可降階的高階微分方程,高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)

10-3可降階的高階微分方程2021/5/91復(fù)習(xí)1.微分方程的概念微分方程;階;定解條件.解;通解;特解;分離變量法步驟:1.分離變量;2.兩端積分-------隱式通解.的微分方程.3.齊次方程解法：作變量代換2.可分離變量方程的求解方法:2021/5/924.一階線性齊次微分方程5.一階線性非齊次微分方程（1）一般式（2）通解公式（1）一般式（2）通解公式解法？2021/5/9310-3可降階的高階微分方程高階微分方程定義：二階及二階以上的微分方程.可降階的高階微分方程：可以通過(guò)代換將它化為較低階的方程來(lái)解，這種類型的方程稱為可降階的方程.相應(yīng)的解法稱為降階法.一般形式：特點(diǎn)：解法：接連積分n次，得通解．2021/5/94解所以原方程通解為2021/5/95特點(diǎn)：不顯含未知函數(shù)y.解法：代入原方程,得這是一階微分方程.解代入原方程,得積分兩邊積分得:2021/5/96解代入原方程分離變量,得積分得對(duì)它兩端積分,得原方程通解為2021/5/97特點(diǎn)：不顯含自變量x.解法：代入原方程,得這是一階微分方程.解2021/5/98解2021/5/99解分離變量得兩端積分,得則得于是有由于所以取正的一支.即2021/5/910由于所以取正的一支.即分離變量并兩邊積分得從而所求的特解為注意：在求特解的過(guò)程中，出現(xiàn)任意常數(shù)后，馬上用初值條件代入，可以使運(yùn)算簡(jiǎn)化.數(shù)時(shí)，可根據(jù)已知條件定出其中一支.當(dāng)出現(xiàn)幾支函確定任意常數(shù)，2021/5/911高階線性微分方程及其通解結(jié)構(gòu)第四節(jié)二、n階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)

第十章2021/5/912①式叫二階線性齊次微分方程①式叫二階線性非齊次微分方程n

階線性微分方程的一般形式為時(shí),稱為非齊次方程;時(shí),稱為齊次方程.一、二階線性微分方程的通解結(jié)構(gòu)

二階線性微分方程的定義2021/5/913回顧:

一階線性方程齊次通解Y非齊次特解y*二階線性微分方程①式叫二階線性齊次微分方程①式叫二階線性非齊次微分方程2021/5/9141.二階齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu):2021/5/915說(shuō)明:不一定是方程(1)的通解.就是它的通解.為解決通解的判別問(wèn)題,下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)概念.2021/5/916定義:例如線性無(wú)關(guān).線性相關(guān).特別地：2021/5/917兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間I

上線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的充要條件:常數(shù)思考:相關(guān)2021/5/918就是它的通解.推論:2021/5/919證明2.線性非齊次線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

推論：2021/5/920說(shuō)明:只須求它的一個(gè)特解和的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解則的通解為齊次通解Y+非齊次特解y*非齊次通解y=例如,

方程有特解且故方程的通解為又知方程有特解因此的通解為2021/5/921設(shè)非齊次方程(2)的右端是幾個(gè)函數(shù)之和，若而與分別是方程的特解，那么就是原方程的特解.定理4.解的疊加原理定理5.是對(duì)應(yīng)齊次方程的n

個(gè)線性無(wú)關(guān)特解,

給定

n階非齊次線性方程是非齊次方程的特解,則非齊次方程的通解為齊次方程通解非齊次方程特解2021/5/922通解是().例1.提示:都是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,