2019年高等數(shù)學(xué)A-2考試題

高等數(shù)學(xué)A-2(08級(jí))一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分)()1二(x=1yT1、設(shè)乙=-ln(1+x2+二(x=1yTTOC\o"1-5"\h\z…1一… …— …、1,,一 ,一 1一(A) —(dx+dy) (B)(dx+dy) (C)-^(dx+dy) (D) —(dx+dy)3 v3 2 ，2、設(shè)區(qū)域D:x2+y2<4,則積分』Jf(x2+y2)d。在極坐標(biāo)下的累次積分為((A)J2兀d0f4f(r2)rdr (B)12Kd012f(r2)dr(C)Gd0ff(r2)rdr (D)12兀dof4f(r2)dr0 0 0 03、設(shè)Z為球面x2+y2+z2=1,則對(duì)面積的曲面積分JJ(x2+y2+z2)dS=(工(C)3兀 (D)4兀4、設(shè)級(jí)數(shù)Zu收斂，則下列級(jí)數(shù)必收斂的為(n(-1=^u(A)(-1=^u(A)￡ nnn=1￡u2nn=1Z(unn=1+u)n+1￡(u2n-15、設(shè)線性無關(guān)函數(shù)y/y2,y3都是二階非齊次線性方程y〃+P(x)yn=1'+Q(x)y=f(x)的解，C「CC「C2是任意常數(shù)，則該非齊次線性方程的通解是()Cy+Cy-(1-C-C)y(c)c1y1+c2y2-(c1+c2)y33C1y1+C2y2+(1-q-C2)y3(D)C1y1+C2y2+y3 1 23二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分)1、曲面xy+y2-e=1在點(diǎn)(1,1,0)處的切平面方程為.2、設(shè)D:x2+y2<2x，由二重積分的幾何意義知JJ、12x-x2-y2dxdy=D設(shè)橢圓L:%+y2=1的周長(zhǎng)為a，則曲線積分1(5xy-6x2-10y2)ds=L(-11時(shí)，級(jí)數(shù)￡ 條件收斂。npn=15、若某三階常系數(shù)線性齊次微分方程有解為y1=e-x，y2=xe-x，y3=ex；則該三階常系數(shù)線性齊次微分方程為 ? 2 。 3三、解答下列各題(本大題共4小題，每題7分，總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟)1、設(shè)數(shù)量場(chǎng)f(x,y,z)=x2+2y2+3z2-4x-6y-8z+5求：(1)函數(shù)f在點(diǎn)(2,1,2)處的梯度。(2)函數(shù)f在點(diǎn)(2,1,2)處方向?qū)?shù)》的最大值。2、計(jì)算二次積分12兀dyf兀把^dx。兀 y-兀x3、求微分方程y〃+2y'-3y=e-3x的通解。

4、計(jì)算積分I=』(e-x2sinx+3y-cosy)dx+(xsiny—y4)dy,其中l(wèi)是從點(diǎn)A(—兀,0)沿L曲線y=sinx到點(diǎn)B(兀,0)的弧段。四、解答下列各題(本大題共4小題，每題7分，總計(jì)28分，每題要有必要的解題步驟)J ) 八 & d2z1、設(shè)z=px2-y2，xy4其中函數(shù)f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，試求=，--Oo.x d.xdy2、計(jì)算曲面積分I二』J2xz2dydz+yY2+1dzdx+3-z3%xdy，其中￡為曲面z=x2；y2+1G<z<2)，取下側(cè)。(-1)n-1 (-1)n-13、求冪級(jí)數(shù)二 x2n的收斂域及和函數(shù)，并求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)二 的和。2n-1 2n-1n=1 n=14、設(shè)f(x)是周期為2兀的周期函數(shù)，且f(x)=x(-兀<x<兀)，試將f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。五、解答題(本題《分)已知曲線過點(diǎn)41)，曲線上任一點(diǎn)P(x,y)處的切線交y軸于點(diǎn)Q，以PQ為直徑所作的圓均過點(diǎn)F(1,0)，求此曲線的方程。?(1+a)｝收斂。n六、證明題(本題6分)已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)寸an?(1+a)｝收斂。nn=108級(jí)解答.一一、單項(xiàng)選擇題(本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分)1、(A) 2、(C) 3、(D) 4、(C) 5、(B)二、填空題(本大題共5小題，每小題3分，總計(jì)15分)2、手32、手3、-30a34、0<p<15、y+y"-y，-y=0三、解答下列各題(本大題共4小題，每題7分，總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟)1、設(shè)數(shù)量場(chǎng)f(x,y,z)=x2+2y2+3z2-4x-6y-8z+5求：(1)函數(shù)f在點(diǎn)(2,1,2)處的梯度。(2)函數(shù)f在點(diǎn)(2,1,2)處方向?qū)?shù):，的最大值。TOC\o"1-5"\h\z解：(1)gradf=(2x-4,4y-6,6z—8)； gradf=h-2,4} 4分_ / 、 (21,2)⑵griradf =2<5，故f在點(diǎn)9,1,2J處方向?qū)?shù)?的最大值為2,5。 7分(2,1,2)2、計(jì)算二次積分J2"dyfKsinxdx。8 y-8x解：J28dyfK竺三dx=』8dxJx+Ksinxdy 4分8 y-8x 0 8x二J兀sinxdx=2 7分03、求微分方程y"+2y'-3y=e-3x的通解。特征方程r2+2r-3=0n,=1,r2=-3,對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為Y=C1ex+C2e-3x (其中Jq為任意常數(shù)) 4分因九二-3是特征根，設(shè)特解為y*=Axe-3x，其中a為待定常數(shù)，代入原方程，1一一xe-3x4從而得通解y從而得通解y=Cex+Ce-3x—1x-xe-3x44、計(jì)算積分I=J(e-x2sinx+3y-cosy)dx+(xsiny-y4)dy，其中l(wèi)是從點(diǎn)A(-九,0)沿L曲線y=sinx到點(diǎn)B(冗,0)的弧段。解：這里P=e-x2sinx+3y-cosy，Q=xsiny-y4。,apraq .a,apraq .apsq由于k=3+siny,-=siny，可見==-ay ax ay ax記P=e-x2sinx-cosy，則I=JPdx+Qdy+不成立。J3ydx記I+1,則曲線積分I］滿足與路徑無關(guān)的條件，選擇與l起終點(diǎn)相同的直線段y=0I二廠(e-x2sinx-1)dx=-2兀，而人=J3ydx=J"3sinxdx=01 -兀 L 一兀故所求積分I=-2幾。(12=J3ydx)。L6分四、解答下列各題(本大題共4小題，每題7分，總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟)=-4xyf”+2四、解答下列各題(本大題共4小題，每題7分，總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟)=-4xyf”+2xx2-2y2f“+xyf”+f,1112 22 27分2、計(jì)算曲面積分I=JJ2版2dydz+yQ+1>/+C—z篇dy1、設(shè)z二人2-y2,xy)，其中函數(shù)f具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),試求:x1域?yàn)?。，由Gajs公式，得=J212+2.九(z-1)dz-x1域?yàn)?。，由Gajs公式，得=J212+2.九(z-1)dz-x2+y2<123=7分3、求幕級(jí)數(shù)n-1x2n的收斂域及和函數(shù)，并數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)解：ann=1

(-1)n-1(-^—,R=lim

2n—1 -nfs斂域?yàn)長(zhǎng)1,1］。設(shè)s(x)=￡x2na

n—an+1n=1￡(-1)n-1￡后！的和。n=1=1,x=±1時(shí)原級(jí)數(shù)為￡(-1)n-1收斂，故此幕級(jí)數(shù)的收

2n-1n=1，(-1<x<1),則其中2為曲面z=x2+y2+1G<z<2)，取下側(cè)。解：取平面2：z=2，取上側(cè).則，與2構(gòu)成封閉曲面，取外側(cè).令，與2所圍空間區(qū)

s(x)=￡E-1x2n二x.￡I"-1x2n-1=x?￡Jx(-x2)n-1s(x)2n-1 2n-1 \n=1 n=1 n=10 n=1故立宇;=s(1)=T2n-1 4n=1Jx(￡(-x2)n-10 n=1故立宇;=s(1)=T2n-1 4n=14、設(shè)f(x)是周期為2兀的周期函數(shù)，且f(x)=x(-兀＜x＜兀)，試將f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。解：所給函數(shù)滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)x(x=(2k+1)兀)處不連續(xù)，因此，f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于兀+(-兀)=0，在連續(xù)點(diǎn)x(x豐(2k+1)兀)收斂于f(x)。若不計(jì)x=(2k+1)兀，則f(x)是周期為2兀的奇函數(shù)。an=0.(n=0,1,2,…)=—fKf=—fKf(x)sinnxdx=—fKxsinnxdx=—(-1)(n+1) (n=1,2,3,?一)n. 1.C1.C (-1)(n+1). 、f(x)=2(sinx-sin2x+sin3x +sinnx+—)2 3 n(xgR,且x豐土兀,士3兀,?…)五、解答題(本題《分)已知曲線過點(diǎn)&1)曲線上任一點(diǎn)P(x,y)處的切線交y軸于點(diǎn)Q,以PQ為直徑所作的圓均過點(diǎn)F(1,0)，求此曲線的方程。解：過點(diǎn)P(x,y)的切線方程2分Y-y二y(X-x),令X二0得Y二y-xy,，即Q(0,y-xy，)2分由題意，忸/I2+QfI2;PQI2得(x-1)2+y2+1+(y-xy)2=x2+(xy)2,化簡(jiǎn)dyy2+1-xdy1 1-x7= ，即下—一y y-1 (Bernoulli方程) 4分dxxydxxx令z=y2，得d--z=2(1-，其通解為z=2x-1+ex2dxxx故原方程通解為y2=2x-1+ex2，又y(1)=1，得e=0。TOC\o"1-5"\h\z所以該曲線的方程為y2=2x-1。 8分六、證明題(本題6分)已知正項(xiàng)級(jí)數(shù)乞a收斂，證明數(shù)列｛(1+a)(1+a)??(1+a)｝收斂。n 1 2 n證明：記x=(1+a［。+a)?(1+a) …

因正項(xiàng)級(jí)數(shù)2a收斂，故lim因正項(xiàng)級(jí)數(shù)2a收斂，故lima=n -nn-80,又lim-(1+"=1,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較審斂法的極n—8 an限形式知級(jí)數(shù)2ln(1+a)也收斂并記其和為sn即lim2nln(1+a)即lim2nln(1+a)ks，于是limInx=sn—8k=1 n-8故數(shù)列t(1+a)(1+a>.(1+a,limx=esnn-82高等數(shù)學(xué)A-2(09級(jí))一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中)(本大題共4小題，每小題3分，總計(jì)12分)1、函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中)(本大題共4小題，每小題3分，總計(jì)12分)1、函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)處的偏導(dǎo)數(shù)f(x,y),f(x,y)均存在是函數(shù)(B)兀Rer3、若區(qū)域D為(x-1)2+y2V1，則二重積分(A)JKd0J2cos0F(r,0)dr00(C)J2d0J2cos0F(r,0)dr2(D)2兀Rer化'3?；衫鄞畏e分為(-工02其中F(r,0)=f(rcos0,rsin0)-r。(B*-兀(D)2J20d0J2cos00d0J2cos004、設(shè)a為常數(shù)，則級(jí)數(shù)二(-1)n|1-(A)條件收斂n=1 '(B)絕對(duì)收斂acos-n(C)收斂性與a有關(guān)(D)發(fā)散0 0 x0 0y0 0z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)存在全微分的( )(A)必要而非充分條件° (B)充分而非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分又非必要條件2、設(shè)E為曲面x2+y2=R2上的0VzV1部分，則曲面積分JJe*+y2dS=(二、填空題(將正確答案填在橫線上)(本大題共4小題，每小題3分，總計(jì)12分)1、函數(shù)f(x,y)=2x2+ax+xy2+2y在點(diǎn)(1,-1)處取得極值，則常數(shù)a=2、將JedxJlnxf(x,y)dy交換積分次序得Q-Q-兀<xv0,x,0<xV兀，3、f(x)是以2兀為周期的函數(shù)，且在(-兀，兀］上有表達(dá)式f(x)=〈S(x)是f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)，則S(兀)=4、已知某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的一個(gè)特解為y*=xe2x；則該二階常系數(shù)線性齊次微分方程為。三、解答下列各題(本大題共4小題，每題4分，總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟)1、設(shè)z=ax3+bx2y+cxy2+dy3，求dz。4、計(jì)算J(2y+y3)dx+(4x+3xy2)dy,其中l(wèi)是沿曲線y=；12從點(diǎn)A(1,0)到B(0,1)的L圓弧。四、解答下列各題(本大題共4小題，每題4分，總計(jì)28分，每題要有必要的解題步驟)“ 、 Szd2z1、設(shè)z=f(x+y,xy)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求文,--。SxSxSy2、設(shè)曲線積分Jyf(x)dx+[2xf(x)-x2]dy在右半平面(x>0)內(nèi)與路徑無關(guān)，其中f(x)可導(dǎo)，且f(1)=1,求f(x)。I3、計(jì)算瓜(y2-z2)dydz+x2ydzdx+y2zdxdy,其中E是曲面z=Jx2+y2及平面z=1￡所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。4、設(shè)f(x)是周期為2冗的周期函數(shù)，且f(x)=x(-兀Vx<兀)，試將f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。五、解答下列各題(本大題共2小題，每題7分，總計(jì)14分,每題要有必要的解題步驟). 一旦 …1、求幕級(jí)數(shù)znxn的收斂域及和函數(shù)，并計(jì)算極限n=1「，1 2 3n、hm(一+——+——++——)(a>1)。nf+8aa2a3 an2、設(shè)y=y(x)滿足方程y〃-3y'+2y=2"，且其圖形在點(diǎn)(0,1)與曲線y=x2-x+1相切，求函數(shù)y(x)。六、證明題(本題6分)榮n ,^ 1n設(shè)正項(xiàng)數(shù)列單調(diào)減少，且Z(-1)a發(fā)散，證明級(jí)數(shù)Z( )收斂。n a+1n=1 n=1n09級(jí)解答一、單項(xiàng)選擇題(在每個(gè)小題四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案，填在題末的括號(hào)中)(本大題共4小題，每小題3分，總計(jì)12分)TOC\o"1-5"\h\z1、(A) 2、(D) 3、(C) 4、(B)二、填空題(將正確答案填在橫線上)(本大題共4小題，每小題3分，總計(jì)12分)1、a =_-5_ 2、J1dyJe f(x,y)dx 3、s(兀)=？ 4、y"-4y+4y=00ey 2三、解答下列各題(本大題共4小題，每題4分，總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟)1、設(shè)z=ax3+bx2y+cxy2+dy3,求dz。Sz Sz—=3ax2+2bxy+cy2, —=bx2+2cxy+3dy2 6分Sx Sy

故dz故dz=(3ax2+2bxy+cy2)dx+(bx2+2cxy+3dy2)dy3、計(jì)算二重積分JJy—x2dxdy,其中D:0<x<1,0<y<1。Dy—x2dxdy=J1dxJx2(x2—y)dy+J1dxJ1(y—x2)dyTOC\o"1-5"\h\z0 0 0 x27分J11J,[1/1 ,1 117分=J—x4dx+J(—x2+—x4)dx=——02 02 2 304、計(jì)算J(2y+y3)dx+(4x+3xy2)dy，其中L是沿曲線y=』—3從點(diǎn)A(1,0)到B(0,1)的圓弧。LP=2y+y3 Q=4x+3xy2，Py=2+3y2,Qx=4+3y2 Qx—Py=2為了利用格林公式，補(bǔ)加BO+OA，使L+BO+OA成為閉曲線，且為所圍區(qū)域D的邊界曲線的正向。J』LLJ』LL+BO+OABOOA—J—J(2y+y3)dx+(4x+3xy2)dy=JJ=JJ2d?！埂dy-Jixdx=—2D四、解答下列各題(本大題共4小題，總計(jì)28分,每題要有必要的解題步驟)SzS2z1、設(shè)z=f(x+y,xy)具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，求k,——。SxSxSy1 2S「Sz1 2S「Sz3分f'+yf‘Lf"+xf"+y(f"+xf")=f"+(x+y)f"+xyf"1 2 11 12 21 22 1112 22 7分2、設(shè)曲線積分Jyf(x)dx+[2xf(x)—x2]dy在右半平面(x>0)內(nèi)與路徑無關(guān)，其中f(x)可導(dǎo)，且f(1)=1,求f(X)。TOC\o"1-5"\h\zS S由題意，—[yf(X)]=—[2xf(X)-X2]0y o.x化簡(jiǎn)得f(X)+2xf'(x)=2x 3分, 一、1/23 、dy,1 1y=f(x)= (一x2+c) 八八令y=f(x)，即 +—y=1, 3 ) 6分dx2x vx1,, 1231 2 1又因?yàn)閒(1)—L得c——,故f(x)=—；=(—x2+—)=—x+—— 7分3 、；x3 3 3 3Vx3、計(jì)算JJ(y2-z2)dydz+x2ydzdx+y2zdxdy,其中E是曲面z―vx2+y2及平面z—1z所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。P—y2-z2,Q—x2yR—y2z.且P+Q+R—x2+y2利用高斯公式，得 XyzTOC\o"1-5"\h\zJJ(y2-z2)dydz+x2ydzdx+y2zdxdy—JJJ(x2+y2)dxdydz 4分E Q=J2兀d?J1rdrf1r2dz—— 7分0 0r 104、設(shè)f(X)是周期為2—的周期函數(shù)，且f(x)—x(-―<x<—)，試將f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù)。首先，所給函數(shù)滿足收斂定理的條件，它在點(diǎn)x(x―(2k+1)—)處不連續(xù)，因此，f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)收斂于—十；—―)―0，在連續(xù)點(diǎn)x(x中(2k+1)—)收斂于f(x)。 2分若不計(jì)x—(2k+1)—，則f(x)是周期為若不計(jì)x—(2k+1)—，則f(x)是周期為2—的奇函數(shù)。a=0.(n=0,1,2,…)3分——f―f(x)sinnxdx——f―xsinnxdx=2(-1)(〃+1)

n(n—1,2,3，…)故f(x)的傅立葉級(jí)數(shù)展開式為“、- 1?c1?c (-1)(n+1).f(x)—2(sinx--sin2x+一sin3x