彈性力學(xué) 平面問(wèn)題基本理論

彈性力學(xué)平面問(wèn)題基本理論第1頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月PA=dx，PB=dyxyouvab討論P(yáng)A，PB的線應(yīng)變和切應(yīng)變第2頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)用的基本假定：連續(xù)性；小變形。第3頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

x：PA的線應(yīng)變

y：PB的線應(yīng)變第4頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

xy或yx：PA與PB夾角的改變量：+第5頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面問(wèn)題中的幾何方程：

(5)形變與位移的關(guān)系：位移確定時(shí)，應(yīng)變完全確定；應(yīng)變確定時(shí)，位移卻不能完全確定。

⑴適用于區(qū)域內(nèi)任何點(diǎn);⑵應(yīng)用小變形假定，略去了高階小量,故為線性的幾何方程；⑶適用條件：a.連續(xù)性；b.小變形。⑷幾何方程是變形后物體連續(xù)性條件的反映和必然結(jié)果。第6頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)應(yīng)變分量已知：

x=y＝xy=0

u=f1（y）

v=f2（x）

u=f1（y）=u0-y

v=f2（x）=v0+x

變形為0時(shí)的位移剛體位移第7頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第8頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Pxyxyrjo

rawywx合位移的方向垂直于OP，即沿切線方向，所以

表示彈性體繞z軸的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。第9頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第10頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2-5物理方程（應(yīng)力、應(yīng)變之間的關(guān)系）物理方程的兩種形式：第11頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月物理方程的說(shuō)明：⑴適用條件─理想彈性體；⑵是總結(jié)實(shí)驗(yàn)規(guī)律得出的；⑶是線性的代數(shù)方程；⑷線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)；切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)。第12頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程

第13頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程的另一種形式：

第14頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程

第15頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)變問(wèn)題：第16頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月平面應(yīng)變問(wèn)題：平面應(yīng)力問(wèn)題：平面應(yīng)力物理方程平面應(yīng)變物理方程

平面應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題兩者的物理方程雖然不同，但平衡微分方程和幾何方程是相同的。第17頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月求解平面問(wèn)題的基本方程：平衡微分方程（2個(gè)）幾何方程（3個(gè)）物理方程（3個(gè)）

再考慮邊界條件，即可求出所有未知量。第18頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2-6邊界條件求解彈性力學(xué)問(wèn)題＝平衡微分方程+幾何協(xié)調(diào)方程+物理方程+邊界條件邊界條件

─表示在邊界上位移與約束、或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系。一、位移邊界條件彈性體在邊界上的位移是已知的：（在上)位移邊界條件的說(shuō)明：⑴它是函數(shù)方程，要求在上每一點(diǎn)，位移與對(duì)應(yīng)的約束位移相等。第19頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如：四邊固定的板或兩端簡(jiǎn)支的板ybaxabyx⑶它是在邊界上物體保持連續(xù)性的條件，或位移保持連續(xù)性的條件。

第20頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、應(yīng)力邊界條件ABP

y

yx

xy

xspypx第21頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力邊界條件的說(shuō)明：⑴它是邊界上微分體的靜力平衡條件；⑶式（a）在彈性體中每一點(diǎn)均成立，而式（b）只能在邊界s上成立；⑵它是函數(shù)方程，要求在邊界上每一點(diǎn)s上均滿(mǎn)足，這是精確的條件；第22頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第23頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正面上，兩者的正負(fù)號(hào)相同；負(fù)面上，兩者的正負(fù)號(hào)相反。xyq第24頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月應(yīng)力邊界條件的兩種表達(dá)式：（1）在邊界點(diǎn)取出微分體，考慮其平衡條件。（2）在同一邊界上，應(yīng)力分量=面力分量（數(shù)值相等、方向一致）。對(duì)特殊邊界面：（1）先寫(xiě)面力，然后判斷正負(fù)面，正面應(yīng)力與面力相同，負(fù)面應(yīng)力與面力相反。（2）畫(huà)出該面上的應(yīng)力（正向），然后與荷載比較，方向相反時(shí)加負(fù)號(hào)。第25頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、混合邊界條件

1

部分邊界具有已知的位移，另部分邊界具有已知的面力；2同一部分邊界既有位移邊界條件，又有應(yīng)力邊界條件。第26頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第27頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第28頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第29頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月寫(xiě)出圖示結(jié)構(gòu)AB、BC、DE的應(yīng)力邊界條件:（水的重度為）ExyABCDn

第30頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§2-7圣維南原理及應(yīng)用彈力問(wèn)題是微分方程的邊值問(wèn)題。應(yīng)力分量、形變分量、位移分量滿(mǎn)足基本方程及其邊界條件。主要的在于難于滿(mǎn)足邊界條件。

另外，在工程計(jì)算中經(jīng)常碰到這樣的情況：在物體的部分邊界上，只知道物體所受面力的合力，面力的分布方式并不明確。在上述情況下，可利用圣維南原理(Saint-Venant’sPrinciple)來(lái)寫(xiě)出近似的邊界條件：

圣維南原理：如果把物體一小部分邊界上的面力變換成分布不同但靜力等效的面力，則近處的應(yīng)力分布將有顯著的變化，但遠(yuǎn)處所受的影響可以忽略。第31頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圣維南原理的說(shuō)明圣維南原理只能應(yīng)用于一小部分邊界（小邊界，次要邊界或局部邊界）；2.靜力等效─指兩者主矢量相同，對(duì)同一點(diǎn)主矩也

相同；3.近處─指面力變換范圍的一、二倍的局部區(qū)域；4.遠(yuǎn)處─指“近處”之外。第32頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：PPPP/2P/2P/2P/AP/APabcde第33頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月h>>bb注意：（1）用圣維南原理必須滿(mǎn)足靜力等效條件，若不滿(mǎn)足，則計(jì)算結(jié)果不能用于不同的情況。（2）在靜力等效的前提下，若位移條件不滿(mǎn)足，也可以用圣維南原理。第34頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圣維南原理的推廣：如果物體一小部分邊界上的面力是一個(gè)平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，這個(gè)面力就只會(huì)使近處的產(chǎn)生顯著的應(yīng)力，而遠(yuǎn)處的應(yīng)力可不計(jì)。第35頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月局部邊界上圣維南原理的應(yīng)用：P22,23

（1）列出精確的應(yīng)力邊界條件（2）圣維南原理的應(yīng)用-積分的應(yīng)力邊界條件第36頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月P23，公式（b）中（2）應(yīng)力主矢量、主矩的正方向的正負(fù)號(hào)的確定：

應(yīng)力的主矢量的正方向，即應(yīng)力的正方向，

應(yīng)力的主矩的正方向，即（正應(yīng)力）×（正的矩臂）的方向。第37頁(yè)，課件共38頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月比較：

精確的應(yīng)力邊界條件積分的應(yīng)力邊界條件方程個(gè)數(shù)

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