2021屆新高考數(shù)學(xué)一輪課件專題一-函數(shù)與導(dǎo)數(shù)-第3課時(shí)

第3課時(shí)高考熱點(diǎn)之構(gòu)造函數(shù)法

函數(shù)思想在數(shù)學(xué)應(yīng)用中占有重要的地位，應(yīng)用范圍很廣.函數(shù)思想不僅體現(xiàn)在本身就是函數(shù)問題的高考試題中，而且對于諸如方程、三角函數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等問題也常常可以通過構(gòu)造函數(shù)來求解.

構(gòu)造函數(shù)方法在高中數(shù)學(xué)中已有了比較廣泛的應(yīng)用，它是數(shù)學(xué)方法的有機(jī)組成部分，是歷年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要依據(jù)題意，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解決問題.首先解題中若遇到有關(guān)不等式、方程及最值之類問題，設(shè)法建立起目標(biāo)函數(shù)，并確定變量的限制條件，用函數(shù)的觀點(diǎn)加以分析，?？墒箚栴}變得明了，從而易于找到一種科學(xué)的解題途徑.其次數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)中的一種基本關(guān)系.現(xiàn)實(shí)世界的復(fù)雜性決定了數(shù)量關(guān)系的多元性.因此，如何從多變元的數(shù)量關(guān)系中選定合適的主變元，從而揭示其中主要的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)便成了數(shù)學(xué)問題能否“明朗化”的關(guān)鍵所在.下面我們舉例說明構(gòu)造函數(shù)的方法在解題中的應(yīng)用.題型1構(gòu)造函數(shù)法求解客觀題

例1：(1)(2017年云南曲靖一中)f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf′(x)－f(x)≤0，對任意正數(shù)a，b，若)a<b，則必有( A.af(b)≤bf(a) C.af(a)≤bf(b)B.af(b)≥bf(a)D.af(a)≥bf(b)答案：A(2)(2018年吉林梅河口開學(xué)考)已知函數(shù)f(x)滿足：f(0)＝1，f′(x)<f(x)，則不等式f(x)<ex

的解集為()A.(0，＋∞)B.(－∞，0)C.(1，＋∞)D.(－∞，1)答案：A

(3)(2018年四川德陽期中)已知奇函數(shù)

f(x)是定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是f′(x)，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)<2f(x)恒成)立，則下列不等關(guān)系一定正確的是( A.e2f(1)>－f(2) B.e2f(－1)>－f(2) C.e2f(－1)<－f(2) D.f(－2)<－e2f(1)答案：CA.(－2,0)∪(0,2)B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2,0)∪(2，＋∞)D.(－∞，－2)∪(0,2)即當(dāng)x>0時(shí)，F(xiàn)(x)＝f(x)lnx單調(diào)遞減，F(xiàn)(1)＝0，當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)<F(1)＝0，∴f(x)<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，F(xiàn)(x)>F(1)＝0，∴f(x)<0；即當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0.又f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0.不等式(x2－4)f(x)>0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，∴x2－4<0，∴－2<x<2，∴0<x<2；當(dāng)x<0時(shí)，f(x)>0，∴x2－4>0，∴x<－2或x>2，∴x<－2.∴不等式(x2－4)f(x)>0成立的x的取值范圍是(－∞，－2)∪(0,2).答案：D【方法點(diǎn)睛】(1)若知xf′(x)＋f(x)的符號，則構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xf(x)；一般地，若知xf′(x)＋nf(x)的符號，則構(gòu)造函數(shù)g(x)＝xnf(x).題型2構(gòu)造函數(shù)法求解數(shù)列中的不等問題

題型3構(gòu)造函數(shù)法求解方程中的不等問題題型4構(gòu)造函數(shù)法判斷方程根的存在性問題例4：設(shè)

a∈R，函數(shù)f(x)＝alnx－x.(1)若f(x)無零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若f(x)有兩個(gè)相異零點(diǎn)x1，x2，求證：

ln

x1＋ln

x2－2lna<0.③若a>0，令f′(x)＝0，得x＝a，在區(qū)間(0，a)上，f′(x)>0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；在區(qū)間(a，＋∞)上，f′(x)<0，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；故在區(qū)間(0，＋∞)上，f(x)的最大值為f(a)＝alna－a，由于f(x)無零點(diǎn)，則f(a)＝alna－a<0，解得0<a<e.故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0，e).∴h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減.∴h(t)>