廣東省佛山市梁開(kāi)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

廣東省佛山市梁開(kāi)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．【分析】求解得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)即可判斷選項(xiàng)．【解答】解：復(fù)數(shù)=+．復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)（，）在第一象限．故選：A．2.已知cosα=k，k∈R，α∈（，π），則sin（π+α）=(

) A．﹣ B． C．± D．﹣k參考答案：A考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用；運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值．專題：三角函數(shù)的求值．分析：由已知及同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用可求sinα，從而由誘導(dǎo)公式即可得解．解答： 解：∵cosα=k，k∈R，α∈（，π），∴sinα==，∴sin（π+α）=﹣sinα=﹣．故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值，屬于基本知識(shí)的考查．3.若函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，則的最小值是（

）A.-3 B.-4 C.-5 D.參考答案：B【分析】由題意可知函數(shù)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，等價(jià)于在[1,2]上恒成立，即在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)在某個(gè)閉區(qū)間上的最值，求得結(jié)果.【詳解】函數(shù)在[1,2]上單調(diào)遞增，所以在[1,2]上恒成立，即在上恒成立，令，其對(duì)稱軸為，當(dāng)即時(shí)，在上恒成立等價(jià)于，由線性規(guī)劃知識(shí)可知，此時(shí)；當(dāng)即時(shí)，在[1,2]上恒成立等價(jià)于，，即；當(dāng)即時(shí)，在[1,2]上恒成立等價(jià)于，此時(shí)；綜上可知，，故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)式子的最值的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)在給定區(qū)間上單調(diào)對(duì)應(yīng)的等價(jià)條件，二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值的求解，屬于較難題目.4.設(shè)積己知，點(diǎn)P（x，y）在y=sinx的圖象上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)，且滿足（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的最大值為

A．1

B．3

C．5

D．

參考答案：D5.在區(qū)間[-3，3]上任取兩數(shù)x，y，使

成立的概率為

A．

B．C．

D．參考答案：A6.（多選題）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，．已知函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的敘述中正確的是（

）A.g(x)是偶函數(shù) B.f(x)是奇函數(shù)C.f(x)在R上是增函數(shù) D.g(x)的值域是參考答案：BC【分析】舉反例說(shuō)明A錯(cuò)，用奇函數(shù)的定義證明B正確，用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性說(shuō)明C正確，求出函數(shù)的值域，根據(jù)高斯函數(shù)的定義證明D錯(cuò)誤．【詳解】根據(jù)題意知，．，，，，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；，是奇函數(shù)，B正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在上是增函數(shù)，C正確；，，，，D錯(cuò)誤．故選BC．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，考查函數(shù)的值域，考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)．由于涉及到新定義函數(shù)，有一定的難度．7.已知集合，集合，則A．

B．

C．

D．參考答案：B8.下列對(duì)應(yīng)法則f中，構(gòu)成從集合到的映射的是（

）A．B．C．P={有理數(shù)}，S={數(shù)軸上的點(diǎn)}，x∈P,f:x→數(shù)軸上表示x的點(diǎn)D．P=R，S={y|y>0},x∈P,y∈S,f:x→y=參考答案：C9.已知函數(shù)f(x)＝滿足對(duì)任意x1≠x2，都有<0成立，則a的取值范圍是

()A．(0,3) B．(1,3)C．(0，]

D．(－∞，3)參考答案：C10.長(zhǎng)方體一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱的長(zhǎng)分別為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，這個(gè)球的表面積是（

）

A．50π

B．25π

C．20π

D．200π參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若二次函數(shù)的圖象和直線y=x無(wú)交點(diǎn)，現(xiàn)有下列結(jié)論：①方程一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；②若a>0，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立；③若a<0，則必存存在實(shí)數(shù)x0，使；④若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；⑤函數(shù)的圖像與直線也一定沒(méi)有交點(diǎn)。其中正確的結(jié)論是

（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）.參考答案：①②④⑤因?yàn)楹瘮?shù)的圖像與直線沒(méi)有交點(diǎn)，所以或恒成立.①因?yàn)榛蚝愠闪?，所以沒(méi)有實(shí)數(shù)根；②若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；③若，則不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，所以不存在，使；④若，則，可得，因此不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立；⑤易見(jiàn)函數(shù)，與f(x)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，所以和直線也一定沒(méi)有交點(diǎn).12.已知函數(shù)，則在點(diǎn)處的切線的傾斜角取值范圍是

。參考答案：13.△ABC中，BC=2，，則△ABC面積的最大值為_(kāi)____________.參考答案：設(shè)，則，根據(jù)面積公式得∵由余弦定理得∴.由三角形三邊關(guān)系有且，解得.∴當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為.

14.已知點(diǎn)的距離相等，則的最小值為

.參考答案：

【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間距離公式；基本不等式解析：因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）到A（0，4）和B（﹣2，0）的距離相等所以點(diǎn)P（x，y）在A，B的垂直平分線上，且過(guò)A

B的中點(diǎn)（﹣1，2）所以垂線方程為：X+2Y﹣3=0即X+2Y=3,因?yàn)?X+4Y=2X+22Y，且2x＞0，22y＞0，所以2x+4y=2x+22y≥==所以最小值為，故選D．【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)因?yàn)辄c(diǎn)P（x，y）到A（0，4）和B（﹣2，0）的距離相等得到P在AB的垂直平分線上，然后求出垂線的方程，最后根據(jù)基本不等式求解．15.曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為_(kāi)_______參考答案：略16.已知實(shí)數(shù)a，b滿足ln（b+1）+a﹣3b=0，實(shí)數(shù)c，d滿足，則（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值為

．參考答案：1【考點(diǎn)】基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2的幾何意義是點(diǎn)（b，a）到點(diǎn)（d，c）的距離的平方，而點(diǎn)（b，a）在曲線y=3x﹣ln（x+1）上，點(diǎn)（d，c）在直線y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲線上與直線y=2x+平行的切線到該直線的距離的平方．利用導(dǎo)數(shù)求出曲線上斜率為2的切線方程，再利用兩平行直線的距離公式即可求出最小值．【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），則點(diǎn)（b，a）是曲線y=3x﹣ln（x+1）上的任意一點(diǎn)，由2d﹣c+=0，得c=2d+，則點(diǎn)（d，c）是直線y=2x+上的任意一點(diǎn)，因?yàn)椋╝﹣c）2+（b﹣d）2表示點(diǎn)（b，a）到點(diǎn)（d，c）的距離的平方，即曲線上的一點(diǎn)與直線上一點(diǎn)的距離的平方，所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值的平方，即曲線上與直線y=2x+平行的切線到該直線的距離的平方．y'=，令y'=2，得x=0，此時(shí)y=0，即過(guò)原點(diǎn)的切線方程為y=2x，則曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值的平方=1．故答案為：1．17.函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________處取得極小值．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知,若矩陣所對(duì)應(yīng)的變換把直線:變換為自身,求.參考答案：對(duì)于直線上任意一點(diǎn),在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下變換成點(diǎn),則,因?yàn)?所以,

所以解得所以,所以略19.交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種．若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表

浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率A1上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%A2上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20%A3上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30%A4上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10%A6上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車的下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型A1A2A3A4A5A6數(shù)量105520155以這60輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題：（Ⅰ）按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》汽車交強(qiáng)險(xiǎn)價(jià)格的規(guī)定a=950．記X為某同學(xué)家的一輛該品牌車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望值；（數(shù)學(xué)期望值保留到個(gè)位數(shù)字）（Ⅱ）某二手車銷售商專門(mén)銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基本保費(fèi)的車輛記為事故車．假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損5000元，一輛非事故車盈利10000元：①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至多有一輛事故車的概率；②若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求他獲得利潤(rùn)的期望值．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【分析】（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知其概率及其分布列．（II）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+．②設(shè)Y為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，Y的可能取值為﹣5000，10000．即可得出分布列與數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知X的可能取值為0.9a，0.8a，0.7a，a，1.1a，1.3a．…（2分）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知：P（X=0.9a）=，P（X=0.8a）=，P（X=0.7a）=，P（X=a）=，P（X=1.1a）=，P（X=1.3a）=．所以X的分布列為：X0.9a0.8a0.7aa1.1a1.3aP…（4分）所以EX=0.9a×+0.8a×+0.7a×+a×+1.1a×+1.3a×==≈942．（Ⅱ）①由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可知任意一輛該品牌車齡已滿三年的二手車為事故車的概率為，三輛車中至多有一輛事故車的概率為P=+=．…（8分）②設(shè)Y為該銷售商購(gòu)進(jìn)并銷售一輛二手車的利潤(rùn)，Y的可能取值為﹣5000，10000．所以Y的分布列為：Y﹣500010000P所以EY=﹣5000×+10000×=5000．…（10分）所以該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛該品牌車齡已滿三年的二手車獲得利潤(rùn)的期望值為100EY=50萬(wàn)元．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，記,,.（Ⅰ）若，且對(duì)任意，三個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（Ⅱ）證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.參考答案：解:(Ⅰ)因?yàn)閷?duì)任意，三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以.

………1分所以,

………2分即.

………3分所以數(shù)列是首項(xiàng)為１，公差為４的等差數(shù)列.

………4分所以.

………5分（Ⅱ）（１）充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則

.

………6分所以得

即.

………7分

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，由可得，

………8分所以.因?yàn)?，所?

即數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

………9分（２）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有.

………10分因?yàn)?，所以均大?于是

………11分

………12分即＝＝，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.………13分綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意n∈N﹡，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.

………14分

略21.已知函數(shù)f（x）=|x﹣2|﹣|x+1|．（1）求證：﹣3≤f（x）