第一講期望效用理論

第一講期望效用理論第一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一基本概念狀態(tài)空間股票投資時(shí)，投資者面臨的市場(chǎng)狀態(tài)可能是：熊市或者牛市。這是兩個(gè)不同的自然狀態(tài)。此時(shí)：第二頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一基本概念狀態(tài)相依商品向量對(duì)于每一個(gè)物品l=1,2,…,L和狀態(tài)s=1,2,…S，一個(gè)單位的狀態(tài)相依商品是，當(dāng)且僅當(dāng)s發(fā)生時(shí)才獲得一單位物品l的權(quán)利。狀態(tài)相依商品向量：

x=(xls)，l=1,2,…,L，s=1,2,…S

或者：

x=(x11,…

xL1,x12

…

xL2,…,x1S…

xLS)∈RLS第三頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一基本概念狀態(tài)相依消費(fèi)者稟賦向量消費(fèi)者i∈I的稟賦為

wi=(wils)，i∈I，l=1,2,…,L，

s=1,2,…S

或者

wi=(wi11,…

wiL1,wi12

…

wiL2,…,wi1S…

wiLS)

wi∈RLS第四頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好定義考慮時(shí)間要素的偏好問(wèn)題為了簡(jiǎn)化，這里采用兩期模型。假定消費(fèi)計(jì)劃為

C=(c0,c1)

其中，t=0期消費(fèi)c0，t=1期消費(fèi)c1。如果0期為當(dāng)期，則c0為確定。而t=1時(shí)受到自然狀態(tài)影響，消費(fèi)水平c1不確定。消費(fèi)計(jì)劃是一個(gè)隨機(jī)變量，其概率分布性質(zhì)由相應(yīng)時(shí)間的概率分布決定，每個(gè)消費(fèi)計(jì)劃都對(duì)應(yīng)一個(gè)概率分布。第五頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好定義偏好關(guān)系:在確定環(huán)境下，xy,被稱為消費(fèi)者在商品束x,y中“弱偏好于”x，即消費(fèi)者認(rèn)為x至少與y一樣好。但我們卻處于不確定環(huán)境中，明天會(huì)不會(huì)下雨？股市會(huì)跌嗎？等等。確定環(huán)境中的偏好表達(dá)在不確定環(huán)境下可行嗎？未來(lái)具有不確定性，（1）我們可以推斷事件發(fā)生的概率分布，如：擲一枚硬幣，出現(xiàn)花或者字的概率均為50%；（2）引入主觀概率，即人為地為每一種狀態(tài)分配一個(gè)概率。第六頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好定義抽獎(jiǎng)模型設(shè)想消費(fèi)者參與抽獎(jiǎng)活動(dòng)，所有產(chǎn)生的結(jié)果用c表達(dá)。每一個(gè)結(jié)果發(fā)生具有一定的概率pi，不妨假定概率是客觀存在的。通常一個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)記為：若關(guān)注概率分析為，再不會(huì)出現(xiàn)誤解的情況下，可簡(jiǎn)化為第七頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好定義抽獎(jiǎng)模型復(fù)合抽獎(jiǎng)，抽獎(jiǎng)結(jié)果有一個(gè)個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)構(gòu)成。對(duì)一個(gè)復(fù)合抽獎(jiǎng)，可以得到計(jì)算引致抽獎(jiǎng)，即把復(fù)合抽獎(jiǎng)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)第八頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好定義抽獎(jiǎng)模型案例：三個(gè)簡(jiǎn)單抽獎(jiǎng)：L1,L2,L3L1=(1,0,0)L2=(1/4,1/4,1/2)L2=(1/4,3/8,3/8)

復(fù)合抽獎(jiǎng)，(1/3，1/3，1/3；L1,L2,L3)

引致抽獎(jiǎng)，(1/2,5/24,7/24)第九頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好定義抽獎(jiǎng)模型為了簡(jiǎn)化分析，假定：無(wú)論抽獎(jiǎng)方法如何，消費(fèi)者僅對(duì)通過(guò)引致抽獎(jiǎng)得到最終分布感興趣。如果兩種抽獎(jiǎng)方法完全不同，但引致抽獎(jiǎng)結(jié)果一樣，消費(fèi)者就覺(jué)得它們沒(méi)有差異。所有類似的抽獎(jiǎng)商品，就構(gòu)成了在不確定情況下的商品空間，即抽獎(jiǎng)商品空間為L(zhǎng)。不同的抽獎(jiǎng)商品之間，也應(yīng)當(dāng)存在與普通商品之間類似的偏好順序和關(guān)系。第十頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好公理理性公理：完備性、反身性和傳遞性完備性：對(duì)于任何L1,L2∈L。要么L1L2；L2L1；或者兩者都成立，則L2~L1。不同抽獎(jiǎng)商品之間總是存在可比較關(guān)系。反身性：對(duì)于任何L1∈L。L1L1。傳遞性：對(duì)于任何L1,L2,L3∈L。如果有L1L2，L2L3，則L1L3。傳遞性可使得個(gè)人在一系列的比較中不會(huì)出現(xiàn)矛盾，保持偏好的一致性。第十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好公理獨(dú)立性公理（替代性公理）對(duì)于任何L,L’,L”∈L，和∈[0,1]，要求有：

獨(dú)立性公理意味著：如果我們把兩個(gè)抽獎(jiǎng)同第三個(gè)抽獎(jiǎng)放在一起考慮，則前面兩者的偏好順序是獨(dú)立于特定的第三個(gè)抽獎(jiǎng)。通過(guò)獨(dú)立性假設(shè)，消費(fèi)者希望把復(fù)雜的概率決策行為，分為相同和不同的兩個(gè)獨(dú)立部分，整個(gè)決策行為僅由其中不同的部分來(lái)決定。第十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好公理獨(dú)立性公理第十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好公理獨(dú)立性公理同理如果，則第十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好公理連續(xù)性對(duì)于任何L,L’,L”∈L，下面的集合為閉集連續(xù)性保證概率的微小變化不會(huì)改變兩個(gè)抽獎(jiǎng)商品之間的偏好順序?；蛘呤挛餆o(wú)大起大落變化。例如，如果消費(fèi)者“快樂(lè)和安全的開(kāi)車旅行”的偏好強(qiáng)于“待在家里”，那么他對(duì)于一個(gè)“快樂(lè)和安全的開(kāi)車旅行”與一個(gè)具有充分小，但不為0的正概率的“發(fā)生車禍導(dǎo)致死亡”的混合結(jié)果的偏好，仍然要強(qiáng)于“呆在家里”。第十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好公理定理1：任何L,L’,L’’∈L，且LL’L’’，偏好滿足完備性、自反性、傳遞性、連續(xù)性和獨(dú)立性，那么存在q∈(0,1)，使得qL+(1-q)L’’~L’。證明：設(shè)立A={q∈[0,1]|qL+(1-q)L’’L’}B={q∈[0,1]|L’qL+(1-q)L’’}

根據(jù)完備性，A∪B=[0,1]

根據(jù)連續(xù)性，qA=inf{q}∈A；qB=sup{q}∈B

因此，qA=qB=q。證畢第十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一偏好公理定理2：任何L,L’,∈L，且LL’，偏好滿足完備性、自反性、傳遞性、連續(xù)性和獨(dú)立性，那么對(duì)于任何p和q，p,q∈(0,1)，pL+(1-p)L’qL+(1-q)L’,當(dāng)且僅當(dāng)p>q。證明，令δ=(p-q)/(1-q)，則

pL+(1-p)L’~δL+(1-δ)(qL+(1-q)L’)由于L~qL+(1-q)LqL+(1-q)L’故，δL+(1-δ)(qL+(1-q)L’)δ(qL+(1-q)L’)+(1-δ)(qL+(1-q)L’)~qL+(1-q)L’，定理得證。第十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用函數(shù)期望效用函數(shù)可以對(duì)一件抽獎(jiǎng)商品的效用表示為對(duì)抽獎(jiǎng)結(jié)果的效用函數(shù)的數(shù)學(xué)期望：第十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用函數(shù)無(wú)差異曲線考慮N=3情況,令

U(P1,P2,P3)=∑PiU(Ci)=K

注意到P1+P2+P3=1，則無(wú)差異曲線：

假設(shè)，則第十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用函數(shù)無(wú)差異曲線第二十頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用函數(shù)定理(VonNeumann-Morgenstein)假定在抽獎(jiǎng)商品空間上的偏好具有完備性、自反性、傳遞性、連續(xù)性和獨(dú)立性，則下式成立：第二十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用函數(shù)反對(duì)期望效用的例子：阿萊的悖論法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿萊在1953年作過(guò)一組心理實(shí)驗(yàn)。在該實(shí)驗(yàn)中，被試者要求在下面兩組彩票組合中進(jìn)行選擇。第一組，A=(5000000,0;1000000,1;0,0),B=(5000000,0.1;1000000,0.89;0,0.01)，第二組,C=(5000000,0;1000000,0.11;0,0.89),D=(5000000,0.1;1000000,0.0;0,0.90)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)人在A和B中會(huì)選擇A，而在C和D中會(huì)選擇D。實(shí)驗(yàn)結(jié)果與期望效用公理相抵觸。第二十二頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用函數(shù)反對(duì)期望效用的例子：阿萊的悖論主要質(zhì)疑公理體系中的獨(dú)立性公理設(shè)置：L1=(0.11,0.89;1000000,1000000);L2=(10/11,1/11;5000000,0);發(fā)現(xiàn)：

L1=(0.11,0.89;1000000,1000000)~A(0.11,0.89;L2,1000000)~B(0.11,0.89;1000000,0)~C(0.11,0.89;L2,0)~D悖論：比較L2與1000000，觀察試驗(yàn)結(jié)果，發(fā)現(xiàn)與獨(dú)立性公里相悖。第二十三頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用理論不確定環(huán)境中效用函數(shù)可表示成不同狀態(tài)下消費(fèi)計(jì)劃效用的期望值：

在時(shí)間可加條件下，等價(jià)于：第二十四頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一期望效用函數(shù)唯一性問(wèn)題如果U是一個(gè)描述不確定環(huán)境中的期望效用函數(shù)，那么任何一反射變換（即乘以一個(gè)正數(shù)加上一個(gè)實(shí)數(shù)）仍為期望效用函數(shù)。第二十五頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其度量風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度引出VonNeumann-Morgenstein的期望效用函數(shù)描述抽獎(jiǎng)商品，但由于金融投融資決策的結(jié)果往往表現(xiàn)為貨幣形式，可以進(jìn)一步拓展到特殊商品（貨幣）上，構(gòu)建貨幣抽獎(jiǎng)。例如，假設(shè)投資者有15美元，并且面臨如下抽獎(jiǎng)貨幣：抽獎(jiǎng)商品的數(shù)學(xué)期望效用值：10*0.5+20*0.5=15那么投資者愿意花15元去參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)嗎？第二十六頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其度量是否愿意取決于投資者的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。三種風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度與效用函數(shù)風(fēng)險(xiǎn)厭惡者風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者風(fēng)險(xiǎn)中性者第二十七頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其度量風(fēng)險(xiǎn)厭惡者U(12)=E(U(15)),這3元錢可視為引誘風(fēng)險(xiǎn)厭惡者進(jìn)入賭博的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。第二十八頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其度量風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者第二十九頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其度量風(fēng)險(xiǎn)中性者第三十頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其度量風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量如果兩個(gè)投資者都是風(fēng)險(xiǎn)厭惡的，又如何比較它們之間的風(fēng)險(xiǎn)厭惡的程度呢？確定性等價(jià)。我們總有辦法引誘風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者進(jìn)入“公平”的賭博，能夠吸引其進(jìn)入公平賭博的最小接受價(jià)位被稱為確定性等價(jià)。風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。確定性等價(jià)與期望財(cái)富之間的差額為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)可以作為度量指標(biāo)，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)要求越高，風(fēng)險(xiǎn)厭惡越強(qiáng)。第三十一頁(yè)，共三十六頁(yè)，編輯于2023年，星期一風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度及其度量普拉特（1964）風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量

E[U(W+x)]=U(W-π)其中，W為財(cái)富水平，x為隨機(jī)變量，π為風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)：

E[U(W)+xU’(W)+x2U’’(W)/2+Re]=U(W)-πU’(W)+Re整理得到：

U(W)+U’’(W)σ2/2≈U(W)-πU’(W)

即：

π=-(σ2/2)[U’’(W)/U’(W)]

其中，σ2是x的方差。[-U’’(W)/U’(W)]可作為風(fēng)險(xiǎn)厭