第四章環(huán)與域

第四章環(huán)與域第1頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)的定義與性質(zhì)第2頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2)是半群;1)是交換群;3)可分配對(duì)定義是代數(shù)系統(tǒng),若則稱是環(huán).第3頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三如何驗(yàn)證一個(gè)二元代數(shù)系統(tǒng)是環(huán)?<R,+>構(gòu)成交換群封閉性:x,yR,x+yR可結(jié)合性:

x,y,zR,(x+y)+z=x+(y+z)R單位元:

eR,xR,x+e=e+x=x逆元:

xR,x-1R,x+x-1=x-1+x=e可交換:

x,yR,x+y=y+xR<R,.>構(gòu)成半群封閉性:

x,yR,x.yR可結(jié)合性:

x,y,zR,(x.y).z=x.(y.z)R.對(duì)+可分配x,y,zR,x.(y+z)=x.y+x.zx,y,zR,(y+z).x=y.x+z.x第4頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三例1、，，都是環(huán)。是環(huán)。是模的整數(shù)環(huán)。其中表示模的加法和乘法，，。....第5頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三符號(hào)的約定將環(huán)中關(guān)于加法的單位元記作0將環(huán)中關(guān)于乘法的單位元記作1對(duì)任何環(huán)中的元素x,稱x的加法逆元為負(fù)元,記作-x對(duì)任何環(huán)中的元素x,若x存在乘法逆元,則將它稱為乘法逆元,記作x-1用x-y表示x+(-y)用nx表示x+x+…+x(n個(gè)x相加)用-xy表示xy的負(fù)元第6頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)的性質(zhì)第7頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)的性質(zhì)的證明定理1設(shè)<R,+,.>是環(huán)，則

1)aR,a0=0a=0證明:

a0=a(0+0)=a0+a0等式兩面同時(shí)作用a0的加法逆元

(a0)-1=-(a0)得:0=a0同理可證0a=0第8頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)的性質(zhì)的證明定理1設(shè)<R,+,.>是環(huán)，則

2)a,bR,(-a)b=a(-b)=-ab證明:(-a)b+ab=(-a+a)b=0b=0ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0(-a)b是ab的加法逆元,因此(-a)b=-ab

a(-b)+ab=a(-b+b)=a0=0ab+a(-b)=a(b+(-b))=a0=0a(-b)是ab的加法逆元,因此a(-b)=-ab第9頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)的性質(zhì)的證明定理1設(shè)<R,+,.>是環(huán)，則

3)a,b,cR,a(b-c)=ab-ac

(b-c)a=ba-ca證明:

a(b-c)=a(b+(-c))=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac(b-c)a=(b+(-c))a=ba+(-c)a=ba+(-ca)=ba-ca第10頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)的性質(zhì)的證明定理1設(shè)<R,+,.>是環(huán)，則4)a1,a2,…,an,b1,b2,…,bm

R,證明思路：只需證明(1)和(2)由(1)和(2)得第11頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n=2時(shí),由于環(huán)中乘法對(duì)加法滿足分配律,等式成立當(dāng)n=k時(shí)等式成立當(dāng)n=k+1時(shí)第12頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)m=2時(shí),由于環(huán)中乘法對(duì)加法滿足分配律,等式成立當(dāng)m=k時(shí)等式成立當(dāng)m=k+1時(shí)第13頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)中計(jì)算的例子在環(huán)中計(jì)算(a+b)3,

(a-b)2(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+ab+ba+b2)(a+b)=a3+a2b+aba+ab2+ba2+bab+b2a+b3

第14頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)中計(jì)算的例子在環(huán)中計(jì)算(a+b)3,(a-b)2(a-b)2=(a-b)

(a-b)=a2-ab-ba+(-b)2=a2-ab-ba+b2(-b)2=(-b)(-b)=-(b(-b))=-(-b2)=b2第15頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三子環(huán)和環(huán)同態(tài)定義子環(huán)真子環(huán)設(shè)R是環(huán),S是R的非空子集,若S關(guān)于環(huán)R的加法和乘法也構(gòu)成一個(gè)環(huán),則稱S為R的子環(huán)若S為R的子環(huán),且SR,則稱S是R的真子環(huán)第16頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三如何驗(yàn)證一個(gè)二元代數(shù)系統(tǒng)是環(huán)?<R,+>構(gòu)成交換群封閉性:x,yR,x+yR可結(jié)合性:

x,y,zR,(x+y)+z=x+(y+z)R單位元:

eR,xR,x+e=e+x=x逆元:

xR,x-1R,x+x-1=x-1+x=e可交換:

x,yR,x+y=y+xR<R,.>構(gòu)成半群封閉性:

x,yR,x.yR可結(jié)合性:

x,y,zR,(x.y).z=x.(y.z)R.對(duì)+可分配x,y,zR,x.(y+z)=x.y+x.zx,y,zR,(y+z).x=y.x+z.x第17頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三子環(huán)的例子整數(shù)環(huán)<Z,+,.>,有理數(shù)環(huán)<Q,+,.>是實(shí)數(shù)環(huán)<R,+,.>的真子環(huán)<{0},+,.>和<R,+,.>是實(shí)數(shù)環(huán)<R,+,.>的平凡子環(huán)第18頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三子環(huán)判定定理定理2設(shè)R是環(huán),S是R的非空子集若(1)a,bS,a-bS(2)a,bS,abS則S是R的子環(huán)第19頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三子環(huán)判定定理的證明證明:根據(jù)子群判定定理,由(1)知S關(guān)于環(huán)中的加法構(gòu)成群由(2)知S關(guān)于環(huán)中的乘法封閉,又因?yàn)镾R,R關(guān)于環(huán)中的乘法可結(jié)合,因此S也關(guān)于環(huán)中的乘法可結(jié)合,因此S關(guān)于環(huán)中的乘法構(gòu)成半群.第20頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三子環(huán)判定的例子考慮整數(shù)環(huán)<Z,+,.>,對(duì)于任意給定的自然數(shù)n,nZ={nz|zZ}是Z的非空子集,nZ是否是Z的子環(huán)?nk1,nk2nZ,nk1-nk2=n(k1-k2)nZnk1,nk2nZ,nk1.nk2=n(k1nk2)nZ第21頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)同態(tài)第22頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)同態(tài)映射的例子

設(shè)R1=<Z,+,.>是整數(shù)環(huán),R2=<Zn,,>是模n的整數(shù)環(huán),:ZZn

(x)=xmodnx,yZ,(x+y)=(x+y)modn=(x)modn(y)modn=(x)

(y)(xy)=(xy)modn=(x)modn(y)modn=(x)(y)第23頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三整環(huán)與域第24頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三一些特殊的環(huán)交換環(huán)含幺環(huán)無零因子環(huán)整環(huán)第25頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三1)是交換群;是代數(shù)系統(tǒng),若則稱是交換環(huán).3)可分配對(duì)2)是半群且可交換;一些特殊的環(huán)第26頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2)是半群且有幺元;1)是交換群;3)可分配對(duì)是代數(shù)系統(tǒng),若則稱是含幺環(huán).一些特殊的環(huán)第27頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2)是半群且a,bR1)是交換群;3)可分配對(duì)是代數(shù)系統(tǒng),若則稱是無零因子環(huán).一些特殊的環(huán)a.b=0a=0或b=0第28頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三2)是可交換獨(dú)異點(diǎn)1)是交換群;3)可分配對(duì)是代數(shù)系統(tǒng),若則稱是整環(huán).且無零因子;一些特殊的環(huán)第29頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三特殊環(huán)的例子整數(shù)環(huán)Z,有理數(shù)環(huán)Q,實(shí)數(shù)環(huán)R,復(fù)數(shù)環(huán)C都是交換環(huán),含幺環(huán),無零因子環(huán)和整環(huán)2Z={2z|zZ},則2Z關(guān)于普通的加法和乘法構(gòu)成交換環(huán)和無零因子環(huán),但不是含幺環(huán)和整環(huán),因?yàn)?2Z第30頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三特殊環(huán)的例子設(shè)n是大于等于2的正整數(shù),則n階實(shí)矩陣的集合Mn(R)關(guān)于矩陣加法和乘法構(gòu)成環(huán)它是含幺環(huán),因?yàn)榘朔ǖ膯挝辉?單位矩陣)它不是交換環(huán),因?yàn)榫仃嚦朔ú豢山粨Q它不是無零因子環(huán),n=2它不是整環(huán)第31頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三特殊環(huán)的例子Z6關(guān)于模6加法和乘法構(gòu)成環(huán)它是交換環(huán).它是含幺環(huán).它不是無零因子環(huán)和整環(huán),因?yàn)?3=0,但是2和3都不是0,2和3都是零因子.第32頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三特殊環(huán)的例子Zn關(guān)于模n加法和乘法構(gòu)成環(huán),它是交換環(huán),含幺環(huán),則Zn是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)Zn是整環(huán)n是素?cái)?shù)用反證法:假設(shè)n不是素?cái)?shù),則存在兩個(gè)因子s,t<n,s.t=n,這樣就有st=0,則s,t是Zn中的零因子,Zn不是無零因子環(huán),Zn不是整環(huán),這與Zn是整環(huán)矛盾.第33頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三特殊環(huán)的例子Zn關(guān)于模n加法和乘法構(gòu)成環(huán),它是交換環(huán),含幺環(huán),則Zn是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)Zn是整環(huán)n是素?cái)?shù)用反證法:假設(shè)Zn是不整環(huán),則Zn不是無零因子環(huán),則存在兩個(gè)零因子s,t<n,st=0,s.t=k.n,n|s.t,因?yàn)閚是素?cái)?shù),因此有n|s或者n|t,這與s,t<n矛盾.第34頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三判斷環(huán)是無零因子環(huán)的條件定理3設(shè)R是環(huán),R是無零因子環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R中的乘法適合消去律,即a,b,cR,a0有ab=acb=c;ba=cab=c;證明:a,b,cR,a0有ab=acab-ac=0

a(b-c)=0;R是無零因子環(huán)b-c=0b=c同理可證ba=cab=c;第35頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三判斷環(huán)是無零因子環(huán)的條件定理3設(shè)R是環(huán),R是無零因子環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R中的乘法適合消去律,即a,b,cR,a0有ab=acb=c;ba=cab=c;證明:只需證明a,bR,a0,當(dāng)ab=0時(shí),b=0.以及當(dāng)ba=0時(shí),b=0.ab=0=a.0,由消去律知b=0ba=0=0.a,由消去律知b=0第36頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三環(huán)的直積設(shè)R1,R2是環(huán),<a,b>,<c,d>R1R2令<a,b>+<c,d>=<a+c,b+d><a,b>.<c,d>=<a.c,b.d>R1R2關(guān)于+和.運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)環(huán),稱為環(huán)R1和R2的直積.第37頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三若R1和R2是交換環(huán)和含幺環(huán),則R1

R2也是交換環(huán)和含幺環(huán)若R1和R2是無零因子環(huán),則R1

R2不一定是無零因子環(huán)Z3和Z2是無零因子環(huán),Z3Z2就不是無零因子環(huán)<2,0>.<0,1>=<0,0>,存在零因子<2,0>和<0,1>因此,整環(huán)的直積不一定是整環(huán).第38頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三域的定義設(shè)R是整環(huán),,且R中至少含有兩個(gè)元素,若aR*=R-{0},都有元素a關(guān)于乘法的逆元素,則稱R是域.第39頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三域的例子有理數(shù)集合Q,實(shí)數(shù)集合R,復(fù)數(shù)集合C關(guān)于普通的加法和乘法都構(gòu)成域,分別稱為有理數(shù)域,實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域.整數(shù)環(huán)Z只能構(gòu)成整環(huán),而不是域,因?yàn)?屬于整數(shù)集合,但是5關(guān)于乘法的逆元素1/5不屬于Z.第40頁，共45頁，2023年，2月20日，星期三域的例子設(shè)n是素?cái)?shù),證明Zn是域證明思路:欲證Zn是域需證明3點(diǎn)(1)Zn是整環(huán)(2)Zn中至少含有2