固體物理-金屬電子理論課件

第五章金屬自由電子論§51Sommerfeld的自由電子論、自由電子模型◆電子在一有限深度的方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng),電子間的相互作用可忽略不計(jì)電子按能量的分布遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì);電子的填充滿足Paui不相容原理;電子在運(yùn)動(dòng)中存在一定的散射機(jī)制運(yùn)動(dòng)方程及其解1.運(yùn)動(dòng)方程Ey2其中,U為電子在勢(shì)阱底部所具有的勢(shì)能,為簡(jiǎn)單起見,可選取U=02mE令k有k-v=0方程的解為:(r)=Aik.r其中,A為歸一化因子,可由歸一化條件確定。ykykdT得:AV為金屬的體積。電子的能量:E(h)hexp(認(rèn)為電子波矢2二、周期性邊界條件設(shè)金屬為一平行六面體,其棱邊分別沿三個(gè)基矢a1、a2和la3方向,N1、N2和N分別為沿a1、a2和a32方向金屬的原胞數(shù),那么,金屬中原胞的總數(shù)為N=niN2N3周期性邊界條件:(r)=v(r+Naa,a=1,2,3i個(gè)D認(rèn)(r+Nxa)exp(ik.Naa)kNhan為整數(shù)由于波矢量k是倒易空間中的矢量,可用倒格子基矢表示k=n,b,+n,b,+nb,kNao=(n,b,+,b2+nb).Na2丌nN=2mhh為整數(shù),a=1,2,3kb,+-2b由于h1、h2、h3為整數(shù),可見引入周期性邊界條件后波矢k的取值不連續(xù),每一個(gè)k的取值代表一個(gè)量子態(tài)這些量子態(tài)在k空間中排成一個(gè)態(tài)空間點(diǎn)陣,每一個(gè)量子態(tài)在k空間中所占的體積為b·b2、b3那么,在k空間中,波矢k的分布密度為(k)const8n3)8z這表明,在k空間中,電子態(tài)的分布是均勻的,只與金屬的體積有關(guān)。3.能態(tài)密度力2k2n?2E(k)k+k+k2這表明,在k空間中,自由電子的等能面為球面,在能量為E的球體中,波矢k的取值總數(shù)為4每一個(gè)k的取值確定一個(gè)電子能級(jí),若考慮電子自旋根據(jù)Pauli原理每一個(gè)能級(jí)可以填充自旋方向相反的兩個(gè)電子。如將每一個(gè)自旋態(tài)看作一個(gè)能態(tài),那么,能量為E的球體中,電子能態(tài)總數(shù)為Z(E)=2·p(k),zk方3V(2m).E32h定義:能態(tài)密度N(E)正=V(2m)2.p}=cCE2丌hV(2m其中由此可見,電子的能態(tài)密度并不是均勻分布的,電子能量越高,能態(tài)密度就越大。、Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)1.量子統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)◆經(jīng)典的Bomm統(tǒng)計(jì):f(E)=expE◆量子統(tǒng)計(jì):Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)和Bose-Einstein統(tǒng)計(jì)費(fèi)米子:自旋為半整數(shù)(n+1/2)的粒子(如:電子、質(zhì)子、中子等),費(fèi)米子遵從Fermi-Dirac統(tǒng)計(jì)規(guī)律;玻色子:自旋為整數(shù)n的粒子(如:光子、聲子等),玻色子遵從BoSe一Einstein統(tǒng)計(jì)規(guī)律。2.T=0時(shí)電子的分布當(dāng)T=0時(shí),系統(tǒng)的能量最低。但是,由于電子的填充必須遵從Pauli原理,因此,即使在T=0時(shí),電子也不可能全部填充在能量最低的能態(tài)上。如能量最低的能態(tài)已經(jīng)填有電子,其他電子就必須填到能量較高的能態(tài)上。所以,在k空間中,電子從能量最低的原點(diǎn)開始填起,能量由低到高逐層向外填充,其等能面為球面,直到所有電子都填完為止。由于等能面為球面,所以,在k空間中,電子填充的部分為球