(完整版)考研高數(shù)必備公式

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦(完整版)考研高數(shù)必備公式考研高數(shù)部分公式

2

22212211cos12sinudu

dxxtguuuxuux+==+-=+=，，，

4一些初等函數(shù)：兩個(gè)重要極限：

5三角函數(shù)公式：·誘導(dǎo)公式：

x

x

arthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxx

x

xx

xx

x-+=-+±=++=+-==+=

-=

11ln

21)1ln(1ln(:2

:2:22）雙曲正切雙曲余弦雙曲正弦...590457182818284.2)1

1(lim1

sinlim

0==+=∞→→ex

x

x

xxx

·倍角公式：

·半角公式：

α

α

αααααααααααα

α

ααα

cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos12

2

cos12cos2cos12

sin-=

+=-+±=+=-=+-±

=+±=-±=ctgtg

·正弦定理：RC

c

BbAa2sinsinsin===·余弦定理：

Cabbaccos2222-+=

·反三角函數(shù)性質(zhì)：arcctgxarctgxxx-=

-=2

arccos2

arcsinπ

π

8中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：

拉格朗日中值定理。

時(shí)，柯西中值定理就是當(dāng)柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf=''=

'=-)(F)

()

()()()()()

)(()()(ξξξ

曲率：

α

ααααααααα23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg--=

-=-=α

α

αααααααααα

αα22222212221

2sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg-=

-=

-=-=-==

.

1

;0.)

1(limMsMM:.,13202a

KaKyydsdsKMMs

Ktgydxydss=='+''==??='?'???=

=''+=→?的圓：半徑為直線：點(diǎn)的曲率：弧長(zhǎng)。：化量；點(diǎn)，切線斜率的傾角變點(diǎn)到從平均曲率：其中弧微分公式：α

ααα

α

9定積分的近似計(jì)算：

???+++++++++-≈

++++-≈

+++-≈

b

a

nnnb

a

nnb

anyyyyyyyyn

a

bxfyyyynabxfyyyn

a

bxf)](4)(2)[(3)(])(2

1

[)()()(1312420220110ΛΛΛΛ拋物線法：梯形法：矩形法：

10定積分應(yīng)用相關(guān)公式：

??--==?=?=b

a

badttfabdx

xfabykr

m

mkFA

pFs

FW)(1)(1

,2

221均方根：函數(shù)的平均值：為引力系數(shù)引力：水壓力：功：

空間解析幾何和向量代數(shù)：

。

代表平行六面體的體積為銳角時(shí)，

向量的混合積：例：線速度：兩向量之間的夾角：是一個(gè)數(shù)量軸的夾角。

是向量在軸上的投影：點(diǎn)的距離：空間ααθθθ??,cos)(][..sin,cos,,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(22

2

2

2

2

2

212121*********cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaak

ji

ba

cbbbaaababababababababaajajaajujzzyyxxMM

dz

y

xzyx

z

yx

z

y

x

zyx

z

yxzyxz

zyyxxzzyyxxuu?

???

?????????????

??

?????????==??=?=?==?=++?++++=++=?=?+=+=-+-+-==

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

z

yzxyxyxyxyxFFyz

FFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuux

v

vzxuuzxzyxvyxufzt

v

vztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzz

udyyudxxududyyzdxxzdz-

=??-=??=?

-??

-??=-==??+??=??+??===???

??+?????=??=?????+?????==?+?=≈???+??+??=??+??=

，，隱函數(shù)＋，，隱函數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：

時(shí)，

，當(dāng)

：

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法全微分的近似計(jì)算：全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22

)

,(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),,,(0),,,(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFv

Gu

GvF

u

F

vuGFJvuyxGvuyxFv

uvu???-=?????-=?????-=?????-=??=????????=??=?

??==隱函數(shù)方程組：

微分法在幾何上的應(yīng)用：

)

,,(),,(),,(30

))(,,())(,,())(,,(2)},,(),,,(),,,({1),,(0),,(}

,,{,0

),,(0),,(0))(())(())(()()()(),,()

()()

(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxy

xyxxzxzzyzy-=

-=-=-+-+-==????

?====-'+-'+-''-=

'-='-??

?

??===、過(guò)此點(diǎn)的法線方程：：、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程、過(guò)此點(diǎn)的法向量：，則：

上一點(diǎn)曲面則切向量若空間曲線方程為：處的法平面方程：在點(diǎn)處的切線方程：在點(diǎn)空間曲線?

?ωψ?ωψ?ωψ?方向?qū)?shù)與梯度：

上的投影。在是單位向量。方向上的

，為，其中：它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是的梯度：在一點(diǎn)函數(shù)的轉(zhuǎn)角。

軸到方向?yàn)槠渲械姆较驅(qū)?shù)為：沿任一方向在一點(diǎn)函數(shù)lyxflf

ljieeyxfl

fjy

fixfyxfyxpyxfzlxyf

xflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(??∴?+?=?=????+??=

=??+??=??=???

???????

?多元函數(shù)的極值及其求法：

????

???

??=--=====不確定時(shí)值時(shí)，無(wú)極為極小值為極大值時(shí)，則：，令：設(shè),00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22

000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx

重積分及其應(yīng)用：

??????

??????????????

????++-=++=++==>===

=

==

???

?????+???????+==='

D

zD

yD

xzyxD

yD

xD

D

yD

xD

DD

ayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyM

MydyxdyxxM

MxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf2

3

22

2

2

3

22

2

2

3

22

2

22D

2

2

)

(),()

(),()

(),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(σ

ρσ

ρσ

ρσρσρσ

ρσ

ρσ

ρσ

ρθ

θθ，，，其中：的引力：軸上質(zhì)點(diǎn)平面）對(duì)平面薄片（位于軸對(duì)于軸對(duì)于平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：平面薄片的重心：的面積曲面

曲線積分：

??

?==+-+-+-+-nnnn

nnnnurrusuuuuuuuuuuuΛΛ肯定收斂與條件收斂：

∑∑∑∑>≤-+++++++++時(shí)收斂

１時(shí)發(fā)散ｐ

級(jí)數(shù)：收斂；

級(jí)數(shù)：收斂；

發(fā)散，而調(diào)和級(jí)數(shù)：為條件收斂級(jí)數(shù)。收斂，則稱(chēng)發(fā)散，而假如收斂級(jí)數(shù)；絕對(duì)收斂，且稱(chēng)為肯定收斂，則假如為隨意實(shí)數(shù)；，其中11

1

)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupn

nnnΛ

ΛΛΛ

冪級(jí)數(shù)：

01

0)3(lim

)3(111

1111

221032=+∞=+∞

===

≠==><+++++≥-<++++++++∞→RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnn

nnnnn時(shí)，時(shí)，時(shí)，的系數(shù)，則是，，其中求收斂半徑的辦法：設(shè)稱(chēng)為收斂半徑。

，其中時(shí)不定

時(shí)發(fā)散時(shí)收斂

，使在數(shù)軸上都收斂，則必存收斂，也不是在全

，假如它不是僅在原點(diǎn)對(duì)于級(jí)數(shù)時(shí)，發(fā)散

時(shí)，收斂于

ρρρ

ρρΛΛΛΛ函數(shù)綻開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：

Λ

ΛΛ

Λ+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n

nnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!

)0(!2)0()0()0()(00

lim)(,)()!1()

()(!

)()(!2)())(()()(2022)1(00)(2

0000時(shí)即為麥克勞林公式：充要條件是：可以綻開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的余項(xiàng)：函數(shù)綻開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：ξ一些函數(shù)綻開(kāi)成冪級(jí)數(shù)：

)

()!12()1(!5!3sin)11(!

)1()1(!2)1(1)1(1

21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-+

+=+--xnx

xxxxxxnnmmmxmmmxxnnn

mΛΛΛΛΛ歐拉公式：

???

????-=+=+=--2sin2cossincosixixix

ixixeexeexxixe或三角級(jí)數(shù)：

。

上的積分＝在隨意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積正交性：。

，，，其中，0],[cos,sin2cos,2sin,cos,sin,1cossin)

sincos(2)sin()(00101

0ππω???ω-====++=++=∑∑∞

=∞

=ΛΛnxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn

傅立葉級(jí)數(shù)：

是偶函數(shù)，余弦級(jí)數(shù)：是奇函數(shù)

，正弦級(jí)數(shù)：（相減）

（相加）

其中，周期∑?

∑???∑+=

==

======+-+-=++++=+++=

+++???

?

???=====++=--∞

=nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnn

nnnnnnncos2

)(2,1,0cos)(2

0sin)(3,2,1nsin)(2

012413121164

1312112461412185

1311)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos)(1

2)sincos(2)(0

2

2222

2222

222

2

221

0ΛΛΛΛΛΛΛΛπ

π

π

ππ

ππ

π

πππππππ

周期為l2的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)：

???

????=====++=??∑--∞=l

lnll

nnnnndxlxnxflbndxlx

nxflal

l

xnblxnaaxf)3,2,1(sin)(1)2,1,0(cos

)(12)sincos(2)(10ΛΛ其中，周期ππππ

微分方程的相關(guān)概念：

即得齊次方程通解。

，

代替分別變量，積分后將，，，則設(shè)的函數(shù)，解法：，即寫(xiě)成程可以寫(xiě)成齊次方程：一階微分方稱(chēng)為隱式通解。

得：的形式，解法：

為：一階微分方程可以化可分別變量的微分方程或一階微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyux

y

yxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy-=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0