電動力學電動力學二六電多極矩

電動力學電動力學二六電多極矩第一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一xyzoQa=xyzoQ+xyzoQaxyzoQa-Q

以一個最簡單的例子來說明：假設V中有一個點電荷Q，位于（a,o,o）點上，如果對遠處產(chǎn)生的電勢來說，相當于xyzoQ零級近似第三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一如果作為一級近似，且o=+xyzQaxyzoQxyzoQa/2-Qo+xyz-Q-QQ+Q第四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一如果作二級近似，同理得到xyzoQ+xyzo+Q-Q一級近似xyzoQa=xyzoQ+xyzoQa/2-Q第五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

二級近似xyzoxyzo+-QQQa/2Qxyzo-QQQxyzo-Q-Q-Q-Qa/4Q-QQQQ+Q-Q第六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一總之，移動一個點電荷到原點，對場點產(chǎn)生一個偶極子分布的誤差；移動一個偶極子到原點，對場點產(chǎn)生一個電四極子分布的誤差；移動一個電四極子到原點，對場點產(chǎn)生一個電八極子分布的誤差；……。xyzo-QQQ-Q-Qa/4+第七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一2、點電荷系的多極展開式

假定V內(nèi)都是點電荷分布，其中第k個點電荷qk位于點A處，如圖所示。符合R>>l

的條件，P點的電勢為其中l(wèi)··zxPyAqjqkqlo··第八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一因為展開令，則相對于原點，有第九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一其中表示電荷處在點o對遠處產(chǎn)生的電勢；第十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一上面各個包含cosθ的因式就是勒讓德多項式Pn(cosθ)。實際上，通過這個多極子的展開式，P點的電勢可寫為表示在點o處的電偶極矩的電勢；表示在點o處的電四極矩的電勢。第十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

若區(qū)域V內(nèi)電荷是連續(xù)分布的，且電勢為zxPyVoρ考慮源點到場點的距離遠大于帶電區(qū)域V的線度，故可將對在原點附近作泰勒級數(shù)展開。3、連續(xù)分布電荷體系的多極子展開式第十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

在一元函數(shù)f(x)情況下，在原點x=0鄰域的泰勒級數(shù)為：如果在x=a鄰域展開，泰勒級數(shù)是：

對于三元函數(shù)f(x,y,z)，在原點x=0,y=0,z=0鄰域的泰勒級數(shù)是：第十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一如果在x=a,y=b,z=c點鄰域展開，且展開式為第十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一實際上由單元到多元直接作如下的對應變換單元三元第十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一點變化，并把在原點o附近展開，且有有了以上泰勒級數(shù)展開式，取f(x)=，因r是的函數(shù)，即。把場點固定不變。而讓源上式是在附近的級數(shù)展開。

第十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一因為第十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一令所以從而得到第十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一故得到討論展開式的每項物理意義：▲展開式的第一項：第十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一▲展開式的第二項：

▲展開式的第三項：表示體系總偶極矩集中于原點處，對場點產(chǎn)生的勢，它作為體系在觀察點處勢的一級近似。表示體系總電荷集中于原點的勢，它作為小區(qū)域帶電體系在觀察點的勢的零級近似。第二十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

綜上所述，展開式表明：一個小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在遠處激發(fā)的場等于一系列電多極矩在遠處激發(fā)的場的迭加。討論：

（1）如果帶電體系的總電荷為零，計算電勢時必須考慮電偶極子，只有對原點不對稱的電荷分布才有電偶極矩；如果帶電體系的總電荷為零，總電偶極矩也為零，計算電勢時必須考慮電四極矩。只有對原點不是球?qū)ΨQ的電荷分布才有電四極矩。表示體系總電四極矩集中于原點處，對場點產(chǎn)生的勢它作為體系在觀察點處勢的二級近似。第二十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一（2）對電四極矩的進一步認識為張量表示對不連續(xù)分布的點電荷而言，其總電量和偶極矩、電四極矩的表示式分布為是電四極矩張量的ij分量，共有9個分量，即其中i,j=1,2,3也可以寫成第二十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

▲下面主要證明電四極矩的9個分量，只有5個分量是獨立的：a）因為，，。則則則的9個分量只有5個分量獨立。的9個分量只有6個分量獨立。b)又令第二十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

下面來觀察用替代后其電勢由變化為=0第二十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一并不改變其電勢的結(jié)果，但獨立變量由6個變?yōu)?個，以后我們可以用也可以用來作為電四極矩張量ij

的分量形式。第二十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一分析：體系可看成小區(qū)域（R>>l），體系對原點而言是不對稱的，總電荷為零，故沒有零級近似。故必須要考慮電偶極近似zP(x,y,z)-q(o,o,-z′)oq(o,o,z′)lθRr-r+（3）幾種典型的電多極矩產(chǎn)生的場a）第二十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一但偶極矩不為零，即則第二十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一q-qzP(x,y,z)-qolθRr-r+qba分析：體系為小區(qū)域（R>>l），體系內(nèi)總電荷為零，總偶極矩為零，故沒有零級近似和一級近似。由于電荷分布不具有球?qū)ΨQ性，可見有電四極矩存在。故有b）第二十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一即這里第二十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

c)半軸為a,b,c

橢球體內(nèi)均勻帶電，總電量為Q，求它相對于橢球中心的電偶極矩、電四極矩以及準確到二級近似時在遠處的電勢，并討論旋轉(zhuǎn)橢球(a=b)和球體(a=b=c)的情況。

由于積分都是對橢球進行的，為此引入廣義球坐標變換：分析：體系總電荷為Q，其密度為第三十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一故得體積元為▲對于廣義球坐標應決定于橢球面方程：即是從原點積分到橢球面上，第三十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一可見r'=1所以，對于r'積分區(qū)域：r':0→1.

即是說，這個變換是把半軸為a,b,c

的橢球變?yōu)閱挝磺?，于是積分區(qū)間為該電荷系統(tǒng)電偶極矩各分量為第三十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

第三十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一故，這說明均勻帶電橢球相對于原點的偶極矩為零?！鴮τ陔娝臉O矩，由于第三十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一從而有其中第三十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一故第三十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一同理：第三十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一另外：第三十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一至此，根據(jù)電勢的表達式，即有當a=b時，是回轉(zhuǎn)橢球，▲第三十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一故由上可知，引入的新電四極矩定義它反映了電荷分布與球?qū)ΨQ的偏離程度。若表示球體被擠壓——長橢球表示球體被拉長——扁橢球結(jié)論：可以用來推算原子核的結(jié)構(gòu)情況，所以說電四極矩是分析物質(zhì)結(jié)構(gòu)的重要物理量。若又因為

x2+y2=R2-z2▲當a=b=c時，是均勻帶電球體，此時第四十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第四十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第五十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

設電荷系建立的電勢為，另一個電荷系建立的電勢為，分布于，分布于總電荷分布為4、電荷體系在外電場中的能量總電場能量為第五十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第一、二項分別是和單獨存在時的能量，常稱為自作用能Wm

；第三項表示兩電荷系間相互作用能Wi，因此電荷體系在外電場中的能量為因為表示

x2空間中的電荷在

x1空間產(chǎn)生勢表示

x1空間中的電荷在

x2空間產(chǎn)生勢顯然，該式意義為：第五十二頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一交換積分次序，故得到該式即為電荷體系在外場中的能量。第五十三頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一假設電荷系分布的區(qū)域V是外場中一個小區(qū)域，在其中外場的勢變化不大，取其中一點為坐標原點，則可對在原點附近作泰勒級數(shù)展開：則得第五十四頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一若偶極矩平移，則從能量守恒得

表示把體系的電偶極矩集中到原點時，一個電矩在外場中的能量，作為一級近似的結(jié)果。表示把體系總電量集中到原點時，一個電荷在外場中的能量，作為零級近似的結(jié)果。若電偶極子相對外場有一平移或轉(zhuǎn)動，而偶極矩的大小和外場保持不變，則由平移或轉(zhuǎn)動引起的系統(tǒng)能量的變化也就等于相互作用能的變化，即即第五十五頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一

展開式的第三項：表示把體系的電四極矩集中到原點時，一個電四極矩在外場中的能量，作為二級近似的結(jié)果。綜上所述，一個小區(qū)域內(nèi)連續(xù)分布的電荷在外場中的能量等于一系列多極子在外場中的能量之和。第五十六頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一一個電偶極子在外場中的受力為同理，將偶極矩轉(zhuǎn)動一個，力矩作的功為故5、電偶極子在外場中所受到的力和力矩

考慮力矩的方向得到第五十七頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一作業(yè)：補充題

在邊長為a的正方形的四個頂點分別放置電量為Q的點電荷，相鄰頂點的電荷符號相反，再在正方形的中心放置等量的+Q

的點電荷。設正方形的各邊分別平行于x

軸和

y

軸，原點坐標在正方形的中心處。求該電荷體系在遠處區(qū)域的電勢？(精確到電四極矩產(chǎn)生的勢)注意：該題的電荷為不連續(xù)分布第五十八頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一第二章靜電場一、方程二、解靜電場的方法1.電磁學方法a.直接積分法b.高斯定理法第五十九頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一電動力學方法(分離變量法)a.解Laplace方程特為通解其形式的確定(分界面為球面考慮球坐標系)1.具有軸對稱情況2.具有球?qū)ΨQ情況第六十頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一形式的確定：其形式取決于源的形式特b.邊值關系

兩介質(zhì)分解面介質(zhì)與導體的分解面(常數(shù))n為導體外法向c.邊界條件為有限值有限的場源均勻外場第六十一頁，共六十四頁，編輯于2023年，星期一3、唯一性定理方法

條件給定體分布，而不給出總電量，根據(jù)泊松方程、邊值關系、及一定的邊界條件，得出的解是唯一的。4、電像法適用于點電荷分布或線電荷