同構(gòu)及同態(tài)和環(huán)

同構(gòu)及同態(tài)和環(huán)第一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二證明：因?yàn)镚非空,顯然G′非空，要證G′做成群，首先要證G′中任意兩個元素可以相乘，即設(shè)a′∈G′，b′∈G′，要證a′b′∈G′。事實(shí)上，a′=σ（a），b′=σ（b），按σ的同態(tài)性σ（ab）=σ（a）σ（b）=a′b′，故a′b′是G的元素ab的映象，因而a′b′∈G′。再證G′中有結(jié)合律成立：設(shè)a′,b′,c′∈G′，則a′（b′c′）=（a′b′）c′。事實(shí)上，a′=σ（a），b′=σ（b），c′=σ（c），又因?yàn)槿篏中有結(jié)合律成立,所以a(bc)=(ab)c。于是σ（a（bc））=σ（（ab）c）。按σ的同態(tài)性，推出σ(a)σ(bc)=σ(ab)σ(c)，σ(a)(σ(b)σ(c))=(σ(a)σ(b))σ(c)，第二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二即a′（b′c′）=（a′b′）c′。下面證G′有左壹而且就是σ（1），即對于任意的a′∈G′,有σ(1)a′=a′。事實(shí)上，a′=σ（a），按σ的同態(tài)性σ（1）a′=σ（1）σ（a）=σ（1a）=σ（a）=a′。再證G′中的任意元素a′有左逆而且就是σ（a-1）。事實(shí)上，a′=σ（a），由σ的同態(tài)性σ(a-1)a′=σ(a-1)σ(a)=σ(a-1a)=σ（1）。因此，G′做成一個群，G′的壹1′=σ（1），G′中a′的逆是σ（a-1）。G和G′說是同態(tài)，記為G～G′。第三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.1設(shè)（G，*），（K，+）是兩個群，令σ：xe，xG，其中e是K的單位元。則σ是G到K內(nèi)的映射，且對a，bG，有σ（a*b）=e=σ（a）+σ（b）。即，σ是G到K的同態(tài)映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一個子群。這個同態(tài)映射是任意兩個群之間都有的。第四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.2設(shè)（Z，+）為整數(shù)加法群，（C*，·）是所有非零復(fù)數(shù)在數(shù)的乘法下作成的群，令σ：nin，nZ，其中i是C的虛數(shù)單位。則σ是Z到C*內(nèi)的一個映射，且對m,nZ，有σ(m+n)=im+n=im·in=σ(m)·σ(n)。即，σ是Z到C*的同態(tài)映射，Z～σ（Z）。σ（Z）={1，-1，i，-i}是C*的一個子群。第五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二6.5.2同構(gòu)映射

定義6.5.2設(shè)G是一個群，K是一個乘法系統(tǒng)，σ是G到K內(nèi)的一個同態(tài)映射，如果σ是G到σ（G）上的1-1映射,則稱σ是同構(gòu)映射。稱G與σ（G）同構(gòu)，記成GG′。同構(gòu)的群或代數(shù)系統(tǒng)，抽象地來看可以說毫無差別。如果G只和G′同態(tài)，則由于G中兩個或多個元素可能變成G′的一個元素，所以不能說是G和G′構(gòu)造一樣，但因?yàn)镚中的乘法關(guān)系在G′中仍對應(yīng)地成立，所以，可以說G′是G的一個縮影。第六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.3設(shè)（R+，·）是一切正實(shí)數(shù)在數(shù)的乘法下作成的群,(R，+)是實(shí)數(shù)加法群。令σ：xlogx，xR+，則σ是R+到R上的1-1映射,且對a,bR+，σ（a·b）=log（a·b）=loga+logb=σ（a）+σ（b）。故σ是R+到R上的同構(gòu)映射。Logx是以e為底的x的對數(shù),若取σ(x)=log2x，或若取σ（x）=log10x，則得到R+到R上的不同的同構(gòu)映射。由此可見，群間可存在好多個甚至是無限多個同構(gòu)映射。此例中（R+，·）（R，+），如果將R+換成R*，即換成非零實(shí)數(shù)集,那么（R*,·）與（R,+）能否同構(gòu)呢？第七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.4（R*，·）與（R，+）不可能同構(gòu)。證明：用反證法。假設(shè)（R*，·）與（R，+）同構(gòu)，可設(shè)映射σ為R*到R上的一個同構(gòu)映射，于是必有σ：10，-1a，a0。從而，σ（1）=σ（（-1）·（-1））=σ（-1）+σ（-1）=a+a=2a。則有2a=0，a=0，與a0矛盾。故原假設(shè)不對,（R*，·）與（R，+）不可能同構(gòu)。第八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.5無限循環(huán)群同構(gòu)于整數(shù)加法群。證明：設(shè)G=（g）是無限循環(huán)群，Z為整數(shù)加法群，則對aG，nZ，使得a=gn，則令f：an。不難驗(yàn)證f是G到Z上的同構(gòu)映射。因此，GZ。定義6.5.3設(shè)G是一個群，若σ是G到G上的同構(gòu)映射，則稱σ為自同構(gòu)映射。自同構(gòu)映射的最簡單的例子就是恒等映射，稱為恒等自同構(gòu)映射。在恒等自同構(gòu)映射下，群中每個元素都保持不變。下面再舉幾個自同構(gòu)映射的例子。第九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.6設(shè)（Z，+）是整數(shù)加法群，令σ：n-n，nZ，則σ是Z的一個自同構(gòu)映射。例6.5.7設(shè)G是一個Abel群，將G的每個元素都映到其逆元素的映射σ：aa-1，aG，是G的一個自同構(gòu)映射。此例包含上例為特例。如果G包含元數(shù)大于2，那么該自同構(gòu)映射不一定是恒等自同構(gòu)映射。第十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二6.5.3同態(tài)核

定義6.5.4設(shè)σ是G到G′上的一個同態(tài)映射，命N為G中所有變成G′中1′的元素g的集合，記為σ-1（1′），即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}我們把N叫做σ的核。這里σ-1（1′）只是一個記號，不代表逆映射。

第十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二

定理6.5.2設(shè)σ是G到Gˊ上的一個同態(tài)映射，于是，σ的核N是G的一個正規(guī)子群,對于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G,σ(x)=aˊ}是N在G中的一個陪集，因此，Gˊ的元素和N在G中的陪集一一對應(yīng)。證明：先證N是G的子群。1）證N非空。因?yàn)棣遥?）=1ˊ，所以1∈N。2）若a∈N，b∈N，要證ab-1∈N。事實(shí)上，由σ（a）=1′，σ（b）=1′，可得σ（ab-1）=σ（a）σ（b-1）=σ（a）（σ（b））-1=1′（1′）-1=1′，故ab-1∈N。第十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二再證N是正規(guī)子群,即證對于任意的g∈G,gNg-1N。事實(shí)上，σ(gNg-1)=σ(g)σ(N)σ(g-1)=σ(g){1′}σ(g)-1=σ(g)σ(g)-1{1′}

={1′}。故gNg-1N。最后證明：若a′∈G′而σ(a)=a′則σ-1（a′）是N在G中的一個陪集，即為Na。事實(shí)上，對任意的b∈G，b∈σ-1(a′)必要而且只要σ(b)=a′,必要而且只要σ(b)(a′)-1=1′,必要而且只要σ(b)(σ(a))-1=σ(ba-1)=1′,必要而且只要ba-1∈N，必要而且只要b∈Na。第十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二以上所述說明了:若σ是G到G′上的同態(tài)映射,則其核N為一正規(guī)子群。反過來，我們要問：設(shè)N是G的一個正規(guī)子群,是否有一個群G′以及一個G到G′上的同態(tài)映射σ,使N為σ的核？回答是肯定的,下面造出如此之G′和σ。引理1設(shè)N是G的正規(guī)子群。若A，B是N的陪集，則AB也是N的陪集。證明：因?yàn)镹是正規(guī)子群，故Nb=bN，今設(shè)A=aN，B=bN，AB=aNbN=abNN=abN，所以AB是一個陪集。第十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二定理6.5.3按照陪集的乘法,N的所有陪集作成一個群.命σ：a→aN，則σ是G到上的一個同態(tài)映射,其核為N.證明：由引理1，中乘法封閉，映射σ使σ(a)σ(b)=aNbN=abN=σ(ab)，故σ是G到上的一個同態(tài)映射，按定理6.5.1，是一個群,的壹顯然就是N本身（作為中的一個元素）,所以σ的核應(yīng)含G中在σ之下變成中壹N的那些元素:核σ={g∈G∣σ（g）=N∈}={g∈G∣gN=N}={g∈G∣g∈N}=N（作為G的一個子集，一個正規(guī)子群）。叫做G對于N的商群，記為G∕N。若G是有限群，則商群中元素個數(shù)等于N在G中的指數(shù)，即等于陪集的個數(shù)。第十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.8設(shè)G是整數(shù)加法群，N=5G={…,-10,-5,0,5,10,…},則N是G的正規(guī)子群.G中N的所有陪集為：,其中：

={…,-10,-5,0,5,10,…}=N=0+N，={…,-9,-4,1,6,11,…}=1+N，

={…,-6,-1,4,9,14,…}=4+N。用表示陪集間的加法，則=(1+N)(4+N)=（1+4）+N=N=。若令={}，則G～，在陪集加法下是一個群。第十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二定理6.5.4設(shè)σ是G到G′上的一個同態(tài)映射,若σ的核為N，則G′。證明：首先，由定理6.5.2，我們知道G′的元素和G∕N的元素一一對應(yīng),設(shè)在這個一一對應(yīng)之下,G′的元素a′和b′分別對應(yīng)G∕N的元素aN和bN:a′aN，b′bN。于是a′=σ(a)，b′=σ(b)，而且a′b′=σ(ab),可見G′的元素a′b′所對應(yīng)的G∕N的元素是abN=aNbN：a′b′aNbN。所以G′和G∕N同構(gòu)。第十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.5.9設(shè)G是整數(shù)加法群，σ：xx（mod5）,xG，則

G′=σ（G）={0,1,2,3,4}是模5的加法群,σ是G到G′上的同態(tài)映射。σ的核為N=5G，G∕N=={}，則G′G∕N。第十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二定理6.5.3和定理6.5.4說明，G的任意縮影和G的一個商群同構(gòu)，而且G的任一商群也就是一個縮影。因此,抽象地看來，商群就是縮影,縮影就是商群，說是商群，我們指的是以陪集為元素作成的群，說是縮影，我們可以設(shè)想把陪集aN中的所有元素加以“等置”而得一個元素a′，縮影就是這些元素a′作成的群。第十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例如,Sn：n次對稱群，C2={1，-1}，按照乘法，是二元循環(huán)群，規(guī)定映射sgn：sgn則由sgn=sgn.sgn,知sgn是同態(tài)映射，同態(tài)象C2，其核為n次交代群An，顯然An是Sn的正規(guī)子群，Sn～Si/An是自然同態(tài)，同態(tài)象C2Sn/An，所以說Sn/An是二元循環(huán)群。第二十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二下面看同態(tài)映射下子群的變化。設(shè)G是群，同態(tài)映射，G～G’，N是同態(tài)核。(1)H是G的子群，則H’=(H)是G’的子群。(2)設(shè)H’是G’的子群,則-1(H’)=H為G的子群.證明：H=-1(H’)顯然非空。對任意a，bH，必有(a)，(b)H’，因H’是子群，所以(a)(b)-1=(ab-1)H’，所以ab-1H，故H是G的子群。第二十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二(3)先給出G的子群H,作(H)=H’，然后看-1(H’),它是H嗎?不一定，應(yīng)是-1(H’)=HN。證明：因(HN)=(H)(N)=(H)，所以HN-1((H))。任取a-1((H))，必有(a)=h’(H)，因?yàn)?H)是H的象集，必有hH，使(h)=h’=(a),即(h-1a)=(h)-1(a)=1’，所以h-1aN，即ahN，有aHN，故-1((H))HN，所以原式成立。(4)若NH，則-1((H))=H。證：因N中有1，故H=H{1}HNHH=H所以，HN=H，由(3)，結(jié)論成立。第二十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二(5)先給G’子群H’，-1(H’)=H再看H的象集(H)=(-1(H’))它是H’嗎？是的。證：因-1(H’)表示H’在G中全體原象集，故在下再看象集必是H’。(6)若H是G正規(guī)子群，則H’=(H)是G’正規(guī)子群。證：對任g’G’往證g’H’g’-1H’因?yàn)楸赜術(shù)G使(g)=g’而g’H’g’-1=(g)(H)(g)-1=(gHg-1)=(H)=H’所以，H’正規(guī)子群。第二十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二

(7)若H’是G’的正規(guī)子群，則H=-1(H’)是G的正規(guī)子群。證：對任gG要證gHg-1H因(gHg-1)=(g)(H)(g)-1=g’H’g-1=H’所以，gHg-1H=-1(H’)=H由(1)～(7)，可得如下定理：定理6.5.5G與N之間的子群和G′的子群一一對應(yīng)，大群對應(yīng)大群，小群對應(yīng)小群，正規(guī)子群對應(yīng)正規(guī)子群。

第二十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二G中子群與G′中子群的關(guān)系示意圖1G當(dāng)NHG’

-1((H))=HNH’=(H)H1NH’1’第二十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二G中子群與G′中子群的關(guān)系示意圖2G若HNH’=(H)G’

H1N1‘第二十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二§6.6環(huán)6.6.1環(huán)的定義

定義6.6.1設(shè)R是一個非空集合，其中有加法乘法兩種運(yùn)算，R叫做一個環(huán)，如果1）a+b=b+a，2）a+（b+c）=（a+b）+c，3）R中有一個元素0，適合a+0=a，4）對于R中任意a,有-a,適合a+(-a)=0，5）a（bc）=（ab）c，6）a（b+c）=ab+ac,（a+b）c=ac+bc。以上1）到4）說明了R對于加法構(gòu)成一個Abel群，5）表示乘法適合結(jié)合律，6）表示乘法對于加法有分配律；由于乘法不見得適合交換律，所以分配律有兩個。第二十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.6.1所有整數(shù)在整數(shù)的加法與乘法下作成一個環(huán)，叫做整數(shù)環(huán)。例6.6.2所有矩陣在矩陣的加法與乘法下作成一個環(huán)，叫做矩陣環(huán)。例6.6.3實(shí)數(shù)域上的所有多項(xiàng)式在多項(xiàng)式加法與乘法下作成一個環(huán),叫做多項(xiàng)式環(huán)。例6.6.4整數(shù)模n的所有剩余類集合在剩余類加法與乘法下作成一個環(huán)。例6.6.5所有有理數(shù)、所有實(shí)數(shù)、所有復(fù)數(shù)在數(shù)的加法與乘法下都分別作成環(huán),常稱為有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域。第二十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二6.6.2環(huán)的性質(zhì)

性質(zhì)6.6.1用數(shù)學(xué)歸納法,分配律可以推廣如下:a（b1+…+bn）=ab1+…+abn，（a1+…+am）b=a1b+…+amb，aibj=aibj。

所以,當(dāng)m為正整數(shù)時,a,b環(huán)R,a(mb)=(ma)b=m(ab),并且規(guī)定0a=0,其中第一個0是整數(shù)，第二個0是環(huán)中單位元。性質(zhì)6.6.2a（c-b）=ac-ab，（c-b）a=ca-ba。證明：因?yàn)閍（c-b）+ab=a（c-b+b）=ac，所以a（c-b）=ac-ab。同理，（c-b）a=ca-ba。第二十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)6.6.3a0=0，0a=0。證明：由性質(zhì)6.6.2,令b=c=0,得a(0-0)=a0-a0=0,(0-0)a=0a-0a=0,即a0=0,0a=0。性質(zhì)6.6.4a(-b)=-(ab),(-a)b=-(ab),(-a)(-b)=ab。證明：由性質(zhì)6.6.2，令c=0，即得a(-b)=-(ab),(-a)b=-(ab)。因此,(-a)(-b)=-(-(ab))=ab。性質(zhì)6.6.5對任意整數(shù)m，都有a（mb）=（ma）b=m（ab）。設(shè)n是任意正整數(shù)，象在群中一樣，可以說an而且證明第三十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)6.6.6am+n=aman,(am)n=amn。定義6.6.2如果乘法適合交換律：ab=ba則稱R是一個交換環(huán)。性質(zhì)6.6.7在交換環(huán)中，有第三指數(shù)律：（ab）n=anbn。例6.6.6整數(shù)環(huán)、多項(xiàng)式環(huán)都是交換環(huán)；矩陣環(huán)不是交換環(huán)。第三十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二

性質(zhì)6.6.8在交換環(huán)中二項(xiàng)式定理成立：（a+b）n=an+nan-1b+an-2b2+…+bn。該性質(zhì)不難用數(shù)學(xué)歸納法證明。定義6.6.3如果R不只有一個元素而且有一個元素1適合1a=a1=a,則稱R為含壹環(huán)。例6.6.7整數(shù)環(huán)為含壹環(huán)，所有偶數(shù)在數(shù)的加法和乘法下作成的環(huán)不是含壹環(huán)。第三十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)6.6.9含壹環(huán)R的壹是唯一確定的。證明：若1、1′為R的兩個壹，則1′=11′=1。性質(zhì)6.6.10設(shè)環(huán)R有1，則1≠0。證明：取a∈R，且a≠0，則a0=0，而a1=a，故1≠0。性質(zhì)6.6.11任意環(huán)R均可擴(kuò)充成一個含壹環(huán)R+。證明：令R+={a+m|a∈R，m∈Z（整數(shù)環(huán)）}。規(guī)定R+上的加法和乘法分別為：（a+m）+（b+n）=（a+b）+（m+n）;（a+m）（b+n）=（ab+na+mb）+mn。則R+為環(huán)，其壹為0+1，而且，R+{a+0|a∈R}=R+0，R+的加法和乘法運(yùn)算是R的運(yùn)算的擴(kuò)充。第三十三頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二定義6.6.4若R是環(huán)，S是R的非空子集，若S在R的加法和乘法下仍是環(huán)，則稱S是R的子環(huán)。顯然，R本身以及{0}是R的兩個平凡子環(huán)。

定理6.6.2環(huán)R的子集S作成子環(huán),必要而且只要，（1）

S非空；（2）

若a∈S，b∈S，則a-b∈S;（3）

若a∈S，b∈S，則ab∈S。注意，對于乘法群，其壹恒與子群的壹一致；但對于環(huán)，其壹卻未必與子環(huán)的壹一致。第三十四頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.6.8任意域F上的所有n（>1）階方陣做成的環(huán)，有壹In=，其中，所有如下形狀的n階矩陣，a∈F做成一個子環(huán)，第三十五頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二有壹，但

≠。第三十六頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二又如，整數(shù)模6環(huán)，R6={}有壹，子環(huán){}有壹。

第三十七頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二定義6.6.5若R是環(huán)，a，bR，如果a≠0，b≠0,但ab=0，則稱a，b為零因子。如果R沒有這樣的元素，則說R無零因子。無零因子的環(huán)又叫消去環(huán)。例6.6.9整數(shù)環(huán)是消去環(huán)，矩陣環(huán)不是消去環(huán)，有零因子。比如，n=2時，

=。第三十八頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)6.6.12R是消去環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R中消去律成立。證明：設(shè)R是消去環(huán),即R無零因子.如果a≠0，且ab=ac，那么ab-ac=0，即a（b-c）=0。因環(huán)R中無零因子，而a≠0，故必有b-c=0，即b=c，因此，消去律成立。反之，設(shè)消去律成立，即由a≠0，ab=ac可推出b=c。若ab=0，而a≠0，則ab=a0，因而由消去律可得b=0。故R無零因子，R是消去環(huán)。第三十九頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)6.6.13在消去環(huán)R中，不為0的元素在加法下的周期相同。證明：任取R中非零元素a，b，設(shè)a的周期為m，b的周期為n,(1)若m=0,(na)b=a(nb)=a0=0,所以na=0,因?yàn)閍的周期為m=0,所以m=n=0.(2)否則，m≠0,n≠0,而ma=0,nb=0。則一方面，a（mb）=（ma）b=0b=0，又由a≠0，且R無零因子知，mb=0。而b的周期為n，故n|m。另一方面，（na）b=a（nb）=a0=0，又由b≠0，且R無零因子知，na=0。而a的周期為m，故m|n。因此，m=n。第四十頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二性質(zhì)6.6.14在消去環(huán)R中，不為0的元素在加法下的周期或?yàn)?或?yàn)橘|(zhì)數(shù)。證明：設(shè)aR,a≠0,且a的周期為n,n≠1故na=0.(1)

若n=0，則得證。(2)

否則，只需證n是質(zhì)數(shù)。用反證法。設(shè)n不是質(zhì)數(shù)，則n=n1n2,且n1≠1，n2≠1。故1<n1<n，1<n2<n。顯然，n1a，n2aR，由a的周期為n知,n1a≠0,n2a≠0。而(n1a）（n2a）=（n1n2）（aa）=（na）a=0a=0，故n1a，n2a為零因子,與R無零因子矛盾。因此，原假設(shè)不對，n是質(zhì)數(shù)。第四十一頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二定義6.6.6有壹無零因子的交換環(huán)叫做整區(qū)。例6.6.10所有整數(shù),所有有理數(shù),所有實(shí)數(shù),所有復(fù)數(shù)在數(shù)的加法和乘法下作成的環(huán)都是整區(qū)。定義6.6.7如果去掉0，R的其余元素作成一個乘法群，則稱環(huán)R為體。體有壹而且無零因子，其中任意非零元素有逆。定義6.6.8域是交換體。在域中，ab-1可以寫成a/b。有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域都是域。第四十二頁，共四十八頁，編輯于2023年，星期二例6.6.11取三個符號i，j，k，以實(shí)數(shù)a，b，c，d為系數(shù)而作如下形式的線性組合：a+bi+cj+dk。這種形式的線性組合叫做一個四元數(shù)。規(guī)定兩個四元數(shù)相加只要把它們相應(yīng)的系數(shù)相加：(a1+b1i+c1