線性代數(shù)與幾何2014第八章空間曲面曲線

第一節(jié) 曲面及其方程曲面的實(shí)例：水桶的表面、臺(tái)燈的罩子面等．曲面在空間解析幾何中被看成是點(diǎn)的幾何軌跡．曲面方程的定義：如果曲面S

與三元方程F

(x,y,z)=0有下述關(guān)系：曲面S

上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程；不在曲面S

上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程；那么，方程F

(x,y,z)=0就叫做曲面S

的方程，而曲面S

就叫做方程的圖形．一、曲面方程的概念以下給出幾例常見(jiàn)的曲面.例

1

建立球心在點(diǎn)M

0

(

x0

,

y0

,

z0

)、半徑為R的球面方程.解設(shè)M

(x,y,z)是球面上任一點(diǎn)，|

MM0

|=

R根據(jù)題意有2

2

2(x

-

x0

)

+

(y

-

y0

)

+

(z

-

z0

)

=

R2

2

2

2所求方程為(x

-x0

)+(y

-y0

)+(z

-z0

)=R特殊地：球心在原點(diǎn)時(shí)方程為

x2

+

y2

+

z2

=

R2例2

求與原點(diǎn)O及M0

(2,3,4)的距離之比為1:2的點(diǎn)的全體所組成的曲面方程.解設(shè)M

(x,y,z)是曲面上任一點(diǎn)，|MO

|

=

1

,|

MM

0

|

2根據(jù)題意有(x

-

2)2

+

(y

-

3)2

+

(z

-

4)21=

2

,x

2

+

y

2

+

z

2116324

2

2

2x

+ +

(y

+

1)

+

z

+

3

=

9

.所求方程為例3已知A(1,2,3)，B(2,-1,4)，求線段AB

的垂直平分面的方程.設(shè)M

(x,y,z

)是所求平面上任一點(diǎn)，根據(jù)題意有|

MA

|=|

MB

|,(x

-

1)2

+

(y

-

2)2

+

(z

-

3)2=

(x

-

2)2

+

(y

+

1)2

+

(z

-

4)2

,化簡(jiǎn)得所求方程2

x

-

6

y

+

2z

-

7

=

0.解以上幾例表明研究空間曲面有兩個(gè)基本問(wèn)題：（2）已知坐標(biāo)間的關(guān)系式，研究曲面形狀．（1）已知曲面作為點(diǎn)的軌跡時(shí)，求曲面方程．二、旋轉(zhuǎn)曲面定義 以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸．xozyM1

(0,

y1

,

z1

)f

(

y,

z)

=

0M設(shè)M

(x,y,z),(1)

z

=

z1（2）點(diǎn)M

到z

軸的距離1d

=

x2

+

y2

=|

y

|旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的特征：如圖代入將

z

=

z

,

y

=

–

x2

+

y21

1f

(

y1

,

z1

)

=

0d代入f

(y1

,z1

)=01y

=

–

x2

+

y21將

z

=

z

,得方程

f

–

x2

+

y2

,

z

=

0,yoz坐標(biāo)面上的已知曲線f

(y,z)=0繞z

軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程.同理：yoz

坐標(biāo)面上的已知曲線f

(y,z)=0繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)曲面方程為f

y,

–

x2

+

z2

=

0.例

5

直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面．兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面

2

的頂點(diǎn)，兩直線的夾角a

0

<a<p叫圓錐面的半頂角．試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z

軸，半頂角為a

的圓錐面方程．解

yoz

面上直線方程為z

=

y

cota圓錐面方程M

(

x,

y,

z)ooz

=

–

x

2

+

y

2

cotaxxzzM1

(0,

y1

,

z1

)yy例6

將下列各曲線繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周，求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程．x

2

z

2（1）雙曲線

-

c

=

1分別繞x軸和z

軸；a

2

2繞x

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)=

1c2y2

+

z2a2

-x2-

c2

=

1z2a2x2

+

y2旋轉(zhuǎn)雙曲面（2）橢圓

x

=

0

y

2+ =

122z

2a

c繞y軸和z

軸；繞y

軸旋轉(zhuǎn)繞z

軸旋轉(zhuǎn)=

1c2x2

+

z2a2

+y2+

c2

=

1z2a2x2

+

y2旋轉(zhuǎn)橢球面（3）拋物線

y

2

=

2

pzx

=

0繞z

軸；x2

+

y2

=

2

pz旋轉(zhuǎn)拋物面定義三、柱面平行于定直線并沿定曲線C

移動(dòng)的直線L所形成的曲面稱為柱面.這條定曲線 叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線 叫柱面的母線.柱面舉例xozy2

=

2

xyxozy拋物柱面y

=

x平面從柱面方程看柱面的特征：只含x,y

而缺z

的方程F

(x,y)=0，在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z

軸的柱面，