【?？級狠S題】2023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略（人教版）二次根式化簡的四種題型全攻略（解析版）

二次根式化簡的四種題型全攻略類型一、利用被開方數(shù)的非負(fù)性化簡二次根式例．等式成立的條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，可得，解不等式組，得，所以，等式成立的條件是．故選：A．【變式訓(xùn)練1】已知，為實數(shù)，且，則________．【答案】【詳解】依題意可得m-2≥0且2-m≥0，∴m=2，∴n-3=0∴n=3，∴=故答案為：．【變式訓(xùn)練2】已知a，b，c是的三邊長，且滿足關(guān)系的形狀是_______．【答案】等腰直角三角形【詳解】解：，，，，且，為等腰直角三角形，故答案為：等腰直角三角形．【變式訓(xùn)練3】若，則x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，可得，解得：，故選：B．【變式訓(xùn)練4】已知a、b、c為一個等腰三角形的三條邊長，并且a、b滿足，求此等腰三角形周長．【答案】17【詳解】解：由題意得：，解得：a=3，則b=7，若c=a=3時，3+3＜7，不能構(gòu)成三角形．若c=b=7，此時周長為17．類型二、利用數(shù)軸化簡二次根式例．實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡的結(jié)果是是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由數(shù)軸知：，∴，∴原式＝＝＝．故選：A．【變式訓(xùn)練1】已知實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡＝_____【答案】【詳解】解：由數(shù)軸可知：，∴，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練2】實數(shù)a，b在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)數(shù)軸上點的位置得：a＜0＜b，∴a-b＜0，則原式=|a|+|a-b|=-a+b-a=-2a+b．故選：A．【變式訓(xùn)練3】已知實數(shù)、、表示在數(shù)軸上如圖所示，化簡．【答案】【詳解】由題意可知：，，，且，∴，，∴原式【變式訓(xùn)練4】如圖，a，b，c是數(shù)軸上三個點A、B、C所對應(yīng)的實數(shù)．試化簡：．【答案】【詳解】解：由圖可知：，，，，∴，，∴．類型三、利用字母的取值范圍化簡二次根式例1．已知，化簡：，__________．【答案】##【詳解】解：，，，，故答案為：．例2.的三邊長分別為1、k、3，則化簡_____．【答案】1【詳解】解：∵的三邊長分別為1、k、3，∴，∴，，∴．故答案為：1．【變式訓(xùn)練1】已知，化簡二次根式的正確結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，所以a和b同號，，，故選：D．【變式訓(xùn)練2】若，則_______；【答案】2【詳解】解：∵，∴，故答案為：2．【變式訓(xùn)練3】化簡：_______．【答案】0【解析】由題意可知：3-x≥0，∴====0故答案為：0．【變式訓(xùn)練4】已知.(1)求a的值；(2)若a、b分別為一直角三角形的斜邊長和一直角邊長，求另一條直角邊的長度.【答案】(1)；(2)【詳解】（1）解：，，，；（2）解：，，，解得，、b分別為一直角三角形的斜邊長和一直角邊長，另一條直角邊的長度為：．類型四、雙重二次根式的化簡例.閱讀下列材料，然后回答問題．在進(jìn)行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進(jìn)一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．（1）化簡；（2）化簡；【答案】（1）；（2）【詳解】（1）；（2）．【變式訓(xùn)練1】閱讀理解“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于設(shè)，易知故，由解得，即．根據(jù)以上方法，化簡【答案】【詳解】解：設(shè)，易知，∴∴，∴，∴∵，∴原式【變式訓(xùn)練2】先閱讀材料，然后回答問題．（1）小張同學(xué)在研究二次根式的化簡時，遇到了一個問題：化簡．經(jīng)過思考，小張解決這個問題的過程如下：①②③④在上述化簡過程中，第步出現(xiàn)了錯誤，化簡的正確結(jié)果為；（2）請根據(jù)你從上述材料中得到的啟發(fā)，化簡

①．

②．【答案】（1）④；；（2）①；②【詳解】解：（1）第④步出現(xiàn)了錯誤；==．（2）①===．②==．【變式訓(xùn)練3】先閱讀下列解答過程，然后再解答：小芳同學(xué)在研究化簡中發(fā)現(xiàn)：首先把化為﹐由于，，即：，，所以，問題：（1）填空：__________，____________﹔（2）進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：形如的化簡，只要我們找到兩個正數(shù)a，b（），使，，即，﹐那么便有：__________．（3）化簡：（請寫出化簡過程）【答案】（1），；（2）；（3）【詳解】解：（1）；；（2）；（3）==．【變式訓(xùn)練4】閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如，善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)（其中a、b、m、n均為正整數(shù)），則有，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．這樣小明就找到了一種把部分的式子化為平方式的方法．請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a＝，b＝；（2）若，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值；（3）化簡：．【答案】（1）m2+6n2，2mn；（2）a＝13或7；（3）﹣1．【詳解】解：（1）∵，∴a＝m2+6n2，b＝2mn．故答案為：m2+6n2，2mn；（2）∵，∴a＝m2+3n2，mn＝2，∵m、n均為正整數(shù)，∴m＝1、n＝2或m＝2，n＝1，∴a＝13或7；（3）∵，則．課后作業(yè)1．已知等腰三角形的兩邊長滿足，那么這個等腰三角形的周長為（）A．8 B．10 C．8或10 D．9【答案】B【詳解】解：∵∴，，解得，當(dāng)腰長為2，底邊為4時，∵，不滿足三角形三邊條件，不符合題意；當(dāng)腰長為4，底邊為2時，∵，，滿足三角形三邊條件，此時等腰三角形的周長為．故選：B2．化簡二次根式的正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意得，，，故選：A．3．已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，則的化簡結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：根據(jù)a、b、c在數(shù)軸上的位置可知，，，∴，，∴．故選：C．4．若，則的平方根是______．【答案】【詳解】解：，，，，，，，，的平方根，故答案為：．5．設(shè)，是整數(shù)，方程有一個實數(shù)根是，則___________．【答案】1【詳解】∵，∴把代入方程有，整理得，∵，是整數(shù)，∴，解得，∴．故答案為：16．已知、為實數(shù)，，則的值等于______．【答案】16【詳解】解：∵，∴，即：，∴，∴；故答案為：．7．已知實數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，且，化簡【答案】．【詳解】解：由題意可得，，又∵，∴，，∴，，．8．閱讀：根據(jù)二次根式的性質(zhì)，有：．根據(jù)這一性質(zhì)，我們可以將一些“雙重二次根式”去掉一層根號，達(dá)到化簡效果．如：在實數(shù)范圍內(nèi)化簡．解：設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則．∴由①得，，代入②得：，解得，∴，∴請根據(jù)以上閱讀理解，解決下列問題：(1)請直接寫出的化簡結(jié)果是__________；(2)化簡；(3)判斷能否按照上面的方法化簡，如果能化簡，請寫出化簡后的結(jié)果，如果不能，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不能，理由見解析【詳解】（1）解：＝＝＝＝．故答案為：；（2）設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則，∴，由①得，，代入②得：，解得，，∴，，∴，∴；（3）不能，理由如下：設(shè)（，為非負(fù)有理數(shù)），則，∴，由①得，，代入②得：，即：，，∴關(guān)于的一元二次方程無解，∴不能按照上面的方法化簡．9．在二次根式的計算和比較大小中，有時候用“平方法”會取得很好的效果，例如，比較a＝2和b＝3的大小，我們可以把a(bǔ)和b分別平方，∵a2＝12，b2＝18，則a2＜b2，∴a＜b．請利用“平方法”解決下面問題：(1)比較c＝4，d＝2大小，cd（填寫＞，＜或者＝）．(2)猜想m＝，n＝之間的大小，并證明．(3)化簡：＝（直接寫出答案）．【答案】(1)c>d(2)m<n，證明過程見解析(3)4或4【詳解】（1）解：∵c2=32，d2=28，則c2>d2，∴c>d；故答案為：>．（2）解：猜想：m<n，證明：∵m＝，n＝，∴m2=()2=26+4，n2＝()2=26+4，∵<，∴m2<n2，∴m<n；（3）解：∵，，∴=2=2+2∵≥0∴p