高數(shù)第一章函數(shù)

高數(shù)第一章函數(shù)課件第1頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微積分概況微積分教程一般按如下方式安排：歷史上，這些問(wèn)題是按相反的順序進(jìn)展的：

集合極限連續(xù)函數(shù)微分積分阿基米德開(kāi)普勒1615費(fèi)馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第2頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月積分思想溯源—窮竭法▓不規(guī)則幾何圖形面積體積的計(jì)算：窮竭法：用規(guī)則幾何圖形“窮竭”不規(guī)則幾何圖形。歐多克斯原理：從任一量中減去不小它的一半的部分，再?gòu)挠嗔恐袦p去不小于的一半的部分，如此繼續(xù)下去，則最后留一個(gè)小于任何給定的同類(lèi)量。▓歐多克斯(Eudoxus，400–350BC)提出。阿基米德(Archimedes,283-212BC)熟練運(yùn)用。正四邊形…正十六邊正八邊形第3頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月阿基米德（Archimedes,283-212BC）拋物線圍成的某些圖形的面積

積分思想溯源—阿基米德球面積、球體積、橢圓面積

第4頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月開(kāi)普勒(Kepler1571-1563)第一個(gè)試圖闡明阿基米德方法，并給予推廣。第二行星定律中橢圓面積的計(jì)算。1615年出版《酒桶的新立體幾何》，書(shū)中包含用無(wú)窮小量求面積和體積的許多問(wèn)題。卡瓦列里(Cavalieri1598～1647)開(kāi)普勒工作的直接繼承者。不可分量原理。（y=xn下的面積）不可分量專(zhuān)著：《不可分量幾何學(xué)》（1635）。積分思想溯源第5頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月帕斯卡(Pascal1623—1662)更接近積分的現(xiàn)代解法。計(jì)算了種種面積、體積、弧長(zhǎng)，并解決了求重心位置等問(wèn)題。積分思想溯源中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)劉輝(約250-?),祖沖之(429-500)的割圓術(shù)給出了計(jì)算圓面積和圓周率的方法。祖恒沿著劉徽祖沖之的思路完成了球體積公式的推導(dǎo)（祖恒原理）。沃利斯(Wallis,1616-1703)在其著作《無(wú)窮數(shù)量的算術(shù)》中，獲得了一系列重要的結(jié)果。第6頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月積分思想的根本問(wèn)題：無(wú)限分割求和問(wèn)題。積分的根本思想第7頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微分學(xué)的起源

?曲線的切線；

?函數(shù)的最大(小)值;

?

運(yùn)動(dòng)量的變化率。羅貝瓦爾（Roberval，1602-1675）從一般意義上研究曲線的切線問(wèn)題。笛卡爾(1596-1650)用“圓法”來(lái)求曲線的切線，本質(zhì)上是一種代數(shù)方法。費(fèi)馬求極小、極大值的方法巴羅的微分三角形，把切線看作割線的極限位置，并利用忽略高階無(wú)窮小來(lái)取極限。第8頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微分思想的根本問(wèn)題微分思想的根本問(wèn)題：量的變化率問(wèn)題。PQS第9頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月以無(wú)窮小方法研究變化率問(wèn)題產(chǎn)生了微分學(xué)；以無(wú)窮小方法研究分割求和問(wèn)題產(chǎn)生了積分學(xué)；牛頓—萊布尼茨公式揭示了兩者的內(nèi)在聯(lián)系（微積分基本定理），建立了統(tǒng)一的微積分學(xué)。微積分的誕生17世紀(jì)上半葉一系列前驅(qū)性工作沿不同方向朝著微積分的大門(mén)踏近，但它們還不足以標(biāo)示微積分作為一門(mén)獨(dú)立科學(xué)的誕生，這是因?yàn)樗鼈冊(cè)诜椒ㄉ线€缺乏一般性。第10頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月牛頓從1665年到1695年，對(duì)微積分成果為：

★1665，“正流數(shù)術(shù)”—

微分學(xué)；

（當(dāng)時(shí)未公開(kāi)發(fā)表，在科學(xué)家之間小范圍傳播）★1666，“反流數(shù)術(shù)”—積分學(xué)；

（當(dāng)時(shí)未公開(kāi)發(fā)表，在科學(xué)家之間小范圍傳播）★1666，“流數(shù)簡(jiǎn)論”—標(biāo)志微積分的誕生；★1669，“分析學(xué)”—由此后人稱(chēng)以微積分為主00000要內(nèi)容的學(xué)科為數(shù)學(xué)分析★1671，“流數(shù)法”★1687，“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”—簡(jiǎn)稱(chēng)“原理”★1691，“求積術(shù)”

牛頓在微積分方面的主要成果：第11頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月萊布尼茨在微積分方面的主要成果：★1675年給出積分號(hào)“”，同年引入微分號(hào)“d”★1676年給出公式，★1677年，表述微積分基本定理：★1684，“求極大與極小值和求切線的新方法”

(微積分學(xué)的第一篇公開(kāi)發(fā)表論文)★1686，“深?yuàn)W的幾何與不可分量的無(wú)限的分析”（積分學(xué)論文）第12頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月牛頓VS萊布尼茨

牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立的發(fā)明了微積分。

?萊布尼茨的大部分結(jié)果先于牛頓發(fā)表；

?牛頓的大部分結(jié)果先于萊布尼茨發(fā)現(xiàn)。萊布尼茲的記號(hào)比牛頓的更容易理解，一直沿用至今.這個(gè)時(shí)期的微積分：

■極限的概念還沒(méi)有引進(jìn)微積分，主要應(yīng)用“不可分量”和“無(wú)窮小量”的概念。

■邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，一些結(jié)論不能?chē)?yán)格證明。第13頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微積分的極限理論基礎(chǔ)牛頓-萊布尼茨的微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，特別是在無(wú)窮小概念上的混亂，引起一部分人的批評(píng)。

英國(guó)哲學(xué)家、牧師G.Berkeley（1685-1753）：《分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家》矛頭直指牛頓的流數(shù)法?！?/p>

Berkeley悖論微積分牢固基礎(chǔ)的建立Cauchy:將微積分的基礎(chǔ)建立在極限基礎(chǔ)上。Weirstrass:建立了分析基礎(chǔ)的邏輯順序：實(shí)數(shù)系--極限論--微積分。

第14頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微積分的集合論基礎(chǔ)

由于實(shí)數(shù)的嚴(yán)格理論尚未建立，所以柯西的極限理論還不完善?？挛?，威爾斯特拉斯之后，康托，戴德金將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并建立起完整的實(shí)數(shù)體系。19世紀(jì)下半葉，康拓爾建立著名的集合論，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。1900年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐卡萊興高采烈的宣稱(chēng)：“借助于集合的概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈……今天我們可以說(shuō)絕對(duì)嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到……”第15頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微積分邏輯基礎(chǔ)的最后完成羅素悖論：集合論是有漏洞的.

----羅素《數(shù)學(xué)的原理》1903S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢？一個(gè)克里特人說(shuō)：“所有克里特人說(shuō)的每一句話(huà)都是謊話(huà)。”

第16頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微積分邏輯基礎(chǔ)的最后完成?1908年，策梅羅(Zermelo1871－1953)提出第一個(gè)公理化集合論體系，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel1891_1965)改進(jìn)，稱(chēng)為ZF系統(tǒng)。?這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷。至此，分析學(xué)（數(shù)學(xué)）大廈的整個(gè)基礎(chǔ)完全建立

第17頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月微積分概況微積分教程一般按如下方式安排：歷史上，這些問(wèn)題是按相反的順序進(jìn)展的：

集合極限連續(xù)函數(shù)微分積分阿基米德開(kāi)普勒1615費(fèi)馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第18頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.1集合1.集合的概念.2.集合的元素.3.有限集、無(wú)限集.4.集合的表示法.?數(shù)集分類(lèi):N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間的關(guān)系:NZ,ZQ,QR第19頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月規(guī)定①

空集為任何集合的子集,A.

②集合A是其自己的子集，AA.5.全集與空集.第20頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6.集合的運(yùn)算設(shè)A.B是兩個(gè)集合①并集：由A和B的所有元素組成的集合，稱(chēng)為A和B的并，記為A∪B.A∪B={x|xA或xB}.②交集：由A和B的公共元素組成的集合，稱(chēng)為A和B的交，記為A∩B.A∩B={x|xA且xB}.第21頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月④補(bǔ)集：全集U中所有不屬于A的元素構(gòu)成的集合，稱(chēng)為A的補(bǔ)集，記為ā.③差集：屬于A但不屬于B的元素組成的集合，稱(chēng)為A和B的差，記為A－B.A－B={x|xA且x

B}.

例,若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，則A－B={1,2}.

例,若在本教室中的學(xué)生為全集，且A為帶了《微積分》的學(xué)生，則ā為未帶《微積分》的學(xué)生。ABAUā第22頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合，則下列法則成立：7.集合的運(yùn)算律⑴交換律

A∪B=B∪A,A∩B=B∩A⑵結(jié)合律(A∪B)∪C

=

A∪(B∪C)

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)⑶分配律(A∪B)∩

C

=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪

C)⑷摩根律第23頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月♀將兩個(gè)元素x和y按先后順序排列成一個(gè)元素組(x,y),稱(chēng)為二元有序組。

(x,y)和(y,x)是兩個(gè)不同的二元有序數(shù)組.

(x1,y1)=(x2,y2)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2,y1=y2.9.集合的笛卡爾乘積♀由三個(gè)元素x,y,z按先后順序排列成一個(gè)元素組(x,y,z),稱(chēng)為三元有序組?！庥蒼個(gè)元素x1,x2,···,xn按先后順序排列成一個(gè)元素組(x1,x2,···,xn)稱(chēng)為n元有序組。第24頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義：設(shè)A,B為給定的兩集合，集合A,B的笛卡爾積

A×B定義為

A×B={(x,y)|xA,yB}例1：設(shè)A={1,2,3,4},B={2,3},則

A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}例2：設(shè)A={a,b},則

A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}第25頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3：設(shè)R為實(shí)數(shù)集,則笛卡爾直角坐標(biāo)平面可記為R×R,即

R×R={(x,y)|xR,yR}.例4：設(shè)A={x|0x2},B={y|0y1},則

A×B={(x,y)|0x2,0y1}

表示坐標(biāo)平面中如圖所示區(qū)域。

yxoA×B第26頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.2

實(shí)數(shù)集（一）實(shí)數(shù)與數(shù)軸（二）絕對(duì)值（三）區(qū)間（四）鄰域第27頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)a與是兩實(shí)數(shù)，且>0.▓集合U(a,)={x|a-<x<a+}稱(chēng)為點(diǎn)a的鄰域。點(diǎn)a稱(chēng)為這個(gè)鄰域的中心，稱(chēng)為鄰域的半徑。▓集合{x|0<|x-a|<}稱(chēng)為點(diǎn)a的以為半徑的空心鄰域。○第28頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.3關(guān)系①父子關(guān)系:(x,y),x,y是地球人，且x是y的父親②夫妻關(guān)系:(x,y),x,y是地球人，且x是y的丈夫③實(shí)數(shù)間的大于關(guān)系:(x,y),x,y是實(shí)數(shù)，且x大于y④集合的包含關(guān)系:(x,y),x,y是全空間中兩集合，且xy⑤元素與集合的從屬關(guān)系:(x,y),x是一元素，y是一集合，且xy關(guān)系：關(guān)系是二元有序組的集合例，定義本班同學(xué)間的同姓關(guān)系：

R={(x,y)|x,y為本班同學(xué)，且x,y姓相同}第29頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.3關(guān)系?令R是一關(guān)系（即二元有序組的集合），且(x,y)R.?以上表面x,y存在關(guān)系R,在這種情況下通常寫(xiě)作xRy.此時(shí)字母R代表一種關(guān)系，也可以用其余的字母來(lái)代替，特別的可以用一些特殊的符號(hào)來(lái)代替，如<,=,等。例1:R是所有二元有序整數(shù)組(x,y),其中xZ,yZ,且x小于y.于是xRy表示整數(shù)x小于整數(shù)y的關(guān)系，此時(shí)一般用符號(hào)<代替字母R.例2:R是所有二元有序組(x,y),其中x,y為地球人,且x是y的妻子.于是xRy表示x是y的妻子，此時(shí)可用其余符號(hào)代替字母R，比如x?y第30頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.3函數(shù)的概念定義域:D或D(f).值域：W={y|y=f(x),xD}或R(f).函數(shù)的圖形：{(x,y)|y=f(x),xD(f)}定義：設(shè)DR為非空數(shù)集.如果xD,按照確定的規(guī)則f,

唯一實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，記住

y=f(x),則稱(chēng)f為定義在D上的一個(gè)函數(shù)?；蛴洖?/p>

f:DR.自變量因變量第31頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)的兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量對(duì)應(yīng)法則f因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實(shí)數(shù)值.自然定義域§1.3函數(shù)的兩要素第32頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.3“多值函數(shù)”根據(jù)函數(shù)的定義，它不是函數(shù)。但為了方便起見(jiàn)，課本上稱(chēng)它為多值函數(shù)。在本教程中，我們只討論單值函數(shù)?！鸬?3頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.4分段函數(shù)由兩個(gè)或多個(gè)解析式表示的一個(gè)函數(shù)，交分段函數(shù)。oxy第34頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.4分段函數(shù)1-1xyo|x|=x·sgn(x)第35頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.4分段函數(shù)y12345-2-4-4-3-2-1-1-3xo[-3.6]=-4[-0.2]=-1[0.3]=0[2.4]=2第36頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.4分段函數(shù)第37頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.4分段函數(shù)第38頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.4分段函數(shù)第39頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6函數(shù)的奇偶性yxox-x第40頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6函數(shù)的奇偶性yxox-x第41頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6函數(shù)的周期性■通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期.■周期函數(shù)的定義域?yàn)镽.例：y=sinx,y=cosx都以2為周期；

y=tanx,y=cotx都以為周期.第42頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6函數(shù)的周期性第43頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6函數(shù)的單調(diào)性xyoxyo第44頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6有界函數(shù)M-Myxoy=f(x)X例第45頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6無(wú)界函數(shù)例

例

第46頁(yè)，課件共60頁(yè)，創(chuàng)作