6.4.1平面幾何中的向量方法+教案-2021-2022學年高中數(shù)學（人教A版2019）必修第二冊

6.4.1平面幾何中的向量方法一、教學目標1.會用向量方法解決簡單的幾何問題2.體會向量在解決幾何問題中的作用3.通過對用向量法解決平面幾何問題的學習，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學素養(yǎng)二、教學重點用向量方法解決幾何問題的基本方法：向量法解決幾何問題的“三步曲”教學難點能夠將幾何問題轉化為平面向量問題三、教學過程1、復習回顧問題1：（1）平面兩個向量的數(shù)量積：（2）向量平行的判定:（3）向量平行與垂直的判定:（4）平面內兩點間的距離公式：（其中，）（5）求模：；；問題2：平面幾何元素及其表示與向量及其運算的轉化幾何元素及其表示向量及其運算點A線段AB，AB兩點距離夾角∠AOB直線a//ba//b直線A、B、C三點共線直線a⊥ba⊥ba·b＝02、探索新知【例1】如圖，三角形ABC中，D為AB的中點，E為AC的中點，求證：DE∥BC，DE=12證明：如圖，因為DE是△ABC的中位線，所以QUOTE????=12????AD=12AB，QUOTE????=1從而QUOTE????=?????????=12?????12????=所以QUOTE????=12????DE=12BC于是DE∥BC，DE=12BC【例2】如圖,在平行四邊形ABCD中,你能發(fā)現(xiàn)對角線AC與DB的長度和鄰邊AB與AD長度之間的關系嗎?解：方法一：第一步，建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題：如圖，取QUOTE為基底，設QUOTE????=??，????=??AB=a，AD=b，則QUOTE????=??+??AC=a+第二步，通過向量運算，研究幾何元素之間的關系：QUOTE????2=(??+??)2=??2+2上面兩式相加，得QUOTE????2+????2=第三步，把運算結果“翻譯”成幾何關系：QUOTE????2+????2=2(方法二：如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系方法規(guī)律：1、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系2、用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路及步驟(1)利用線性運算證明的四個步驟：①選取基底②用基底表示相關向量③利用向量的線性運算或數(shù)量積找出相應關系④把幾何問題向量化.(2)利用坐標運算證明的四個步驟：①建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼耽诎严嚓P向量坐標化③用向量的坐標運算找出相應關系④把幾何問題向量化四、課堂練習P39練習1、所示，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，求證：AF⊥DE.解：（基底法）設AD＝a，AB＝b，則|a|＝|b|，a·b＝0又DE＝DA＋AE＝－a＋eq\f(b,2)，AF＝AB＋BF＝b＋eq\f(a,2)所以AF·DE＝(b＋eq\f(a,2))·(－a＋eq\f(b,2))＝－eq\f(1,2)a2－eq\f(3,4)a·b＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(1,2)|a|2＋eq\f(1,2)|b|2＝0故AF⊥DE，即AF⊥DE.（坐標法）如圖建立平面直角坐標系，設正方形的邊長為2則A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(xiàn)(2,1)，所以AF＝(2,1)，DE＝(1，－2)因為AF·DE＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0所以AF⊥DE，即AF⊥DE五、課堂小結1、向量方法解決平面幾何問題“三步曲”2、向量的線性運算法（基底法）的四個步驟：①選取基底②用基底表示相關向量③利用向量的線性運算或數(shù)量積找相應關系④把幾何問題向量化向量的坐