f(an－1,n)＝1，所以數(shù)列{eq\f(an,n＋1)}是以eq\f(a1,2)＝3為首項，1為公差的等差數(shù)列，即eq\f(an,n＋1)＝n＋2，那么an＝(n＋1)(n＋2)．n＝1時，此式也成立．答案：(n＋1)(n＋2)題組三以等比數(shù)列為模型的實際問題7.有一種細菌和一種病毒，每個細菌在每秒鐘殺死一個病毒的同時將自身分裂為2個，現(xiàn)在有一個這樣的細菌和100個這樣的病毒，問細菌將病毒全部殺死至少需要()A．6秒鐘B．7秒鐘C．8秒鐘D．9秒鐘解析：設至少需要n秒鐘，那么1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴eq\f(1－2n,1－2)≥100，∴n≥7.答案：B8．某科研單位欲拿出一定的經費獎勵科研人員，第1名得全部資金的一半多一萬元，第二名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第10名恰好資金分完，那么此科研單位共拿出__________萬元資金進展獎勵．解析：設第10名到第1名得的獎金數(shù)分別是a1，a2，…，a10，那么an＝eq\f(1,2)Sn＋1，那么a1＝2，an－an－1＝eq\f(1,2)an，即an＝2an－1，因此每人得的獎金額組成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以S10＝eq\f(2(1－210),1－2)＝2046.答案：2046題組四數(shù)列與函數(shù)、不等式等問題的綜合應用9．在如以下圖的表格中，如果每格填上一個數(shù)后，2412yz每一行成等差數(shù)列，每一列成等比數(shù)列，那么x＋y＋z的值為()A．1B．2C．3D．4解析：由題知表格中第三列成首項為4，公比為eq\f(1,2)的等比數(shù)列，故有x＝1.根據(jù)每行成等差數(shù)列得第四列前兩個數(shù)字依次為5，eq\f(5,2)，故其公比為eq\f(1,2)，所以y＝5×(eq\f(1,2))3＝eq\f(5,8)，同理z＝6×(eq\f(1,2))4＝eq\f(3,8)，故x＋y＋z＝2.答案：B10．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，假設1<Sk<9(k∈N*)，那么k的值為________．解析：∵Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，∴S1＝eq\f(2,3)a1－eq\f(1,3)＝a1，a1＝－1.an＝Sn－Sn－1(n>1)，即an＝(eq\f(2,3)an－eq\f(1,3))－(eq\f(2,3)an－1－eq\f(1,3))＝eq\f(2,3)an－eq\f(2,3)an－1，整理得：eq\f(an,an－1)＝－2，∴{an}是首項為－1，公比為－2的等比數(shù)列，Sk＝eq\f(a1(1－qk),1－q)＝eq\f((－2)k－1,3)，∵1<Sk<9，∴1<eq\f((－2)k－1,3)<9，即4<(－2)k<28，僅當k＝4時不等式成立．答案：411．(文)在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N)．(1)試判斷數(shù)列{eq\f(1,an)}是否為等差數(shù)列；(2)設{bn}滿足bn＝eq\f(1,an)，求數(shù)列{bn}的前n項為Sn；(3)假設λan＋eq\f(1,an＋1)≥λ，對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．解：(1)∵a1≠0，∴an≠0，∴由已知可得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝3(n≥2)，故數(shù)列{eq\f(1,an)}是等差數(shù)列．(2)由(1)的結論可得bn＝1＋(n－1)×3，所以bn＝3n－2，∴Sn＝eq\f(n(1＋3n－2),2)＝eq\f(n(3n－1),2).(3)將an＝eq\f(1,bn)＝eq\f(1,3n－2)代入λan＋eq\f(1,an＋1)≥λ并整理得λ(1－eq\f(1,3n－2))≤3n＋1，∴λ≤eq\f((3n＋1)(3n－2),3n－3)，原命題等價于該式對任意n≥2的整數(shù)恒成立．設Cn＝eq\f((3n＋1)(3n－2),3n－3)，那么Cn＋1－Cn＝eq\f((3n＋1)(3n－4),3n(n－1))>0，故Cn＋1>Cn，∴Cn的最小值為C2＝eq\f(28,3)，∴λ的取值范圍是(－∞，eq\f(28,3)]．(理)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n，eq\f(Sn,n))在直線y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(11,2)上．數(shù)列{bn}滿足bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)，b3＝11，且其前9項和為153.(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；(2)設cn＝eq\f(3,(2an－11)(2bn－1))，數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求使不等式Tn＞eq\f(k,57)對一切n∈N*都成立的最大正整數(shù)k的值．解：(1)由已知得eq\f(Sn,n)＝eq\f(1,2)n＋eq\f(11,2)，∴Sn＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(11,2)n－eq\f(1,2)(n－1)2－eq\f(11,2)(n－1)＝n＋5；當n＝1時，a1＝S1＝6也符合上式．∴an＝n＋5.由bn＋2－2bn＋1＋bn＝0(n∈N*)知{bn}是等差數(shù)列，由{bn}的前9項和為153，可得eq\f(9(b1＋b9),2)＝9b5＝153，得b5＝17，又b3＝11，∴{bn}的公差d＝eq\f(b5－b3,2)＝3，b3＝b1＋2d，∴b1＝5，∴bn＝3n＋2.(2)cn＝eq