山東省濰坊市蒲溝中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

山東省濰坊市蒲溝中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)，則

的最小值等于

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B

提示：

取則

2.下列命題的敘述：①若p：?x＞0，x2﹣x+1＞0，則￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0；②三角形三邊的比是3：5：7，則最大內(nèi)角為π；③若?=?，則=；④ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件，其中真命題的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)命題的否定的定義可知①錯(cuò)誤；首先根據(jù)三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)，確定長(zhǎng)度為7的邊所對(duì)的角最大，再使用余弦定理求出該角即可判斷②正確；將原式移項(xiàng)變形得到，根據(jù)向量數(shù)量積的定義可知此時(shí)有三種可能，故③錯(cuò)誤；若ac2＜bc2，則a＜b，但反之不成立，故④正確．【解答】解：對(duì)于①：根據(jù)命題的否定的定義可知，￢p：?x0≤0，x02﹣x0+1≤0，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：根據(jù)三角形大邊對(duì)大角的性質(zhì)，7所對(duì)的角最大，再由余弦定理，得cosα=，故，即最大內(nèi)角為π，故②正確；對(duì)于③：若，則，此時(shí)，，或，有三種可能，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：若ac2＜bc2，則a＜b，故ac2＜bc2是a＜b的充分條件；當(dāng)a=﹣2，b=3，c=0時(shí)，a＜b，但ac2＜bc2不成立．所以ac2＜bc2是a＜b的充分不必要條件，故④正確；綜上可知，真命題的個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題的否定，余弦定理，向量的數(shù)量積以及不等式的基本性質(zhì)，屬于知識(shí)的簡(jiǎn)單綜合應(yīng)用．3.已知函數(shù)()，如果（），那么的值是（

）A．5

B．3

C．

D．參考答案：C4.在正四面體ABCD中，點(diǎn)E、F分別為BC、AD的中點(diǎn)，則AE與CF所成角的余弦值為A.

B.

C.

D.參考答案：B略5.已知a＞0，b＞0，a+b=2，則的最小值是（）A． B．4 C． D．5參考答案：C【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】利用題設(shè)中的等式，把y的表達(dá)式轉(zhuǎn)化成（）（）展開后，利用基本不等式求得y的最小值．【解答】解：∵a+b=2，∴=1∴=（）（）=++≥+2=（當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)等號(hào)成立）故選C6.在圓x2+y2﹣2x﹣6y=0內(nèi)，過點(diǎn)E（0，1）的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（） A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；兩點(diǎn)間的距離公式． 【專題】數(shù)形結(jié)合；直線與圓． 【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程后，找出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，根據(jù)圖形可知，過點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦BD，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出ME的長(zhǎng)度，根據(jù)垂徑定理得到E為BD的中點(diǎn)，在直角三角形BME中，根據(jù)勾股定理求出BE，則BD=2BE，然后利用AC與BD的乘積的一半即可求出四邊形ABCD的面積． 【解答】解：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=10， 則圓心坐標(biāo)為（1，3），半徑為， 根據(jù)題意畫出圖象，如圖所示： 由圖象可知：過點(diǎn)E最長(zhǎng)的弦為直徑AC，最短的弦為過E與直徑AC垂直的弦，則AC=2，MB=，ME==， 所以BD=2BE=2=2，又AC⊥BD， 所以四邊形ABCD的面積S=ACBD=×2×2=10． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查學(xué)生掌握垂徑定理及勾股定理的應(yīng)用，靈活運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)求值，是一道中檔題．學(xué)生做題時(shí)注意對(duì)角線垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．7.一空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B8.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：D9.設(shè)隨機(jī)變量，且，，則（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A因?yàn)殡S機(jī)變量,,解得，選A.

10.已知是球表面上的點(diǎn)，，，，，則球的表面積等于（A）4

（B）3

（C）2

（D）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，則sin（α﹣β）=．參考答案：﹣【考點(diǎn)】GQ：兩角和與差的正弦函數(shù)；GG：同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】把已知的兩等式左右兩邊平方，利用完全平方公式展開后，分別記作①和②，然后將①+②，左邊利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，右邊計(jì)算，整理后即可求出sin（α﹣β）的值．【解答】解：∵sinα+cosβ=，sinβ﹣cosα=，∴（sinα+cosβ）2=，（sinβ﹣cosα）2=，即sin2α+2sinαcosβ+cos2β=①，sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=②，①+②得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β+sin2β﹣2sinβcosα+cos2α=（sin2α+cos2α）+（cos2β+sin2β）+2（sinαcosβ﹣sinβcosα）=1+1+2sin（α﹣β）=2+2sin（α﹣β）=，則sin（α﹣β）=﹣．故答案為：﹣12.已知命題：“在平面內(nèi)，周長(zhǎng)一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，類比上述結(jié)論，可得到空間中的相關(guān)結(jié)論為___________。參考答案：在空間中，表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，球的體積最大【分析】由已知中的平面內(nèi)的性質(zhì)：“在平面內(nèi)，周長(zhǎng)一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，根據(jù)平面上的線的性質(zhì)類比空間的面的性質(zhì)，可得空間中“表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，體積最大是球體”，即可得到答案．【詳解】根據(jù)平面中有：“在平面內(nèi)，周長(zhǎng)一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，利用類比推理，可得空間中“表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，球的體積最大”【點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，其中類比推理是依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)應(yīng)的性質(zhì)類比到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上卻，其一般步驟：（1）找出兩類事物的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得很一個(gè)明確的結(jié)論，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．13.將9個(gè)志愿者名額分配給3個(gè)學(xué)校，則每校至少有一個(gè)名額且各校名額互不相同的分配方法共有

種.參考答案：18略14.在圓x2＋y2－2x－6y＝0內(nèi),過點(diǎn)E(0,1)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為AC和BD,則四邊形ABCD的面積為

.參考答案：1015.已知空間三點(diǎn)A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)，則

與的夾角為

▲

參考答案：16.已知是復(fù)數(shù)，且，則的最大值為

參考答案：617.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是

．（用數(shù)字作答）

參考答案：21三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）已知在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù),在區(qū)間上是增函數(shù),又(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)若在區(qū)間恒成立,求的取值范圍.參考答案：（Ⅰ），由已知，即解得，，，．（2）19.已知函數(shù)，（Ⅰ）分別求，，的值；（Ⅱ）由上題歸納出一個(gè)一般性結(jié)論，并給出證明．參考答案：詳見解析.試題分析：通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)每?jī)蓚€(gè)數(shù)的和都是，故猜想，通過計(jì)算證明上式是成立的.試題解析：；同理由此猜想證明：故猜想成立.20.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD為等邊三角形，PA=BD=，AB=AD，E為PC的中點(diǎn)．（1）求AB；（2）求平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；MK：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【分析】（1）由題意可得BC⊥平面PAB，進(jìn)一步得到BC⊥AB，再由△BCD為等邊三角形，且AB=AD，可得△ABC≌△ADC，由已知求解直角三角形可得AB；（2）由（1）知，AC⊥BD，設(shè)AC∩BD=O，分別以O(shè)C、OD所在直線為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面BDE與平面ABP的一個(gè)法向量，再求兩個(gè)法向量夾角的余弦值，可得平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）連接AC，∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，又∵BC⊥PB，PB∩PA=P，∴BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．∵△BCD為等邊三角形，AB=AD，∴△ABC≌△ADC，∴∠ACB=30°，∠CAB=60°，又BD=，∴AB=；（2）由（1）知，AC⊥BD，設(shè)AC∩BD=O，分別以O(shè)C、OD所在直線為x、y軸建立空間直角坐標(biāo)系．則D（0，，0），B（0，﹣，0），E（，0，），A（，0，0），P（﹣，0，）．，，，．設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為，則，得，取，則；設(shè)平面ABP的一個(gè)法向量為，則，得，取，則．∴|cos＜＞|=||=||=．平面BDE與平面ABP所成二面角的正弦值為．21.在空間直角坐標(biāo)系中，已知A（3，0，1）和B（1，0，﹣3），試問（1）在y軸上是否存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|？（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形？若存在，試求出點(diǎn)M坐標(biāo)．參考答案：【分析】（1）若能求出y軸上點(diǎn)M滿足|MA|=|MB|，則問題得到解決，故可先假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，建立關(guān)于參數(shù)y的方程，求y，若y值存在，則說明假設(shè)成立，在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|，否則說明不存在．（2）由（1）知，△MAB為等腰三角形，若能證明|MA|=|AB|則可以說明存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形，故可令|MA|=|AB|建立方程求y，若y值存在，則說明存在，否則說明不存在．【解答】解：（1）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|．因M在y軸上，可設(shè)M（0，y，0），由|MA|=|MB|，可得，顯然，此式對(duì)任意y∈R恒成立．這就是說y軸上所有點(diǎn)都滿足關(guān)系|MA|=|MB|．所以存在無數(shù)點(diǎn)M，滿足|MA|=|MB|．（2）假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)M，使△MAB為等邊三角形．由（1）可知，y軸上任一點(diǎn)都有|MA|=|MB|，所以只要|MA|=|AB|就可以使得△MAB是等邊三角形．因?yàn)閨MA|=于是，解得故y軸上存在點(diǎn)M使△MAB等邊，M坐標(biāo)為（0，，0），或（0，，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算，考查用兩點(diǎn)距離公式判斷點(diǎn)M的存在性問題．其規(guī)律是假設(shè)存在，建立相關(guān)等式，求解，若能解出則說明假設(shè)成立，否則說明假設(shè)的對(duì)立面成立．在存在性問題的判斷中，常用這一思路來解決問題．學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)好好體會(huì)其中的邏輯關(guān)系以及此方法適應(yīng)的范圍．22.(本小題滿分12分)對(duì)于函數(shù)若存在,使得成立,則稱為的不