浙江大學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》（第4版）筆記和課后習(xí)題（含考研真題）詳解

目錄

內(nèi)容簡(jiǎn)介

目錄

第1章概率論的基本概念

1.1復(fù)習(xí)筆記

1.2課后習(xí)題詳解

L3考研真題詳解

第2章隨機(jī)變量及其分布

2.1復(fù)習(xí)筆記

2.2課后習(xí)題詳解

2.3考研真題詳解

第3章多維隨機(jī)變量及其分布

3.1復(fù)習(xí)筆記

3.2課后習(xí)題詳解

3.3考研真題精選

第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

41復(fù)習(xí)筆記

42課后習(xí)題詳解

4.3考研真題詳解

第5章大數(shù)定律及中心極限定理

5.1復(fù)習(xí)筆記

5.2課后習(xí)題詳解

5.3考研真題詳解

第6章樣本及抽樣分布

6.1復(fù)習(xí)筆記

62課后習(xí)題詳解

6.3考研真題詳解

第7章參數(shù)估計(jì)

7.1復(fù)習(xí)筆記

7.2課后習(xí)題詳解

7.3考研真題詳解

第8章假設(shè)檢驗(yàn)

8.1復(fù)習(xí)筆記

8.2課后習(xí)題詳解

8.3考研真題詳解

第9章方差分析及回歸分析

91復(fù)習(xí)筆記

9.2課后習(xí)題詳解

93考研真題詳解

第10章bootstrap方法

10.1復(fù)習(xí)筆記

10.2課后習(xí)題詳解

10.3考研真題詳解

第11章在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中應(yīng)用Excel軟件

11.1復(fù)習(xí)筆記

11.2課后習(xí)題詳解

11.3考研真題詳解

第12章隨機(jī)過(guò)程及其統(tǒng)計(jì)描述

12.1復(fù)習(xí)筆記

12.2課后習(xí)題詳解

12.3考研真題詳解

第13章馬爾可夫鏈

13.1復(fù)習(xí)筆記

13.2課后習(xí)題詳解

13.3考研真題詳解

第14章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

14.1復(fù)習(xí)筆記

14.2課后習(xí)題詳解

14.3考研真題詳解

第1章概率論的基本概念

1.1復(fù)習(xí)筆記

一、隨機(jī)事件

事件間的關(guān)系（見表1-1-1）

關(guān)系表不

包含關(guān)系A(chǔ)uB

和事件AUB,CM,CM

Mt-1

noo

積事件AQB,ri4,n4

差事件A-B

互斥AB=0

逆事件A

表1-1-1事件間的關(guān)系

事件的運(yùn)算

設(shè)A,B,C為事件，則有：

(1)交換律：AUB=BUA；AnB=BnA；

(2)結(jié)合律：AU(BUC)=(AUB)UC；AD(BAC)=(AAB)AC：

(3)分配律：AU(BAC)=(AUB)A(AUC)；ACI(BUC)=(APB)U(ACiC

);

(4)德摩根律：4U5=/n豆；瓦

二、頻率與概率

概率的性質(zhì)

(1)若AuB,則

P(B-A)=P(B)-P(A)與P(B)>P(A)

(2)(逆事件的概率)P(A(_))=1—P(A)；

(3)(加法公式)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)；

尸(4U&U…U4)=i？(4)-E尸(44)+E尸(444)+…+(-1產(chǎn)產(chǎn)(4&

推廣：對(duì)于任意n個(gè)事件A”A2,A,?

三、等可能概型(古典概型)

包含的基本事件數(shù)

().(姆5中基本事件的總數(shù)

計(jì)算公式

四、條件概率

乘法定理

(1)乘法公式：若P(A)>0,則P(AB)=P(B|A)P(A)o

p(44…4)=p(444…4_JP(4T44…4.)…P(44*(4)

(2)若p(A1A2...4-D>0,則有

全概率公式和貝葉斯公式

(1)全概率公式

P(A)=P(A|Bi)P(B,)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B?)P(B?)

P⑸介

￡p⑷Bj)P(B)

J=1

(2)貝葉斯公式

P(A)=P(A|B)P(B)+尸(41B)P(B)

注：全概率公式和貝葉斯公式的最簡(jiǎn)單形式

P(B/)=3=______2氏_一

P(⑷P(AB)P(B)+P(JB)P(B)

五、獨(dú)立性

兩個(gè)事件獨(dú)立

(1)P(AB)=P(A)P(B)

(2)兩個(gè)定理

①若P(A)>0,A,B相互獨(dú)立，則P(B|A)=P(B),反之同樣。

②若事件A與B獨(dú)立，則A與B(_)獨(dú)立,A(_)與B獨(dú)立，A(_)與B(_)獨(dú)立。

三個(gè)事件獨(dú)立

產(chǎn)(.13)=尸(劣尸(3)

,P(BC)=P(5)P(C)

P(JC)=P(J)P(Q

設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，如果滿足等式

則稱A,B,C兩兩獨(dú)立，若尸=尸(3)尸(⑦也成立，則A,B,C相互獨(dú)立。

n個(gè)事件獨(dú)立

-(44)=P⑷尸⑷

F(444)=P(4)P(4)P(4)

[P(&4[…4)=p(4)p(4)..P(4)

設(shè)Ai,A2,…，An是n(n>2)個(gè)事件，Vl<i<j<k<...<n,

則Ai,A?，…,4相互獨(dú)立

1.2課后習(xí)題詳解

寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間s：

(1)記錄一個(gè)班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(設(shè)以百分制記分)；

(2)生產(chǎn)產(chǎn)品直到有10件正品為止，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)；

(3)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的記上“正品”，不合格的記上“次品”，如連續(xù)

查出了2件次品就停止檢查，或檢查了4件產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果；

(4)在單位圓內(nèi)任意取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。

解：(1)以n表示該班的學(xué)生數(shù)，總成績(jī)的可能取值為0,1,2,3,…，l()()n,試驗(yàn)的樣

本空間為

S={i/n|i=(),1,2,l()0n}

(2)設(shè)在生產(chǎn)第1()件正品前共生產(chǎn)了k件不合格品，樣本空間為

S={10+k|k=0,1,2,...)

或?qū)懗蒘={10,11,12,...}o

(3)采用0表示檢查到一件次品，以1表示檢查到一件正品，例如0110表示第一次與第四

次檢查到次品，而第二次與第三次檢查到的是正品，樣本空間可表示為

S={00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}

(4)取一直角坐標(biāo)系，則有S={(x,y)|x?+y2<I},若取極坐標(biāo)系，則有

S={(p,e)|p<l,O<0<2TT}

設(shè)A,B,C為三個(gè)事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：

(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生；

(2)A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生；

(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生；

(4)A,B,C都發(fā)生；

(5)A,B,C都不發(fā)生；

(6)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生；

(7)A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生；

(8)A,B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生。

解：以下分別用D(i=l,2,…，8)表示(1),(2),…，(8)中所給出的事件，

一個(gè)事件不發(fā)生即為它的對(duì)立事件發(fā)生，例如事件A不發(fā)生即為A(_)發(fā)生。

(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生，表示A,B(_),C(_)同時(shí)發(fā)生，故Di=AB(_)C(_)或?qū)懗?/p>

D尸A-B-C；

(2)A與B都發(fā)生而C不發(fā)生，表示A,B,C(_)同時(shí)發(fā)生，故D尸ABC(_)或?qū)懗蒁尸A

B—C；

(3)①方法1

由和事件的含義知，事件AUBUC即表示A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生，故DJ=AUBUC；

②方法2事件“A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生”是事件“A,B,C都不發(fā)生”的對(duì)立事件，因此，

4=ABC.

③方法3

事件“A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生”表示三個(gè)事件中恰有一個(gè)發(fā)生或恰有兩個(gè)發(fā)生或三個(gè)事

件都發(fā)生，因此，D又可寫成

D5=AB(_)C(_)UA(_)BC(_)UA(_)B(_)CUABC(_)UAB(_)CUA(_)BCUABC

(4)D產(chǎn)ABC；

(5)D5=A(_)B(_)C(_)；

(6)“A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生”表示A,B,C都不發(fā)生或A,B,C中恰有一個(gè)發(fā)生，

因此，D產(chǎn)A(_)B(_)C(_)UAB(_)C(_)UA(_)BC(_)UA(_)B(_)C；

又“A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生”表示“A,B,C中至少有兩個(gè)不發(fā)生“，亦即A(_)B(_),

B(_)C(_),A(_)C(_)中至少有一個(gè)發(fā)生，因此又有Do=A(_)B(_)UB(_)C(_)UC(—

)A(_)；

又“A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生”是事件6="八，B,C中至少有兩個(gè)發(fā)生”的對(duì)立事件，而

D}=ABuJcUCA=ABi^,JCryCA

事件G可寫成G=ABUBCUCA,因此又可將D$寫成

(7)“A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生”表示A,B,C都不發(fā)生或A,B,C中恰有一個(gè)發(fā)生或

A,B,C中恰有兩個(gè)發(fā)生，因此

D7=A(_)B(_)C(_)UAB(_)C(_)UA(_)BC(_)UA(_)B(_)CUABC(_)UAB(_)CU

A(_)BC

又“A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生”表示A,B,C中至少有一個(gè)不發(fā)生，亦即A(_),B(_),

C(_)中至少有一個(gè)發(fā)生，即有D：=A(_)UB(_)UC(_)；

又“A,B,C中不多于兩個(gè)發(fā)生”是事件“A,B,C三個(gè)都發(fā)生”的對(duì)立事件，因此又有

D-=ABC?.

(8)Ds=ABUBCUCA,也可寫成DS=ABCUA(_)BCUAB(_)CUABC(_)。

(1)設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，且P(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)

=0,P(AC)=1/8,求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。

(2)已知P(A)=1/2,P(B)=1/3,P(C)=1/5,P(AB)=1/10,P(AC)=1/15

,P(BC)=1/20,P(ABC)=1/30,求AUB,A(_)B(_),AUBUC,A(_)B(_)C(

_)，A(_)B(_)C,A(_)B(_)UC的概率。

(3)已知P(A)=1/2,(i)若A,B互不相容，求P(AB(_))；(ii)若P(AB)=1/

8,求P(AB(_))o

P(J^5vC)=P(J)+P(5)+P(C)-PG45)-P(5C)-P(JC)+P(\13C)=-+P(；18C)

8

解：⑴

由ABCuAB,已知P(AB)=0,故OgP(ABC)<P(AB)=0,得P(ABC)=0,所求

概率為P(AUBUC)=5/8。

(2)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1/2+1/3—1/10=11/15

P\AB\=P\A\JB\=1-P[A\JB\=—

15

■3

20

PlA\JB^C)=P(44)+P(J3)+尸(C)—尸(451—P(ACI-PlBC)+PI-IBC)

11111115117

=—+—+———————+—=—=—

235101520306020

P|^C)=P(^(S-C))=P(/45-J5C)=P|J5)-P(^C)=---=-

記p=P(A(_)B(_)UC),由加法公式

._、,_、4]77

p=P(^)+P(C)-P(J5C)=-+---=-

(3)(,)P|.疝|=P(d(S-3))=尸(八一一18)=尸(/)-尸

.110

(11)28b

設(shè)A、B是兩個(gè)事件

(1)已知AB(_)=A(_)B,驗(yàn)證A=B；

(2)驗(yàn)證事件A和事件B恰有一個(gè)發(fā)生的概率為P(A)+P(B)-2P(AB)。

解：(1)假設(shè)AB(_)=A(_)B,故有(AB(_))U(AB)=(A(_)B)U(AB),則

A(B(_)UB)=(A(_)UA)B,即AS=SB,故有A=B。

P(4UNB)=尸(.療)+尸(初)=尸(d(S-3))+尸(3(5-4)；|

=P(J-.15)+P(5-,1B)=P(J)+P(5)-2P(.4S)

(2)A,B恰好有一個(gè)發(fā)生的事件為AB(_)UA(_)B,其概率為

10片藥片中有5片是安慰劑

（1）從中任意抽取5片，求其中至少有2片是安慰劑的概率；

（2）從中每次取一片，作不放回抽樣，求前3次都取到安慰劑的概率。

解：（1）p=l—P（取到的5片藥片均不是安慰劑）一P（取到的5片藥片中只有1片是安

慰劑），即

(2)p=(5/10)?(4/9)?(3/8)=1/12。

在房間里有10個(gè)人，分別佩戴從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任選3人記錄其紀(jì)念章的號(hào)碼。

（1）求最小號(hào)碼為5的概率；

（2）求最大號(hào)碼為5的概率。

解：在房間里任選3人，記錄其佩戴的紀(jì)念章的號(hào)碼，10人中任選3人共有

N(S)"=120

種選法，此即為樣本點(diǎn)的總數(shù)，以A記事件“最小的號(hào)碼為5"，以B記事件“最大的號(hào)碼為5

，，

O

(1)因選到的最小號(hào)碼為5,則其中一個(gè)號(hào)碼為5且其余兩個(gè)號(hào)碼都大于5,它們可從6?1

N(d)=產(chǎn)(d)=N(,4)/N(S)=*/10；=A

0這5個(gè)數(shù)中選取，故，,，從而I2；/13J12

⑵同理,故尸⑶"焉

某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、紅漆3桶，在搬運(yùn)中所有標(biāo)簽脫落

,交貨人隨意將這些油漆發(fā)給顧客，問一個(gè)訂貨為4桶白漆、3桶黑漆和2桶紅漆的顧客，

能按所訂顏色如數(shù)得到訂貨的概率是多少？

解：以S表示：在17桶油漆中任取9桶給顧客，以A表示事件“顧客取到4桶白漆、3桶黑漆

尸⑷=N(,4)/N(S)=

A則一叫"?船Ls

在1500件產(chǎn)品中有400件次品、1100件正品，任取200件。

(1)求恰有90件次品的概率；

(2)求至少有2件次品的概率。

解：總數(shù)S：從150()件產(chǎn)品中任取20()件產(chǎn)品，以A表示事件“恰有90件次品”，以B；表示事

件“恰有i件次品"，i=0,1,以C表示事件“至少有2件次品”。

1500、

⑴即200,

400,；1100400'f1100

N(，4)=;

90'200-9090!110

1400'yi100'"'1500、

產(chǎn)⑷=N(4)/N(S)=：90,"；1107；200

故

P(C)=P(S-B「Bj=P(S-[Bo。Bj)=1-尸(穌)=1-尸(小)一尸(4)

(2)C=S—B0-B”其中，B。，Bi互不相容，所以

/、1100''…㈤優(yōu)黑)

囚"\~

故尸“闖=(1210000)1/CP叱［：。。:;黑:/‘1500'；

200」。

罌:/;1500'：r11<1500s：

P(c)=l-200廠

[2001

MOOVllOO'：'/：3

=1-

J

因此有

從5雙不同的鞋子中任取4只，問這4只鞋子中至少有兩只配成一雙的概率是多少？

解：總數(shù)S：從5雙不同的鞋子中任取4只。以A表示事件“所取4只鞋子中至少有兩只配成

一雙鞋子”，則Z

表示事件，，所取4只鞋子無(wú)配對(duì)”。先計(jì)算P(A(_))較為簡(jiǎn)便。以下按N(A(_))的不同

求法，列出本題的3種解法，另外還給出一種直接求P(A)的解法。

解法一：考慮4只鞋子是有次序一只一只取出的，從5雙(10只)鞋子中任取4只共有10x9

x8x7種取法，N(S)=10x9x8x7?，F(xiàn)在來(lái)求N(A(_))：第一只可以任意取，共有10種

取法，第二只只能在剩下的9只中且除去與已取的第一只配對(duì)的8只鞋子中任取一只，共8

種取法；同理第三只、第四只各有6種、4種取法，從而N(A(_))=10x8x6x4。故

P(J)=l-PMj=l-ypj，N(S)=1-10x8x6x413

10x9x8x721

叫

解法二：從10只鞋子中任取4只，共有種取法，即

.V,S)=P°)

-4>o為求N(A(_)),先從5雙鞋子中任取4雙共有

種取法，再自取出的每雙鞋子中各取1只(在一雙中取一只共有2種取法)，共有24種取法

’5、

N[24

(刁⑷故

，即0

解法三：現(xiàn)在來(lái)求N(A(_))0先從5只左腳鞋子中任取k只(k=0,1,2,3,4),有

S-

種取法。而剩下的4—k只鞋子只能從(不能與上述所取的配對(duì)的)5—k只右腳鞋子中選取

產(chǎn)⑷=1-*)=1-M孫N(S)=1—晶

5-k

N(刁

,即對(duì)于每個(gè)固定的k,有種取法。故故

解法四：以A,表示事件“所取4只鞋子中恰能配成i雙"(i=l,2),A,A2=

0,故P(A)=P(A,)+P(AO,因A?為4只恰能配成2雙，它可直接從5雙鞋子中成雙

一［51

地取得，故-；2人N(A.)的算法是：先從5雙中取1雙，共有口」

種取法，另外兩只能從其他8只中取，共有

■種取法，■不過(guò)這,種取,法中⑸將成雙仍的也算在為內(nèi)了，應(yīng)去掉故。從而

N(4)N(4)=120+10=13

尸(4)=尸(4)=尸(4)=N(S)+N(S)=210=31

在11張卡片上分別寫上probability這11個(gè)字母，從中任意連抽7張，求其排列結(jié)果為abilit

y的概率。

解：解法一：總數(shù)S：自11個(gè)字母中隨機(jī)地接連抽7個(gè)字母并依次排列，將11個(gè)字母中的

兩個(gè)b看成是可分辨的，兩個(gè)i也看成是可分辨的，N(S)=A“7,以A記事件“排列結(jié)果為

P(H)=N(N)N(S)=3=2.4x10-

ability”，則N(A)=4(因b有兩種取法，i也有兩種取法)，因而

解法二：本題也可利用乘法定理來(lái)計(jì)算，以Ai,Bz,h,L,，L,L,Y,依次表示取得字母

=P(J^)P(B；)P(/J^B;)XP(￡4幺山心)尸(/SA1B1I3L4)

xP(TeIA\BihLJ^P{YA

1221111_4

-il109876

a,b,i,1,i,t,y各事件，則所求概率為

將3只球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，求杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別為1,2,3的概率。

解：總數(shù)S：將3只球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，易知共有4,種放置法，以A：表示事件“杯子

中球的最大個(gè)數(shù)為i”,i=l,2,3o

對(duì)于As,只有當(dāng)3只球放在同一杯子中時(shí)才能發(fā)生，有4個(gè)杯子可以任意選擇，于是

尸(4)=.v(㈤/N(S)=

對(duì)于事件A”只有當(dāng)每個(gè)杯子最多放一只球時(shí)才能發(fā)生，因而N(A,)=4x3x2=A3故

33

尸(4)=N(4)/N⑸=,44/4=-

8

對(duì)于A?,因A1UA2UA尸S,AiAj=0(苗),故P(A,)+P(A于+P(As)=1,從而p

(A?)=1-1/16-3/8=9/16。

5()只鉀釘隨機(jī)地取來(lái)用在1()個(gè)部件上，其中有3只鉀釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用3只鉀釘，

若將3只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)

度太弱的概率是多少？

解：將部件自1到10編號(hào)，隨機(jī)試驗(yàn)E：隨機(jī)地取鉀釘，使各部件都裝3只鉀釘，以A,表示

事件“第i號(hào)部件強(qiáng)度太弱由題設(shè)，僅當(dāng)3只強(qiáng)度太弱的鉀釘同時(shí)裝在第i號(hào)部件上，A,才

巧

能發(fā)生，由于從50只鉀釘中任取3只裝在第i號(hào)部件上共有1

尸⑷…丹嬴』［二一10)

種取法,__只?，故

P=P{AX^A2kJ=P(4)+尸(山)+…+>($0)=19600=I960

又知A”A2,…，AK)兩兩互不相容，因此，10個(gè)部件中有一個(gè)強(qiáng)度太弱的概率為

一俱樂部有5名一年級(jí)學(xué)生，2名二年級(jí)學(xué)生，3名三年級(jí)學(xué)生，2名四年級(jí)學(xué)生。

(1)在其中任選4名學(xué)生，求一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生各一名的概率；

(2)在其中任選5名學(xué)生，求一、二、三、四年級(jí)的學(xué)生均包含在內(nèi)的概率。

495

解：(1)共有5+2+3+2=12名學(xué)生，在其中任選4名共有

=60

種選法，其中每年級(jí)各選1名的選法有

種選法，因此，所求概率為p=60/495=4/33；

：121=792

(2)在12名學(xué)生中任選5名的選法共有151

=240(種)

種，在每個(gè)年級(jí)中有一個(gè)年級(jí)取2名，而其他3個(gè)年級(jí)各取1名的取法共有

于是所求的概率為p=240/792=10/33。

(1)已知P(A(_))=0.3,P(B)=0.4,P(AB(_))=0.5,求條件概率P(B|AUB

(_))；

(2)已知P(A)=1/4,P(B|A)=1/3,P(A|B)=1/2,試求P(AUB)。

P5Uu5)

P(AB)

)尸尸修)-尸

解：(1)P(A^B(X)+(4)

由題設(shè)得

P(A)=1-P(j)=0.7,P(B)=1-P(B)=0.6

P{AB}=P[A[S-B^=P(A]-P(AS}=Q.2

故

0.2

=0.25

0.7+0.6-0.5

P(AB)=P(B⑷P(4)=3

P(B)=P(AB)/P(A=.

P(A?B)=P(A)+PiB)-P(AB)=^-^=^

(2)

擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用兩種方法)。

解：隨機(jī)試驗(yàn)E：擲兩顆骰子，觀察其出現(xiàn)之點(diǎn)數(shù)，以A記事件“兩骰子點(diǎn)數(shù)之和為7”，以

B記事件“兩顆骰子中有一顆出現(xiàn)1點(diǎn)”。

解法一：按條件概率的定義式：P(B|A)=P(AB)/P(A)來(lái)求條件概率，設(shè)想兩顆骰

子是可分辨的，樣本空間為

S={(1,1),(1,2)，…，(1,6),(2,1),(2,2)，…，(2,6),....

(6,6)}

事件A為A=((1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},

事件AB為AB={(1,6),(6,1)},

2/361

P(B\A)=

6/363

現(xiàn)在N(S)=36,N(A)=6,N(AB)=2,因此

解法二：按條件概率的含義來(lái)求P(B|A),樣本空間原有36個(gè)樣本點(diǎn)，現(xiàn)在知道了“A已

經(jīng)發(fā)生”這一信息，根據(jù)這一信息，不在A中的樣本點(diǎn)就不可能出現(xiàn)了，因而試驗(yàn)所有可

能結(jié)果所成的集合就是A,而A中共有6個(gè)可能結(jié)果，其中只有兩個(gè)結(jié)果(1,6)和(6,1

)有一顆骰子出現(xiàn)1點(diǎn)，因此P(B|A)=2/6=l/3o

據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P｛孩子得病｝=0.6

，P｛母親得病|孩子得病｝=0.5,P｛父親得病|母親及孩子得?。?0.4,求母親及孩子得病但

父親未得病的概率。

解：以A記事件“孩子得病”，以B記事件“母親得病”，以C記事件“父親得病”，按題意需要

求P(ABC(_)),已知P(A)=0.6,P(B|A)=0.5,P(C|BA)=0.4。

P{.ABC}=P[CBA]=P\C\BA\PiBA}=P\國(guó)艮4引乂）尸（X）

=0—.（C|A4））P（叫㈤尸（d）=0.6x0.5x0.6=0.18

由乘法定理得

已知在1()件產(chǎn)品中有2件次品，在其中取兩次，每次任取一件，作不放回抽樣，求下列

事件的概率：

(1)兩件都是正品；

(2)兩件都是次品；

(3)一件是正品，一件是次品；

(4)第二次取出的是次品。

解：隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E：在10件產(chǎn)品中(其中有2件次品)任取兩次，每次取1件，作不放回抽樣

，以A,(i=l,2)表示事件“第i次抽出的是正品“，因?yàn)槭遣环呕爻闃?，所以?/p>

727Q

產(chǎn)（XiH.=產(chǎn)（X：）尸（Xp=§x正=不

(1)兩件都是正品的概率為

(2)兩件都是次品的概率為

(3)一件是正品，一件是次品的概率為

產(chǎn)（A出）=尸（）+尸（4&）（因（乂卜4）（）=0）

二尸（41㈤尸（4）+尸（?、槭?）

28,8216

91091045

P（4）=P\^Ay4）4J=P（^4i^;o\AZ）

=P（4區(qū)）+P-

=P（Zl4）P（4）+P（ZlZ）產(chǎn)⑷

28121

=—x-----1--x—=—

9109105

（4）第二次取出的是次品的概率為

某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?hào)，求他撥號(hào)不超過(guò)三次而接通

所需電話的概率.若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？

解：解法一：以4

表示事件“第i次撥號(hào)撥通電話"，i=l，2,3,以A表示事件“撥號(hào)不超過(guò)3次撥通電話”，

則有A=AWA(_)AUA(_)A(_)A,事件A”A(_)A,A(_%A(_)2A3發(fā)生的概率如

尸(44尸尸(聞4)p(4W=A

「(疝國(guó)=。(4。對(duì)P(NH)尸⑷=抬臉4

所以該人撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率為

P(4)=尸(4)+P(44j+P(4i04)='+'+'=得

(2)當(dāng)已知最后一位數(shù)是奇數(shù)時(shí)，所求概率為p=l/5+l/5+l/5=3/5。

解法二：沿用解法一的記號(hào)。

尸(4)=1-P(撥號(hào)三次都接不通)=1-

______________7g93

=l-P(J3UU2)P(J^1)P(^)=l--X-X-=—

(1)該人撥號(hào)不超過(guò)三次而接通所需電話的概率為：

〃一],——2X—3X—4二—3

(2)當(dāng)已知最后一位是奇數(shù)時(shí)，所求概率為3455。

(1)設(shè)甲袋中裝有n只白球、m只紅球：乙袋中裝有N只白球、M只紅球，今從甲袋中

任意取一只球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥我馊∫恢磺颍瑔柸〉桨浊虻母怕适嵌嗌伲?/p>

(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球，先從第一

盒中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒中任取一只球，求取到白球的概率。

解：解法一：(1)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E：從甲袋任取一球放人乙袋(試驗(yàn)E),再?gòu)囊掖稳∫磺?/p>

觀察其顏色(試驗(yàn)ED,試驗(yàn)E是由日和Ez合成的，以R表示事件“從甲袋取得的是紅球”，

W=SW=(R^yv=RW^l^\[RW)(NV]=<Z

以W表示事件”從乙袋取得的是白球“，即有

尸⑷二念?尸閭=n

n+m

而

在計(jì)算P(W|R),P(W|R(_))時(shí)，注意在試驗(yàn)E?中，乙袋球數(shù)為N+M+1只；在求P(

W|R)時(shí)，乙袋白球數(shù)為N,但在求P(W|R(_))時(shí)，乙袋白球數(shù)為N+1,故從乙袋取到

白球的概率為

P"）=P（RR）+P（用F）=P"R）尸⑻+尸何閭P（滅）

Ntn1+Nn_M+N（"+加）

N+M+1n+mN+M+ln+m（n+m）（N+Af+1）

(2)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)E：從第一盒中任取2只球放入第二盒(EJ,再?gòu)牡诙腥稳∫磺蛴^察其

顏色(艮)，以R(i=(),1,2)表示事件“從第一盒中取得的球中有i只是紅球”，以W

表示事件“從第二盒取得一球是白球“，由于R。，R,,氐兩兩互不相容，且R°URUR?=S

,故

W=SW=(RoURiUR.)W=R>W+R,W+R?W

P(F)=尸(及嚴(yán))+尸(即F)+尸(&甲)

=尸(甲風(fēng))尸(&)+P(W\&)尸(凡)+尸”|&)尸(&)

從而

1vin

尸出）=1-尸（凡）-尸（&）=1=一狼=夜

0iolo

765

P（叼&）=1PpwK)=n，尸"鳥尸五

在試驗(yàn)E2中第二盒球的個(gè)數(shù)為11,故

所以

16105553

尸尸)=5x—H--x—+—x—=

61118111899

解法二：(1)以A表示事件“最后取到的是白球“，以B表示事件“最后取到的是甲袋中的

X=$4=(3-5)A=BA\JBA,((瓦d)=0

球”,因

尸(4)=尸(KW)+尸(瓦＜)=尸(月憐)尸⑻+尸(,4怪)尸仍)

于是

而

P(4B)=六月/月)=高

又有

n1NN+Mn+N("+〃?)

P(⑷

n+mN^-Af+1*N+MN+M+1(n+m)(N+M+l)

故

(2)以A表示事件“最后取到的是白球”，以B表示事件“最后取到的是甲袋中的球”，因

A=SA=(BUB(_))A=BAUB(_)A,(BA)(B(_)A)=0

故

尸(/)=叩㈤尸(5)+叩怪)叩)=??+?儲(chǔ)H

某種產(chǎn)品的商標(biāo)為“MAXAM”，其中有2個(gè)字母脫落，有人撿起隨意放回，求放回后仍

為“MAXAM”的概率。

解：以H“H”H?乩，H依次表示事件“脫落M、M”，“脫落A、A”,“脫落M、A”,“脫

落X、A”，“脫落X、M”，以G表示事件“放回后仍為MAXAM"，所需求的是P(G),可

10

5、

尸(4)=

知Hi,H"H”H」，乩兩兩不相容，且HUHUHUHUH=S,已知

P(G|HJ=P(G/)=1

P(G|/f3)=P(G|H4)=P(G|ffi)=1

由全概率公式得，放回后仍為“MAXAM”的概率為

已知男子有5%是色盲患者，女子有().25%是色盲患者，今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)

地挑選一人，恰好是色盲者，問此人是男性的概率是多少？

解：以A表示事件“選出的是男性”，則A(_)表示事件“選出的是女性”，以H表示事件“選

出的人患色盲“，則H(_)表示“選出的人不患色盲”，由題設(shè)可知

P(A)=P(A(_))=1/2,P(H|A)=0.05,P(H|A(_))=0.0025

0.05x2-500_20

525-21

0.05x7-+0.0025x7-

所需求的概率是P(A|H),由貝葉斯公式得

一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試，第一次及格的概率為p,若第一次及格則第二次

及格的概率也為p；若第一次不及格則第二次及格的概率為p/2。

(1)若至少有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率；

(2)若已知他第二次已經(jīng)及格，求他第一次及格的概率。

解：E：一學(xué)生接連參加一門課程的兩次考試，以Ai表示事件“第i次考試及格“，i=l,2；

以A表示“他能取得某種資格”。

產(chǎn)(4)=p,P0)=i-R尸(414)=R尸(4IZ)=與

(1)按題意A=AIUA(_)A2,因AC(A(_)IA2)=0,且由已知條件

P(N)=P(4-44)=P(4)+P(44)

=P+P(4|4)P(4)=p+4(1-p)=4/

故

(2)根據(jù)貝葉斯公式可知，在第二次及格的條件下，該人第一次及格的概率為

P44|P|2?41P41

-2p⑷尸(4i4)p(4)+p(—i4)p(4)

二PXP2P

pxp-^(l-p)P-l

將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時(shí)?，A被誤收作B的概率為0.02,而B

被誤收作A的概率為0.01,信息A與信息B傳送的頻繁程度為2：1,若接收站收到的信息是

A,問原發(fā)信息是A的概率是多少？

解：以D表示事件“將信息A傳遞出去“，則D(_)表示事件“將信息B傳遞出去”，以R表示“

接收到信息A"，則R(_)表示事件“接收到信息B”，按題意需求概率為P(D|R),已知

P(R\D)=Q.02,P(R|D)=O.QLP(D)/P(D)=2

,P(D)+P(D(_))=1

得

P(D)=2/3,P(D(_))=1/3

P\DR\=—―=-----------------—=—

產(chǎn)(R)P(K|D)尸(D)+產(chǎn)

7

(1-。*i96

=2i=7Q^

(1-0.02)x-+0.01x-以

''33

由貝葉斯公式得到，在接受到信息A的情況下，原發(fā)信息是A的概率為

有兩箱同種類的零件，第一箱裝50只，其中1()只一等品；第二箱裝30只，其中18只一等

品，今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作不放回抽樣，

求：

(1)第一次取到的零件是一等品的概率；

(2)在第一次取到的零件是一等品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解:以H表示事件“從第一箱中取零件“，則H(_)表示事件“從第二箱中取零件”，由已知條

件知

P(H)=P(H(_))=1/2

又以A,表示事件“第i次從箱中(不放回抽樣)取得的是一等品“，i=l,2。

(1)由條件P(A：|H)=1/5,P(A.|H(_))=3/5,故

P(AO=P(A,|H)P(H)+P(A,|H(_))P(H(_))=1/10+3/10=2/5

(2)需要求的是P(A2|A.),因P(A2|A,)=P(A,A2)/P(AD,而

P(A.A2)=P(AiA?|H)P(H)+P(AiA：|H(_))P(H(_))

由條件概率的含義，p(A,A2|H)表示在第一箱中取兩次，每次取一只零件，作不放回抽

樣，且兩次都取得一等品的概率，因第一箱共有50只零件，其中有10只一等品，故有P(

A.AJH)=(10/50)x(9/49)；同理P(AA|H(_))=(18/30)x(17/29)。

尸?4I4]=尸（44?1

-L"尸（NJ尸（聞［產(chǎn)(44厲IP(司］

51091181711

——X-X—HX-X—=0.4856

25049230292414929

故有

某人下午5:00下班，他所積累的資料表明:

到家時(shí)間5:35?5:395:40?5:445:45?5:495:50?5:54遲于5:54

乘地鐵的概率0.100.250.450.150.05

乘汽車的概率0.300.350.200.100.05

表1-1

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家的

概率。

解：以H表示事件“乘地鐵回家”，則H(_)表示事件“乘汽車回家”，因到家時(shí)間為5:47,它

屬于區(qū)間5:45?5:49,以T記“到家時(shí)間在5:45?5:49之間”，則需要求的是概率P(H|T),

已知P(T|H)=0.45,P(T|H(_))=0.20,又因他是由擲硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，

因此，P(H)=P(H(_))=0.5,由貝葉斯公式得

PHTP(TH)P(H)

~P[T)"P(T\H)P(H)+P(T\H}P[H]

0.45x0.5_9

0.45x0.5+0.20x0.513

病樹的主人外出，委托鄰居澆水，設(shè)已知如果不澆水，樹死去的概率為0.8,若澆水則

樹死去的概率為0.15,有0.9的把握確定鄰居會(huì)記得澆水。

(1)求主人回來(lái)樹還活著的概率。

(2)若主人回來(lái)樹已死去，求鄰居忘記澆水的概率。

P(r)=0.9,P|j7|=0.LPM|J7|=0.85rPMl^l=0.2

P(^)=P[A|W}P[W}+P(A|=0.85x0.9+0.2x0.1=0.785

解：(1)記A為事件“樹還活著”，記W為事件“鄰居記得給樹澆水”，即有

p(I|ir)p(TF)[1-P(j|ir)]p(r)08x01

0.372

尸呻卜P(A)-l-P(J)-0.215

(2)根據(jù)貝葉斯公式可得，在樹已死的條件下，鄰居忘記澆水的概率為

設(shè)本題涉及的事件均有意義，A,B都是事件：

(1)已知P(A)>0,證明P(AB|A)>P(AB|AUB)；

(2)若P(A|B)=1,證明P(B(_)|A(_))=1；

(3)若C也是事件，且有P(A|C)>P(B|C),P(A|C(_))>P(B|C(_)),證明P(A

)>

P(B)o

證：(1)若P(A)>0,要證P(AB|A)>P(AB|AUB),該不等式左邊等于P(AB)/

P(A),右邊等于P(AB)/P(AUB)o

因?yàn)锳UBnA,P(AUB)>P(A),故有P(AB|A)>P(AB|AUB)。

(2)由P(A|B)=1得P(AB)/P(B)=1,即P(AB)=P(B),所以

p國(guó)丁尸I二I)一入川―pa-⑻1-一90+九出1

'1P(A)~P(A)—l-P(J)-l-P(J)-

(3)由假設(shè)P(A|C)>P(B|C),即P(AC)>P(BC)。

同樣由P(A|C(_))>P(B|C(_))就有P(AC(_))>P(BC(_)),即P(A(S-C))>

P(B(S-C)),得

P(A)-P(AC)>P(B)-P(BC)或P(A)-P(B)>P(AC)-P(BC)

因?yàn)镻(AC)>P(BC),得P(A)>P(B)?

有兩種花籽，發(fā)芽率分別為().8,().9,從中各取一顆，設(shè)各花籽