2022年線性代數(shù)與幾何題庫試卷20套及答案

線性代數(shù)與幾個(gè)測(cè)試卷

試卷(-):

一.填空題(共20分)

1.若A*是6階方陣A的伴隨矩陣，且rank(A)=4,則rank(A)=.

2.設(shè)A=-sina],則⑷*____________________.

(sinacoscrJ

3.設(shè)丫=《陽,馬,七)7'|2王-它+3%3=0｝是川的子空間，則，的維數(shù)是

4.對(duì)稱矩陣A的全部特征值為4,-5,3,2,若已知矩陣A+便為正定矩陣，則

常數(shù)夕必須大于數(shù)值

‘1/1000、

01200

己知〃階矩陣A=°°1"0則矩陣A的逆是

5.,/LNO,

000???12

、000…01,

二.選擇題(共20分)

1.若A8是〃階方陣，下列等式中恒等的表達(dá)式是()

(A)(AB)2=AB；(B)(AB)T=1；

(C)|A+@=M|+|B|；(D)(A3)*=B*A*.

2.若A為〃階方陣，則A為正交矩陣的充分必要條件不是()

(A)A的列向量構(gòu)成單位正交基；(B)A的行向量構(gòu)成單位正交基;

(C)A-1=Az；(D)detA=±l.

3.若匕是空間的一個(gè)左維子空間，％,是匕的一組基；匕是空間

在加的一個(gè)女維子空間,…，瓦是丫2的一組基,且〃?工攵<狐上<〃，則:

(A)向量組％,%,…,如可以由向量組尸I，/?2,…,乩線性表示;

(B)向量組4,不，…,乩可以由向量組%，%，…,如線性表示；

(C)向量組外，…，乩與向量組％,%，…,應(yīng)可以相互線性表示;

(D)向量組凡外…血與向量組即。2,…,％不能相互線性表示?

4.若4,4是實(shí)對(duì)稱方陣力的兩個(gè)不同特征根，當(dāng)看2是對(duì)應(yīng)的特征向量，則

以下命題哪一個(gè)不成立()

(A)4，%都是實(shí)數(shù)；⑻2一定正交；

(0有可能是A的特征向量；(D)4+4有可能是A的特征根?

5.已知4為〃+1階方陣，且rank(A)=k,非齊次線性方程組AX=B的

九-女+1個(gè)線性無關(guān)解為&&，…&_*“如，則Ax=B的通解為().

(A)G。+C?蜃+…+

(B)c&+QG+…+%.孰+C“T+Ci；

(C)C,(。-4"_?+1)+42-4"一*+1)+,-,+C"T(&_k-4“_*+1)；

(D)G(。---*+1)+&④-L+i)+…+cn-k(自n-k-4n-k+l)+^n-k+1*

三.解下列各題(共25分)

1.若A為3階方陣，且同=g,求：甲-A1

，1-1-1-P

-11-1-1

2.設(shè)A=，求矩陣M,A”.

—1—11—1

<-1-1-11>

3.計(jì)算向量￡=(-1,2,4)7在基%=(1,1,1)。%=(0,1，1)'，。3=(1，T，1)T下的

坐標(biāo).

4.設(shè)向量組

r

%=(-2,l,0,3),a2=(1,一3,2,4)7,4=(3,0,2,1尸,。4=(2,-2,4,6廠,

求向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組.

（200、

3400

5.利用分塊矩陣方法，計(jì)算A=00的逆矩陣.

24

00L

四.證明題（8分）設(shè)〃維向量組%,%，…,應(yīng)和向量組回，不，…,國(guó)有關(guān)系

=a2+a3+---+an

A=?i+a+???+??

*3

問〃維向量組囚,火，…,%和向量組以，不，…,凡是否同秩？證明你的結(jié)論.

五.（8分）二次型/（%],%,%3，匕）=+3K+3叫2+25々彳3,3>（）,通過

正交變換，可將此二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形7=必2+2必2+5乃2,求參數(shù)5及所用正

交變換.

六.（8分）求線性方程組

X］一-工3+%4=0

$-9+%3-3%4=1

\1

X|一Xz—2工3+314二—

的通解.

七.（6分）解矩陣方程，并寫出解方程時(shí)初等矩陣的變換過程

'010、100、1-43、

100X001201

、00b010,1-20,

八.（5分）設(shè)A是4階方陣，且A的特征根4,4,％,乙互不相同,證明:

（1）方陣A有四個(gè)線性無關(guān)的特征向量.

（2）方陣A可以對(duì)角化.

試卷(二):

計(jì)算下列各題：(每小題6分，共30分)

162379225

(1)162380176,

162380180

求2A2+3A+E2,其中4=]]

(2)2

(3)已知向量組%=(0,2,3)：%=(2,3,3)7g=(-1,2")7線性相關(guān),求

(4)求向量a=(-1,2,4尸在基%=(1,=(01,1),,巴二4一切7■下的

坐標(biāo).

(5)設(shè)4=(；：］，求A的特征值.

’031、

二.(8分)設(shè)A=200,且AB=A，+8,求矩陣B.

、002,

123a

三.(8分)計(jì)算行列式：°0/?3

0c02

x001

四.(8分)設(shè)有向量組

%=(0,1,1,2,3),，%=(1,0,1,2,5)「，。3=(l,l,0,—2,—7)r,%=(3,3,2。,—6)1

求該向量組的秩以及它的一個(gè)最大線性無關(guān)組.

五.(8分)求下列方程組的通解以及對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

3占+2X2-當(dāng)+工4—4%=10,

<2xl一元2+3芻一工4+工5=4,

7再+5X3-X4-2X5-18.

2

六,(8分)求出把二次型f=a(x；+x2+k)+2玉%+2X1%3—2々%3化為標(biāo)準(zhǔn)

形的正交變換,并求出使/為正定時(shí)參數(shù)。的取值范圍.

七.（10分）設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為3（二重根）、4（一重

根），%=（1,2,2尸是A的屬于特征值4的一個(gè)特征向量，求A

八.（10分）當(dāng)。力為何值時(shí)，方程組

axx+x2+x3=4,

<$+2如+3%3=10,

x}+3bx?+3X3=2,

有惟一解、無窮多解、無解？

九.（10分）（每小題5分，共10分）證明下列各題

（1）設(shè)A是可逆矩陣，A-B,證明B也可逆，且

（2）設(shè)a,/7是非零〃xl向量,證明a是〃x〃矩陣的的特征向量.

試卷（三）:

—.填空題（每小題4分，共20分）

‘100、

1.已知正交矩陣P使得P'AP=0-10,則pTA2°°6（E+A）P=.

、00-2,

2.設(shè)A為〃階方陣，4,…,人為A的〃個(gè)特征值，則det（4）=.

3.設(shè)A是加x〃矩陣，8是加維列向量，則方程組AX=3有無數(shù)多個(gè)解的充分

必要條件是：.

4.若向量組。=(0,4,2)。夕=(2,3,1)”=",2,3)7的秩為2,則t=

1511

x52-3

5.￡)(%)=2,則。(x)=0的全部根為:

549

58-27

二.選擇題（每小題4分，共20分）

0???0-1

0-10

1.行列式的值為（）.

—1…00

A.1B.-1

n(/i+l)

C.(-1尸D.(-1尸

2.對(duì)矩陣A,“x”施行一次行變換相當(dāng)于（）.

A.左乘一個(gè)機(jī)階初等矩陣B.右乘一個(gè)機(jī)階初等矩陣

C.左乘一個(gè)〃階初等矩陣D.右乘一個(gè)〃階初等矩陣

3.若A為加X”矩陣，r（A）=r<〃,M=（X|AX=0,Xe/?"},則（）.

A.M是機(jī)維向量空間B.M是〃維向量空間

C.M是r維向量空間D.M是維向量空間

4.若〃階方陣A滿足，1=0,則下列命題哪一個(gè)成立（）.

n

A.r(A)=0B.r(A)=-

nn

c.r(A)>-D.r(A)<-

22

5.若A是〃階正交矩陣，則下列命題哪一個(gè)不成立().

A.矩陣4T為正交矩陣B.矩陣A-1為正交矩陣

C.矩陣A的行列式是±1D.矩陣A的特征值是±1

三.解下列各題（每小題6分，共30分）

1.若A為3階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，求det（A*）.

?111

2.計(jì)算行列式1“1L

\\a\

111a

[020]

3.設(shè)4=200,AB=A—8,求矩陣3.

、001,

4.求向量組%=（1,2,1,2）、%=（1,0,1,2廠,%=（LI。。）'，%=（1，L2,4）T的一個(gè)

最大無關(guān)組.

5.求向量。=（1,2,1）「在基a=（1,1,1）。p=（0,1,1尸,r=①一LI），下的坐標(biāo).

四.（12分）求方程組

X]+工2-2尤3+工4+工5=2

<3%]—尢2+2X3+7X4+3X5=2

x[+5X2-10X3-3X4+x5=6

的通解（用基礎(chǔ)解系與特解表示）.

五.（12分）用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交變換矩陣

2

f（xl,x2,x3）=2xlx2+x^+x3-22％3

六.證明題（6分）

設(shè)4w0,芻，2,…勇是線性方程組AX=〃對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組的一個(gè)

基礎(chǔ)解系，〃是線性方程組AX=0的一個(gè)解，求證

芻+〃，2+小…4r線性無關(guān).

試卷（四）:

一、填空題（共20分）

1.設(shè)A是“X〃矩陣，B是小維列向量，則方程組AX=8無解的充分必要條

件是：

2.已知可逆矩陣P使得p-Mp/cosesm。],則尸4「二

1-sin。cos^J

3.若向量組a=（0,4,t）,3=（2,3,1）,y=（t,2,3）的秩為2,則t二

4.若A為2n階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則|A*卜

5.設(shè)A為n階方陣，A,，%，……,凡是A的〃個(gè)特征根，則之\\E-A\=

/=1

二、選擇題（共20分）

1.將矩陣4,*"的第i列乘C加到第j列相當(dāng)于對(duì)A：

A,左乘一個(gè)m階初等矩陣，B,右乘一個(gè)m階初等矩陣

C,左乘一個(gè)n階初等矩陣，D,右乘一個(gè)n階初等矩陣

2.若A為mXn矩陣，8是，〃維非零列向量，r(A)=r<min{m,n}o集合

M={X:AX=B,XwR"}則

A,M是加維向量空間，B,"是n-r維向量空間

C,M是m-r維向量空間，D,A,B,C都不對(duì)

3.若n階方陣A,B滿足，，則以下命題哪一個(gè)成立

A,A=±B,B,r(A)=r(B)

C,detA=±detB,D,r(A+B)+r(A-B)<n

4.若A是n階正交矩陣，則以下命題那一個(gè)成立：

A,矩陣AT為正交矩陣，B,矩陣-A-'為正交矩陣

C,矩陣A*為正交矩陣，D,矩陣-A*為正交矩陣

1

-1...-10

5.4n階行列式的值為：

—1…00

A,1,B,-1

C,nD,-n

三、解下列各題(共30分)

(5、'1]I"3

1.求向量夕=-1,在基岡=0,。2=1下的坐標(biāo)。

jJloj”

’020、

2.設(shè)A=200,A8=A-'-B,求矩陣b-A

、。o1,

13-35

3.計(jì)算行列式19925

127-271：25

181816：*5

"1-34()9、

-26-6-；—1°列向量組生成的空間的一個(gè)基。

4.計(jì)算矩陣A=.’

-39-6--9-3

、3-94120；

a瓦瓦…"、

a”2…b.

5.設(shè)4=b\a...bn計(jì)算detA

bib2...a)

四、證明題（10分）

設(shè)。，2,…,多是齊次線性方程組AX=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，"不是線性方程組

AX=0的一個(gè)解，求證芻+〃，2+〃「?,，,+",〃線性無關(guān)。

五、（8分）用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交變換矩陣

22

f{x},x2,x3)-2xlx2+x2+x3-2XJX3.

六、（8分）a取何值時(shí)，方程組

王+冗2-2七-Q

,3%-%+2七=。有無數(shù)多個(gè)解？并求通解

%1+5X2-10X3=6

七、（4分）設(shè)矩陣A,B,A+5都是可逆矩陣，證明矩陣AT+5T也是可逆

矩陣。

試卷(一)解答：

’200]

一.1.0002.4?…4：3.rank(A)-rank(AB)<n

、00-2200%

4.t=—85.1,2,-3.

二.1.D2.A3.D4.D5.D

1.A4*=|A|En|A||A*|=|A/=|A*HA|2=|A4r|=|A4-1|=|E|=1.

2.

a11111111111

1a111a110a-100

=(a+3：=(a+3)=(Q+3)(a—.

11a111a100a-10

111a111Cl000a-1

3.由AB=A-6有(A+E)B=A.

、

2r4_2

-0-()

33(02033

2_24

B—(A+f)-1A-,102000?

333

0011。0001

I7

4.

’1111111、

20110-2-1-1

(?iaa%)=—>?—>=>rank(a,a,a,a)=3,

23110200-11[234

J

3204、0000,

0-?-1

而向量組:二，八，,線性無關(guān),可得rank(a^a,a)=3故四，%，

()0—123

同〔。＞1S

出為一個(gè)最大線性無關(guān)組.

令/=(1,2,1)7=xa+y/3+zy,

則有：

「「3

Jx+z=1J2

X+y-Z=2解得：Yy=0

、x+y+z=lI_1

(Q的坐標(biāo)為(g,O,—^)

四解:

'12-2112](11-2112Afl1-2112、

兵=3-12732-?04-8-404-?01-2-101

J5-10-316)(0-40-4)1000

84000,

原方程組同解下面的方程組:

x2-2X3-x4=1

Jx,+x=2+2X-X-X

即:2345

JC2=1+2%3+%4

令.=4=匕=o,求解得：(i,i,o,o,o)=no

齊次方程組基礎(chǔ)解系為：

7=(0,2,1,0,0),%=(-2,1,0,1,0)，73=(T,0,0,0,1),通解為〃+砧i+a2rj2+a3rj3。

五.解:

T

f(Xl,x2,x.)=XAX

'oi-r

A=110

10L

2-11

\AE-A\=-12-10=(2-1)(2-2)(2+1)

102-1

=4=i,A2=2,4=—i.

當(dāng)4=1時(shí)，由(A-=o，求得基礎(chǔ)解系：i

(xA(1、

當(dāng)22=1時(shí)，由缶-4?無2=0，求得基礎(chǔ)解系：1

當(dāng)4=-1時(shí)，由(A-4?無2=0,求得基礎(chǔ)解系：-1

2

O_L瓶

1V31

飛

單位化:正J￡_

11

需

萬

1

V3

O_fL

V6

1'100、

令U1

=正

丐「福則U'AU=020

1

力I、oo7

石

76>

若X=。匕則f=X，AX=y；+2M-y；.

六.證明：設(shè)弓脩+〃)+。2《2+〃)+…+《■?■+〃)+。〃=。，

則：4苫1+。242-----。/r+(。1+/-------ar+"切=。，

于是A(ag+4242+?,?+?,4,-+(?1+?2+,,■+?,.+b)〃)=0,

即+a2+--+ar+b)Ar)=0,但=0字0,因此

a1+%+…+?+b=0.從而有〃占+a2$+…=0.

又配務(wù)…專線性無關(guān)，因此a]=a2=-=ar=0.于是

6=0.故有:+〃42+〃，…，多+〃,〃線性無關(guān).

試卷(二)部分解答:

(3)已知向量組％=。2,3尸,%=(2,3,3)，,%=(T，2J)‘線性相關(guān)，求力

02-1

32=0,可求出七”.

解：％,&2，。3線性相關(guān)。det(%,a,,%)=2

4

3

’03P

二.(8分)設(shè)A=200，且AB=A，+8,求矩陣B.

、。02,

解：+B^(A-E)B=AT,

Jl3np3-1、

A—E=2-10可逆，且(A-E)T=L21-2

V*

,0005,

(\3-1Y020、(82-2、

r

于是B=(A-E)-'A='21-2300-14-4

'I。5

05人102,(5010J

五.（8分）求下列方程組的通解以及對(duì)應(yīng)的齊次方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系.

3xj+2X2-x3+x4-4X5=10,

<2x（-/+3^3-x4+x5=4,

7%1+5X3—x4-2X5=18.

（與76頁例4.17類似作）

六.（8分）求出把二次型/=a（x；+々2+X3?）+2X1X2+2超工3-2%2%3化為標(biāo)準(zhǔn)

形的正交變換,并求出使f為正定時(shí)參數(shù)。的取值范圍.

22

解：二次型/=a(xj+x2+%3)+2%1%2+2西%3-2々%3的矩陣為

ra11、

A=1a—1.由

JTa>

a-A11

|A-2E|=1a-A-1=(a+l—2)2(?！?一；1)=0,

1-1a-2

得特征值4=彳2=。+1，%。一2.

r-l1I(IT-n

對(duì)4=4=a+1，A—(a+1)E-1-1-1->00o

,1-1-1J100

TT

可得(A-(a+l)E)X=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：X1=1,X2:0,

OJ

p-'1/2

正交化：取芻=X1^2=^2-5=01-1/2

(332

,17

，21i]101]

對(duì)丸3=〃—2,A—(a—2)E=I2-i->0I-1,

oj

J-12>00

-1、

可得(A-(a-2)E)X=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系為:X3=1

17

1/VT'1/瓜、'-1/6、

-1/V6,1/V3,

將4&，乂3分別單位化，得：71/V2,%=〃3=

02/V61/V3

/7\7

1/V6—1/V3

(1/V2y

-1/V61/V3,則此正

取正交變換X2=(〃”〃2，〃3)必=1/叵當(dāng)

2/V61/V3

X37"J0、必,

\7

交變換將二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形：/=(a+l)y；+(a+1)貨+(a-2)火

/正定<=>a+1>0且a-2>0oa>2.

七.(10分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣4的特征值為3(二重根)、4(一重

根)，3=(1,2,2尸是A的屬于特征值4的一個(gè)特征向量，求A

㈤

解：設(shè)A的屬于特征值3的特征向量為X=無2，由于實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征

值對(duì)應(yīng)的特征向量正交,則有(％,X)=0,即：凡+2/+2/=0.此方程

2、，2、

的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：卷-1*20,則。，&為A的屬于特征值3的

oj

<-1>

兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量,于是:

「400、’400、

4%，4，曷）=（四專&）030=4=(以44)。30(即芻自尸

I。03,、003,

」22Y400、(\2<2822、

1]_

2-100302-542314

99

30-1人003,24-5>2431,

八.（10分）當(dāng)a力為何值時(shí),方程組

ax{+%+￡=4,

<$+2bX?+3X3=10,

%1+3bx?+3X3=2,

有惟一解、無窮多解、無解？

%111(a11

解：記4=12b3,N=12b310

J3b3)3b32,

11

系數(shù)行列式detA=12h3=/?(l—3a),

13b3

（1）.當(dāng)時(shí)，detA#0,由克萊姆法則知方程組有惟一解.

7114)/a

（2）.當(dāng)。=0時(shí)，彳=10310-10310,于是

J032,,000-8?

rank(A)<rank(A)=>方程組無解.

1/3114、'13312、

“x3

(3).當(dāng)。H0,a=1時(shí)，N=4F、

12h310J12/7310

3

13b32>、000—8,

’13312、’13312、

2b-3

ry--------r

02b—30-2-b3>00014-24/Z?

、0b0-8?、0b0-8y

I/

⑴當(dāng)6=—時(shí)，ra〃Z(A)=ra/(A)=2<3=>方程組有無窮多解.

7

12~

(ii)當(dāng)人聲一時(shí)，ra”火(A)=2<raM(A)=3=方程組無解.

7

九.(10分)(每小題5分，共10分)證明下列各題

(1)設(shè)A是可逆矩陣，A-B,證明B也可逆，且

(2)設(shè)a,4是非零〃xl向量，證明a是〃x〃矩陣的特征向量.

證明：

(1)由于A?則存在可逆矩陣P,使得P'AP=B,于是由A可逆知

8也可逆，且B-'=(p-'APYl=p-'A''(P''Y'=p-'AT'P^A-'~B''.

由(W)a=a(ga)=ka知a為的屬于％的特征向量.

試卷(三)：

一.填空題(共20分)

1.設(shè)A是加X”矩陣，B是加維列向量，則方程組AX=3有唯一解的充分必

要條件是：rank(A)=rank(AB)=n.

2.已知E為單位矩陣，若可逆矩陣P使得2kAp+kA2P=3E,則當(dāng)E-A可

逆時(shí)，A3=-27E.(利用2A+A?=3E=(A+3E)(A—E)=OnA=-3E)

3.若t為實(shí)數(shù)，則向量組a=(0,4,t),B=(2,3,1),y=(t,2,3+t)

的秩為：3

4.若A為2009階正交矩陣，A*為A的伴隨矩陣，則⑷=1

5.設(shè)A為n階方陣，4,心……兒是A的〃個(gè)特征根，則力|2；￡-A;|=0

/=1

二.選擇題(共20分)

1.如果將單位矩陣￡的第i行乘k加到第j行得到的矩陣為P(川(A)),將矩陣

的第i列乘k加到第j列相當(dāng)于把A：(B)

A,左乘一個(gè)尸B,右乘一個(gè)P(i,/(&));

C.左乘一個(gè)P(/,i(Q);D,右乘一個(gè)P(川(Q).

2.若A為mXn矩陣，8是加維非零列向量，r(A)-r<min{m,n}0集合

M={X:AX=B,XeR"},則(D)

A,M是m維向量空間，B,"是n-r維向量空間

B,M是m-r維向量空間，D,A,B,C都不對(duì)

3.若n階方陣A滿足A2+3A=4E,則以下命題哪一個(gè)成立(B)

A,A=E,B,r(A)=r(E)

C.detA=det￡,D,r(A+f)+r(A-E)<n

4.若A是2n階正交矩陣，則以下命題哪一個(gè)一定成立：(A)

A,矩陣A*AT為正交矩陣，B,矩陣2AT為正交矩陣

C,矩陣A+A*為正交矩陣，D,矩陣A-A*為正交矩陣

—1…—1—1

-1...-1o

5.如果n階行列式的值為-1,那么n的值可能為：(C)

—1,??00

A,2007,B,2008

C,2009,D,2000

三.判斷題(每小題4分，共12分)

(1)對(duì)線性方程組的增廣矩陣做初等變換，對(duì)應(yīng)的線性方程組的解不變.(錯(cuò))

(2)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值為實(shí)數(shù).(對(duì))

(3)如果矩陣的行列式為零，那么這個(gè)矩陣或者有一行(列)的元素全為零，或

者有兩行(列)的元素對(duì)應(yīng)成比例.(錯(cuò))

四.解下列各題(每小題8分，共16分)

5、‘-3、

1.求向量夕=-1下的坐標(biāo).（坐標(biāo)為：2）

6

37)

12

21

2.設(shè)4=23

23

”(〃+1)

23n

I23n/?(/?+!)

I3n

213n

q+(c2+--<?)

解：detA231u?(/?+1)

31n

2

2341

〃(〃+1)

341

2

123nQ-2q1000

C3-3C]

113n1-100

/?(/?+1)…小+1)

131n11-20

2=~~2-

341111\-n

”(〃+1)八/c、z//,,|n(/7+l).

---(-1)(-2).?…(一(〃-1))=(-11)V---(n-1)!

22

1111、

101；列向量組生成的子空間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基.

五.（10分）求矩陣A

010

100b

解：先求矩陣A列向量組生成的子空間的一個(gè)基.由于

'1111、‘1111、'1111、

10100-10-10000

A=

010101010101

J00、0-1-10,、00-1"

可知A的前三列線性無關(guān),為子空間的一個(gè)基.記

1、「2、

11-1

033

1>

rn

（0\，a）§（尸2,%）夕=121

A-%

（八八'（氏萬2）030

再單位化,令

T

_仇_11

⑴

則與應(yīng)由為所求標(biāo)準(zhǔn)正交基?

六.證明題（6分）設(shè)A是m行n列矩陣，如果線性方程組AX=尸對(duì)于任意

m維向量夕都有解，證明A的秩等于m.

證明：設(shè)4=（%,％,則名,%，…,%為m維向量組.由于線性方程組

AX=尸對(duì)于任意m維向量夕都有解，現(xiàn)分別取夕等于m維基本單位向量:

el,e2,---,e?l,可知向量組“勺,…,e,“可由向量組風(fēng),線性表示，又向量組

可由向量組4勺,…,e,“線性表示，于是向量組q,%與向量組

備,02,5等價(jià),故rank（A）=rank（?,%,???,%）=rank（et,e2,?--,€,?）=m.

七、（10分）用正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交變換矩陣

22

/（X|,,%3）=2%；+4%1%2+3-^2一4%2%3+4x3..

解：設(shè)

[220]

r

/(xI,x2,x3)=XAX=>23-2

10—24,

2-220

|A-ZE|=23-2-2=A(2-6)(3-2)

0-24-2

=4=0,A2=3,A3=6.

㈤卜2]

對(duì)特征值4=o,由（A-4E]九2=0，求得基礎(chǔ)解系：x,=2

,1,

㈤

對(duì)特征值％=3,由（A-4?》2=0,求得基礎(chǔ)解系:

VX37

對(duì)特征值由4E]X2求得基礎(chǔ)解系：

4=6,（A-=0,X3=2

\X3>「

X1,X2，X3已兩兩正交，再單位化：

工」Xa

%

_21\

~33僅00、

令。=|

-，則0為正交陣，且Q/Q=030

21°06,

3>

正交變換為X=Q匕將二次型/=X?AX化為標(biāo)準(zhǔn)形：/=3y；+6y；.

八、（6分）設(shè)矩陣A,3都是正定矩陣，證明矩陣A+B也是正定矩陣.

證明：由于矩陣4,8都是正定矩陣，則對(duì)于任一XHO,有

f（X）=XrAX>0,g（X）=XrBX>0,

從而/(X)+g(X)=XTAX+XTBX=Xr(A+8)X>0,故A+B是正定矩陣.

試卷(四):

—.填空題(每小題4分，共20分)

1.設(shè)A是加x〃矩陣，那么A的秩不超過r的充分必要條件是：A的廠+1階子式全

為0.

2.已知E為單位矩陣，若2A+AT=3E,則當(dāng)E—A可逆時(shí)，A3=—.

8

Q

3.若向量組a=(f,3f-2,—f—6),尸=(2,3,1),/=(M,3+/)的秩為2時(shí)，f=0或一

4.若A為2