勾股定理經(jīng)典例題

關(guān)于勾股定理經(jīng)典例題第1頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月a2+b2=c2cba勾股定理2第2頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月知識要點(diǎn)：1.勾股定理：對于任意的直角三角形，如果它的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么一定有2.勾股定理逆定理：直角三角形的判定：如果三角形的三邊長a、b、c有關(guān)系：，那么這個三角形是直角三角形。a2+b2=c2a2+b2=c2cba第3頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月ABC螞蟻從A點(diǎn)經(jīng)B到C點(diǎn)的最少要爬了多少厘米？GE34512513（小方格的邊長為1厘米）練習(xí)1:第4頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月６.勾股數(shù)①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2+b2=c2中，a，b，c為正整數(shù)時，稱a，b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25;等③用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：

（n為正整數(shù)）；

（n為正整數(shù)）；

（n為正整數(shù)）；練習(xí)2:第5頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月題型一：直接考查勾股定理例一.在中，⑴已知，．求⑵已知，，求分析：直接應(yīng)用勾股定理的長的長利用對角對邊，分清直角邊，斜邊練習(xí)3:第6頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解：⑴⑵

代王中學(xué)教學(xué)課件第7頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？題型二：利用勾股定理測量長度分析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長和一條直角邊長，求另外一條直角邊的長度，可以直接利用勾股定理！解：根據(jù)勾股定理AC2+BC2=AB2,即AC2+92=152,所以AC2=144,所以AC=12練習(xí)4:第8頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3

．如圖，有一只小鳥在一棵高13m的大樹樹梢上捉蟲子，它的伙伴在離該樹12m，高8m的一棵小樹樹梢上發(fā)出友好的叫聲，它立刻以2m/s的速度飛向小樹樹梢，那么這只小鳥至少幾秒才可能到達(dá)小樹和伙伴在一起？第9頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月A小汽車小汽車BC觀測點(diǎn)例題4．“中華人民共和國道路交通管理?xiàng)l例”規(guī)定：小汽車在城街路上行駛速度不得超過24km/h.如圖，，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方30m處，過了2s后，測得小汽車與車速檢測儀間距離為50m，這輛小汽車超速了嗎？第10頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例題5如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長著一根蘆葦，出水部分BC的長是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.練習(xí)5:第11頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解：如圖2，根據(jù)勾股定理，AC2+CD2=AD2

設(shè)水深A(yù)C=x米，那么AD=AB=AC+CB=x+0.5x2+1.52=（x+0.5）2解之得x=2.故水深為2米.代王中學(xué)教學(xué)課件第12頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例題6

、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。

思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。

解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得：

（3x）2+（4x）2＝202

化簡得x2＝16；

∴直角三角形的面積＝×3x×4x＝6x2＝96

總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。

第13頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例題7、一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?

練習(xí)6:代王中學(xué)教學(xué)課件第14頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高度是否小于CH．如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD⊥ＡＢ，與地面交于H．

解：OC＝1米(大門寬度一半)，

OD＝0.8米（卡車寬度一半）

在Rt△OCD中，由勾股定理得：

CD＝＝０.６米，

CＨ＝０.６＋２.３＝２.９（米）＞２.５（米）．

因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門．

=第15頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題例題8

、如圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。

（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。

（2）確定目的地C在營地A的什么方向。

類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

練習(xí)7:第16頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

解析：（1）過B點(diǎn)作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC為直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

所以

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

∴∠CAB=30°

∵∠DAB=60°

∴∠DAC=30°

即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向

代王中學(xué)教學(xué)課件第17頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）用勾股定理求最短問題

例題9如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高ＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程．

練習(xí)8:第18頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

解：

如圖，在Rt△ＡＢＣ中，ＢＣ＝底面周長的一半＝１０cm，根據(jù)勾股定理得

∴AC＝＝＝≈１０．７７（cm）（勾股定理）．

答：最短路程約為１０．７７cm．

代王中學(xué)教學(xué)課件第19頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月利用勾股定理作長為的線段

練習(xí)9:第20頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月例、如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷ΔABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題練習(xí)10:第21頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月

解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得：

a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0,

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。

∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0。

∴a=3，b=4，c=5。

∵32+42=52,

∴a2+b2=c2。

由勾股定理的逆定理，得ΔABC是直角三角形。

總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。

代王中學(xué)教學(xué)課件第22頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)?？醋魇侵苯侨切蔚男边?，

為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，

而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。

作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，

以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。

解析：可以把練習(xí)11:第23頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

練習(xí)12:第24頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月【答案】：連結(jié)AC

∵∠B=90°，AB=3，BC=4

∴AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）

∴AC=5

∵AC2+CD2=169，AD2=169

∴AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°（勾股定理逆定理）

第25頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN＝30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP＝160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時間為多少秒？

練習(xí)13:第26頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學(xué)校受影響的時間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。第27頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解析：作AB⊥MN，垂足為B。

在RtΔABP中，∵∠ABP＝90°，∠APB＝30°，AP＝160，

∴AB＝AP＝80。（在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半）

∵點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,

∴這所中學(xué)會受到噪聲的影響。

同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD＝100(m)，BD＝60(m),

∴CD＝120(m)。

拖拉機(jī)行駛的速度為:18km/h＝5m/s

t＝120m÷5m/s＝24s。

答：拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒。

如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC＝100(m)，

由勾股定理得：BC2＝1002-802＝3600,∴BC＝60。

第28頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求線段EF的長。

思路點(diǎn)撥：現(xiàn)已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關(guān)鍵是線段的轉(zhuǎn)化，根據(jù)直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD．練習(xí)14:第29頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月解：連接AD．

因?yàn)椤螧AC=90°，AB=AC．又因?yàn)锳D為△ABC的中線，

所以AD=DC=DB．AD⊥BC．

且∠BAD=∠C=45°．

因?yàn)椤螮DA+∠ADF=90°．又因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°．

所以∠EDA=∠CDF．所以△AED≌△CFD（ASA）．

所以AE=FC=5．

同理：AF=BE=12．

在Rt△AEF中，根據(jù)勾股定理得：

，所以EF=13。

第30頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的長。

練習(xí)15:第31頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月16、已知，如圖長方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，將此長方形折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF，則△ABE的面積為________

A6cm2 B8cm2 C10cm2 D12cm2ABEFDC練習(xí)16:第32頁，課件共42頁，創(chuàng)作于2023年2月17、直角三角形的面積為，斜邊上的中線長為，則這個三角形周長為（）