湖北省荊州市沙道觀(guān)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

湖北省荊州市沙道觀(guān)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.其幾何體的三視圖如圖所示(單位：),則該幾何體的體積是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：由題設(shè)中提供的三視圖可以看出該幾何體是棱長(zhǎng)為的正方體挖去一個(gè)正四棱錐剩余的幾何體,其體積,故應(yīng)選C.考點(diǎn)：三視圖的理解與識(shí)讀.2.若在上是減函數(shù)，則的取值范圍是（

）

參考答案：答案：D解析：由題意可知，在上恒成立，即在上恒成立，且要使，需

故答案為，選D3.若、、是互不相同的空間直線(xiàn)，、是不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是A．

B．C．

D．參考答案：D略4.已知函數(shù)，在函數(shù)的定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使得的概率是

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.若，則（

）A. B. C.-1 D.3參考答案：A【分析】由，可求出的值，所求式子可以寫(xiě)成分母為1的形式，用進(jìn)行代換，分子、分母同時(shí)除以，然后把的值代入求值即可.【詳解】,,把代入，求得，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和的正切公式、正弦的二倍角公式,解決本題的關(guān)鍵是的代換，變成雙齊次方程，這樣便于求出值來(lái).6.已知都是定義在上的函數(shù)，，，，，在有窮數(shù)列中，任意取正整數(shù)，則前項(xiàng)和大于的概率是__________.

參考答案：C略7.函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.如圖，A，F(xiàn)分別是雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)、右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線(xiàn)l與C的一條漸近線(xiàn)垂直且與另一條漸近線(xiàn)和y軸分別交于P，Q兩點(diǎn)．若AP⊥AQ，則C的離心率是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：9.（2016秋?天津期中）設(shè)函數(shù)f（x）=，關(guān)于x的方程[f（x）]2+mf（x）﹣1=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．（﹣∞，e﹣） B．（e﹣，+∞） C．（0，e） D．（1，e）參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．【專(zhuān)題】函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】求出f（x）的單調(diào)性和極值，判斷方程f（x）=k的根的情況，令g（x）=x2+mx﹣1，根據(jù)f（x）=k的根的情況得出g（x）的零點(diǎn)分布情況，利用零點(diǎn)的存在性定理列出不等式求出m的范圍．【解答】解：f′（x）=，∴當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減．∴fmax（x）=f（e）=．作出f（x）的大致函數(shù)圖象如下：由圖象可知當(dāng)0＜k時(shí)，f（x）=k有兩解，當(dāng)k≤0或k=時(shí)，f（x）=k有一解，當(dāng)k時(shí)，f（x）=k無(wú)解．令g（x）=x2+mx﹣1，則g（f（x））有三個(gè)零點(diǎn)，∴g（x）在（0，）上有一個(gè)零點(diǎn)，在（﹣∞，0]∪{}上有一個(gè)零點(diǎn)．∵g（x）的圖象開(kāi)口向上，且g（0）=0，∴g（x）在（﹣∞，0）上必有一個(gè)零點(diǎn)，∴g（）＞0，即，解得m＞e﹣．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)的存在性定理，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．10.如圖，在△OMN中，A，B分別是OM，ON的中點(diǎn)，若=x+y（x，y∈R），且點(diǎn)P落在四邊形ABNM內(nèi)（含邊界），則的取值范圍是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量的基本定理及其意義．【分析】若P在線(xiàn)段AB上，設(shè)=λ，則有=，由于=x+y，則有x+y=1，由于在△OMN中，A，B分別是OM，ON的中點(diǎn)，P落在線(xiàn)段MN上，則x+y=2．即可得到取值范圍．【解答】解：若P在線(xiàn)段AB上，設(shè)=λ，則有==，∴=，由于=x+y（x，y∈R），則x=，y=，故有x+y=1，若P在線(xiàn)段MN上，設(shè)=λ，則有=，故x=1，y=0時(shí)，最小值為，當(dāng)x=0，y=1時(shí)，最大值為故范圍為[]由于在△OMN中，A，B分別是OM，ON的中點(diǎn)，則=x+y=x+y（x，y∈R），則x=，y=，故有x+y=2，當(dāng)x=2，y=0時(shí)有最小值，當(dāng)x=0，y=2時(shí)，有最大值故范圍為[]若P在陰影部分內(nèi)（含邊界），則∈．故選：C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.幾何體三視圖如圖所示，其中俯視圖為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，則此幾何體的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】幾何體為四棱錐，棱錐的高為俯視圖三角形的高，底面為直角梯形．【解答】解：由三視圖可知，幾何體為四棱錐，棱錐的高為俯視圖中等邊三角形的高，棱錐的底面為直角梯形，梯形面積為（1+2）×1=．∴V==．故答案為．12.已知，以為邊作平行四邊形OACB，則與的夾角為．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】想根據(jù)平行四邊形的各邊之間的關(guān)系以及向量的三角形法則求出，；再代入公式cosθ=即可求解．【解答】解：∵OACB為平行四邊形，∴===（0，3），=（﹣2，1），∴cos＜＞===．即與的夾角為arccos．故答案為：arccos．13.已知集合為，它的所有的三個(gè)元素的子集的和是，則＝

。

參考答案：答案：214.已知函數(shù)若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

．參考答案：15.在平面四邊形中，，，，，的面積為，則

．參考答案：16.設(shè)函數(shù)，則滿(mǎn)足的的取值范圍是

.參考答案：17.已知且三點(diǎn)共線(xiàn)，則的最小值為_(kāi)________參考答案：8三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題滿(mǎn)分10分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求、；（2）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）令，問(wèn)數(shù)列的前多少項(xiàng)的和最??？最小值是多少？參考答案：（1）由已知條件得：又有，解得（2）由得即，，。所以數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列。（3）由（2）知。。易知數(shù)列是公差為2，首項(xiàng)為的等差數(shù)列。所以數(shù)列的前n項(xiàng)的和當(dāng)時(shí)有最小值。即數(shù)列的前9項(xiàng)的和以及前10項(xiàng)的和最小值是-90。另解：注意到數(shù)列是公差為2的遞增等差數(shù)列，且，故數(shù)列的前9項(xiàng)的和以及前10項(xiàng)的和最小值是-90。19.（本小題滿(mǎn)分14分）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B=90°D為棱BB1的中點(diǎn)。（1）求證：面DA1C⊥面AA1C1C；（2）若，求二面角A—A1D—C的大小。參考答案：略20.（本題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù)()．（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）試通過(guò)研究函數(shù)（）的單調(diào)性證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅲ）證明：當(dāng),且，，，…，均為正實(shí)數(shù),時(shí)，．參考答案：解：（Ⅰ）由，有，

……1分當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減；所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．

……3分（Ⅱ）設(shè)（），則，

……5分

由（Ⅰ）知在單調(diào)遞減，且，∴在恒成立，故在單調(diào)遞減，又，∴，得，∴，即：．

………………8分（Ⅲ）由，及柯西不等式：

，

所以，所以.

………………11分又，由（Ⅱ）可知，即，即.則.故.

………………14分略21.提高過(guò)江大橋的車(chē)輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車(chē)流速度（單位：千米小時(shí)）是車(chē)流密度（單位：輛千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車(chē)流密度達(dá)到200輛千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車(chē)流速度為0；當(dāng)車(chē)流密度不超過(guò)20輛千米時(shí)，車(chē)流速度為60千米小時(shí)，研究表明：當(dāng)時(shí)，車(chē)流速度是車(chē)流密度的一次函數(shù).

(Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的表達(dá)式；

(Ⅱ）當(dāng)車(chē)流密度為多大時(shí)，車(chē)流量（單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)橋上某觀(guān)測(cè)點(diǎn)的車(chē)輛數(shù)，單位：輛小時(shí)）可以達(dá)到最大，并求出最大值.（精確到1輛小時(shí)）參考答案：（Ⅰ）由題意當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)，顯然在是減函數(shù)，由已知得，解得

故函數(shù)的表達(dá)式為=(Ⅱ）依題意并由（Ⅰ）可得當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，其最大值為；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．